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2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考Ⅱ卷专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C D A C C B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD BCD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． / 13． 60 14．①②④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1））由 ，得数列 是公差为1的等差数列，
又 ， ， ．（3分）
当 时， ，
又 也满足上式， ；（6分）
（2）由（1）知， ，
．（10分）
由 得 ，得 ，
，
∴n的最小值为5．（13分）
16．（15分）
【详解】（1）因为 ， ， ，
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，即 ，所以 ，
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，（3分）
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 ，
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .（7分）
（2）因为 底面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，（9分）
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
， ，（12分）
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
所以 ，
由题意可判断侧面 与侧面 所成二面角为钝二面角，
故侧面 与侧面 所成二面角的余弦值为 ．（15分）
17．（15分）
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）记抽取的3张卡片标有的数字为 ，随机变量 表示一次取出的3张卡片中的数
字之和，
则 ，令 ，结合题设，
当 时， 最小，且此时 ，
当 或 时， 最大，且此时 ，
所求概率为 ；（6分）
（2）由题意记 ，则 的所有可能取值为 ，
当 时，对应的 可能是： ， ，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ， ， ， , ,
，
当 时，对应的 可能是： ， ， ， ， ， ， ， ,
, ， ， ， ， ，（10分）
所有 ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为：
2 3 4 5
所以随机变量 的数学期望为 .（15分）
18．（17分）
【详解】（1）因为椭圆 ： ，所以 ，
所以椭圆 的蒙日圆的方程为 ；（4分）
（2）如图，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知，椭圆 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 并整理得， ，（6分）
由 ，得 ，即 ，
所以坐标原点 到直线 ： 的距离 ，（8分）
所以 ，
所以 ；（10分）
（3）由（1）知，椭圆C的方程为 ，椭圆C的蒙日圆方程为 ，
设P(x ,y )，则 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
0 0 1 1 2 2
则切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
将P(x ,y )代入切线 ， 的方程，有 ， ，
0 0
故直线 的方程为 ，（12分）
将直线 的方程与椭圆 的方程联立得 ，
消去 并整理得，
显然 ， ，
所以 ， ，
所以 ，（14分）
又点P(x ,y )到直线 的距离 ，
0 0
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 面积的最小值为 .（17分）
19．（17分）
【详解】（1）根据题意， ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ；（4分）
（2）由余弦定理， ，
代入 ，得 ，
两边同时除以 ， ，（6分）
由于 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，（8分）
由余弦定理 ，
即 ， 的面积 ；（11分）
（3）由（1）（2）可知 ， ，所以 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
（14分）
，
故可设 （ 为变量）
则 ，
所以 的最小值为 .（17分）
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