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2025 年高考考前信息必刷卷 01（新高考Ⅱ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C D C A D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．2 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由题意 ， ， ，（2分）
则 ．
由余弦定理得 ，所以 ，（4分）
又 ，
所以 ，（5分）
则 ，又 ，所以 ．（6分）
1 / 8
学科网（北京）股份有限公司（2）法一：由（1）知 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ．（8分）
由余弦定理可得 ，得 ， ，（10分）
所以 ，所以 ，
在 中 ．（13分）
法二：由（1）知， ，整理得 ，（8分）
由正弦定理得 ，（9分）
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ， ，得 ．（11分）
在 中， .（13分）
16．（15分）
【详解】（1）设 ，
解法一：在平面四边形 中，由 ， 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ， ，得 ，解得 ，即 ，（1分）
所以 为 的中点且 ，如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，（3分）
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．（5分）
解法二：因为 平面 ， ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则A(0,0,0)， ， ， ， ，（2分）
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，故 ．（3分）
易知平面 的一个法向量为 ，
因为 ，所以 ，
3 / 8
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，所以 平面 ．（5分）
（2）由（1）中解法二，则 ， ， ， ，（7分）
所以 ， ．
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，得 ．（9分）
则 ， ，所以 ， ， ．
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，得 ，取 ，得 ．（11分）
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，取 ，得 ．（13分）
设二面角 的平面角为 ，观察图形可知 为锐角，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 ．（15分）
17．（15分）
【详解】（1）由题知 ，则 ，（2分）
又 ，
所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为 ，即 ，（3分）
因为该切线与 的图象有且只有一个交点，
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学科网（北京）股份有限公司所以方程 仅有一个解，即 仅有一个解，（5分）
当 时，方程可化为 ，仅有一个解，满足题意；
当 时，由 ，得 ，解得 或 ．（7分）
综上， 的值为0或 或4．（8分）
（2）因为 在(0,+∞)上单调递增，所以f'(x)≥0恒成立，
由（1）知 ，故 恒成立，所以 ，（11分）
令 ， ，则 ，（12分）
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，（14分）
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．（15分）
18．（17分）
【详解】（1）当 时，
①集合 的所有3划分为 ； ； ；
； ； ．（4分）
②集合 的2划分的个数为 ；3划分的个数为6；4划分只有1个，
所以集合 的所有划分共有14个．（7分）
设从集合 的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分为事件 ，则 ．（9分）
（2）集合 的非空子集的个数为 ，所以集合 共有 种可能．
当 时，最大元素 为 的子集可视为集合 的子集与集合 的并集，
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学科网（北京）股份有限公司而集合 的子集个数为 ，所以 ，
所以 ，（11分）
可得 ，解得 ．（12分）
所以随机变量 的所有可能取值为 ，
则 ， ， ，
， ，（15分）
随机变量 的分布列为
1 2 3 4 5
故 ．（17分）
19．（17分）
【详解】（1）因为双曲线 的右焦点为 ，所以 ，
所以 的离心率为 ，所以 ， ，（3分）
故 的标准方程为 ．（4分）
（2）由（1）知 ，由题意知 的斜率不为0，
设 的方程为 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司联立方程，得 ，得 ，
所以 ，
， ， （7分）
所以
，得证．（9分）
（3）由题意知 ，显然 在点 处的切线的斜率存在，
设 在点 处的切线方程为 ，即 ，
代入 ，消去 得 ，
因为 与 相切，所以 ，解得 ．
所以 在点 处的切线方程为 ．（11分）
易知直线 的斜率 ，
可设直线 的方程为 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司由方程组 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，所以 ．（13分）
由方程组 ，消去 可得 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，
同理可得 ，（15分）
所以
，（16分）
所以 ，即 ．（17分）
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