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2025 年高考考前信息必刷卷 04（新高考八省专用）
数 学
考情速递
高考·：从近年新高考和最新的八省联考可以看出命题老师在减少题量、控制计算量的情况下，给予考生充
足的思考时间，要求考生能够从多个角度进行思考、分析问题，能够灵活、综合应用知识和方法解决问题，
着重考查思维的灵活性，充分发挥高考的选拔功能。
高考·：通过合理创设新颖的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理论证的能力，考查学生敢于质
疑和批判的思维能力，考查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高中数学复习要淡化解题技巧、
规避答题套路，注重培养学生良好的思维品质和创新意识。如本卷第3题，以生活中的应用（系鞋带）为
背景进行设计，打破了以往相对固化的试题模式，极具创新性。试题题干简洁，题意通俗易懂，把考查的
重心放在空间想象能力上，要求学生具备良好的直观思维。试题着力于“反套路、反刷题”，引导中学教
学破除题海战术、消除套路，重视培养学生的关键能力和学科素养。
命题·①2025年新高考数学试题依然会注重对基础知识的考查，学生需要回归教材，扎实掌握数学的基础概
念，这是解题的基础和前提。②新高考将更加注重考查学生的综合应用能力，学生需要能够将所学知识灵
活运用于实际问题的解决中，如利用函数模型解决实际问题、利用几何知识进行空间图形的分析等。同时
还应加强跨模块知识的整合和应用能力的培养，提高解决综合性问题的能力。③随着新高考改革的推进，
会出现一些新的题型和考点，学生需要及时关注高考动态，了解新题型和新考点的特点和考查要求，做好
相应的准备。 在复习过程中，要注重对新题型的训练和对新考点的理解和掌握，提高应对新题型和新考
点的能力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，且 ，则实数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数 ，关于 的方程 没有正整数解”，
经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ）
A．对任意正整数 ，关于 的方程 都有正整数解
B．对任意正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
C．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
D．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
3．在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ）
A． B．
C． D．
4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的
大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）
从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且
，则 的前8项和为（ ）
A．194 B．193 C．192 D．191
5．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金
针菇失去的新鲜度 与其来摘后时间 （天）满足的函数解析式为 .若采摘后 天，
金针菇失去的新鲜度为 ；若采摘后 天，金针菇失去的新鲜度为 .现在金针菇失去的新鲜度为
，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数， ）
A． B． C． D．
6．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将
几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克
里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程： ，拿信的公
主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数 ， 画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观
察图形，当 时， 的导函数 的图像为( )
A． B． C． D．
7．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，若点 是
与 在第一象限内的交点，且 ,设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知
，求 的最大值.我们令 ， ，则 .这样我
们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知 是曲线 上的点，则
的最大值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．已知数据 ，满足： ，若去掉 后组成一组新数据，则
新数据的方差为21
B．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C．一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则
D．对于独立性检验，随机变量 的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
10．“ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 过坐标原点 ， 上的点到两定点 ， 的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）
（参考数据： ）
A．若 ，则 的方程为
B．若 上的点到两定点 、 的距离之积为16，则点 在 上
C．若 ，点 在 上，则
D．当 时， 上第一象限内的点 满足 的面积为 ，则
11．如图，圆锥 的底面直径和母线长均为6，其轴截面为 ， 为底面半圆弧 上一点，且
， ， ，则（ ）
A．当 时，直线 与 所成角的余弦值为 B．当 时，四面体 的体积为
C．当 且 面 时， D．当 时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11．已知函数 ，则曲线 的对称中心为 ．
12．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选
取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任
主裁判的概率是 ．13．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三
角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角 外接圆的半径为4，且三条圆弧沿
三边翻折后交于点 . 若 ，则 ；若 ，则
的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，终边与单位圆交
于 ，将 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于 ，记 ．
(1)求函数 的值域；
(2)在 中，若 ， ， ，求 的面积．
16．（15分）
如图，在四棱台 中， ， ，CD=2，AD=3，BC=4， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，四棱台 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的
余弦值.17．（15分）
在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成绩 如
下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优
秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的
数学成绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相
关系数约为 ，分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两
两不相同， 两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是
位 在 中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼
相关系数（记为 ）为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中
，证明： ，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮
尔曼相关系数（精确到0.01）（参考公式：相关系数
）。18．（17分）
若数列 满足： ，若存在 ，都有 ，则称这个数列 为下界数列，并把其中
最小的值 叫做临界值，记为 .
(1)记数列 前 项和为 ，证明：数列 是下界数列；
(2)记数列 前 项和为 ，判断数列 是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列 是首项及公比均为2的等比数列，记 ，数列 的临界值为 ，证明：
．19．（17分）
如图1，将一个半径为 的球 放在桌面上，桌面上的一点 的正上方相距 处有一点光源 ，
与球 相切于点 ， 也与球 相切，点 在桌面上，在此点光源的照射下，球 在桌面上的
影子的边界就形成某种曲线.设方程 在 和 时，对于每一个 都分别有唯
一的 值存在，那么就说方程 在 和 时确定一个隐函数，其求导法则为
（这里 表示 关于 的导数，也是隐函数的图象在点 处切线的斜率）.
(1)建立适当的空间直角坐标系，求当 时，在此点光源的照射下，球 在桌面上的影子的边
界形成的曲线的方程；
(2)求证：过椭圆 上任意一点 的切线方程 ；
(3)若将（1）中所得曲线的中心平移到坐标原点 ，此时该曲线内切于 ，且分别与 ， ，
相切于点 ， ， ， 的延长线交 于点 ， 的延长线交 于点 ，如图2，当点
坐标为（1，4），点 坐标为 时，求点 的横坐标.
