文档内容
2025 年高考考前信息必刷卷 04（新高考八省专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C C B A D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，
，（2分）
，（4分）当且仅当 即 时， ，所以函数 的值域是 ．（6分）
（2）由（1）得 ，所以 ，（7分）
， ， ， ，（9分）
由正弦定理得 ，
又 ，故 ，（11分）
由余弦定理 得， ， ．（13分）
16．（15分）【答案】(1)证明见解析(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，（1分）
在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，（2分）
则由勾股定理，得 ，（3分）
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，（5分）又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .（7分）
（2）由（1）知四棱台 的下底面面积
，（8分）
因为 ，所以上底面面积 ，设四棱台 的高为 ，
则四棱台 的体积为 ，所以 ，（9分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 两两垂直.（10分）
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
所以 ，设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，（11分）
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，（13分）
由题可知平面 的一个法向量为 ，（14分）设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .（15分）
17．（15分）【答案】(1) (2) (3)证明见解析，
【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得 ；（2分）
（2）分析r的向量意义，设 ，
则 ，分别令 的样本相关系数 ， 的样本相关系数 ， 与 的样
本相关系数为 ，（4分）
则 ， ， ，（6分）
，
夹角余弦值最大值为 ；（8分）
（3） 都是 的一个排列，
（9分）
（10分）
同理（12分）
.（14分）
结合图表 （15分）
18．（17分）【答案】(1)证明见解析(2)数列 不是下界数列，理由见解析(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知， ，故数列 是下界数列.（3分）
（2）由 ，知 ，（5分）
．（6分）
因为 ，（7分）
所以 ，故数列 不是下界数列．（9分）
（3）由题意知， ， ，（11分）
因为 ，所以 ，所以 ．（13分）
，当 时， ，（14分）
当 时，，所以 ．（17分）
19．（17分）【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则球心 ， ，（1分）
设 为所形成曲线上的任意一点，由题意可知
，则 ， （2分）
又 ， ，（3分）
， （4分）
，化简得 ，（5分）
当 时，可得所求曲线的方程为 .（6分）
（2）对 ，利用隐函数求导法则，得 ， （7分）过点 的曲线的切线方程为 ， （8分）
即 ， 又 ， ①，证毕.（10分）
（3）对于（1）中所得曲线，类似于圆的平移，将此曲线的中心平移到坐标原点 ，此时对应的方程为
，该曲线为椭圆.
在题图2中，设点 的坐标为 ，点 ， ， 的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )， ，
1 1 2 2
将该曲线方程记为 ，则 ， ，由（2）知：两条切线 ， 的方程分别为
， ， （12分）
又点 在这两条切线上， 且 ，由此可知点 ， 都在直线
上，可得直线 的方程为 ②. 由题意可知直线 的方程为 ③，
（13分）
联立②③可得点 坐标为 ，
可得直线 的方程为 ④， （15分）
由①知，直线 的方程为 ⑤，（16分）
联立④⑤并由 可得点 的横坐标 ，
将 ， ， ， ， ， 代入上式，得 .（17分）
