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2025 年高考考前信息必刷卷 04（新高考八省专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：从近年新高考和最新的八省联考可以看出命题老师在减少题量、控制计算量的情况下，给予
考生充足的思考时间，要求考生能够从多个角度进行思考、分析问题，能够灵活、综合应用知识和方法解
决问题，着重考查思维的灵活性，充分发挥高考的选拔功能。
高考·新情境：通过合理创设新颖的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理论证的能力，考查学生
敢于质疑和批判的思维能力，考查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高中数学复习要淡化解题
技巧、规避答题套路，注重培养学生良好的思维品质和创新意识。如本卷第3题，以生活中的应用（系鞋
带）为背景进行设计，打破了以往相对固化的试题模式，极具创新性。试题题干简洁，题意通俗易懂，把
考查的重心放在空间想象能力上，要求学生具备良好的直观思维。试题着力于“反套路、反刷题”，引导
中学教学破除题海战术、消除套路，重视培养学生的关键能力和学科素养。
命题·大预测：①2025年新高考数学试题依然会注重对基础知识的考查，学生需要回归教材，扎实掌握数
学的基础概念，这是解题的基础和前提。②新高考将更加注重考查学生的综合应用能力，学生需要能够将
所学知识灵活运用于实际问题的解决中，如利用函数模型解决实际问题、利用几何知识进行空间图形的分
析等。同时还应加强跨模块知识的整合和应用能力的培养，提高解决综合性问题的能力。③随着新高考改
革的推进，会出现一些新的题型和考点，学生需要及时关注高考动态，了解新题型和新考点的特点和考查
要求，做好相应的准备。 在复习过程中，要注重对新题型的训练和对新考点的理解和掌握，提高应对新
题型和新考点的能力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，且 ，则实数 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解不等式 可得 ，即 ，
解不等式 可得 或 ；
当 时可得 ，解得 .因此实数 的最小值为3.故选：B
2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数 ，关于 的方程 没有正整数解”，
经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，
第一步是假设猜想不成立，即（ ）
A．对任意正整数 ，关于 的方程 都有正整数解
B．对任意正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
C．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
D．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
【答案】D
【详解】命题为全称命题，
则命题的否定为：存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解，故选：D.
3．在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式
如何影响所需鞋带的总长度.
A. 小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来
完成.此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带.
B. 蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和
缠绕.虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加.
C. 爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案
的构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕.此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不
需要额外的鞋带长度.
D. 小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕.虽然
这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造. 故选；C.
4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的
大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）
从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且
，则 的前8项和为（ ）
A．194 B．193 C．192 D．191
【答案】C
【详解】由题意知， 成等差数列，设公差为 ， 成等比数列，公比为 ，因为 ， ,联立解得 ,
所以 , , ，
所以 的前8项和为 .故选：C
5．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金
针菇失去的新鲜度 与其来摘后时间 （天）满足的函数解析式为 .若采摘后 天，
金针菇失去的新鲜度为 ；若采摘后 天，金针菇失去的新鲜度为 .现在金针菇失去的新鲜度为
，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可得 ，两式相除可得 ，则 ， ，
∵ ，解得 ，设 天后金针菇失去的新鲜度为 ，则 ，又 ，
∴ ， ， ， ，
则 ，故选：B.
6．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将
几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克
里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程： ，拿信的公
主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用
几何画板，将函数 ， 画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当 时， 的导函数 的图像为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称，
当x>0时， ，设y ，则 ，∴此时f(x)对应的图像是题干中图
像在第一部分的半圆，∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分，
∵该部分图像单调递增，故 的值恒为正，即 图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且 该
部分图像的切线斜率先减小后增大，故 的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足．故选：A．
7．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，若点 是
与 在第一象限内的交点，且 ,设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为 , ,由题意可得， ，即
，即 ，
由 可知 ，令 ， ，所以 ，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
8．“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知
，求 的最大值.我们令 ， ，则 .这样我
们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知 是曲线 上的点，则
的最大值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【详解】设 ，由 ，
可得 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，所以当 时取最大值，
最大值为 ，所以 的最大值为 .故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．已知数据 ，满足： ，若去掉 后组成一组新数据，则
新数据的方差为21
B．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C．一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则
D．对于独立性检验，随机变量 的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
【答案】ABD
【详解】对于A选项，去掉 后的平均数为 ，
方差为 故A选项正确；
对于B选项，由于随机变量 服从正态分布 ，
则 ， 关于1对称，则 故B选项正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，又因为回归方程为 ，
所以 ，所以 ，故C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量 的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故 越大，
判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.10．“ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 过坐标原
点 ， 上的点到两定点 ， 的距离之积为定值．则下列说法正确的是（ ）
（参考数据： ）
A．若 ，则 的方程为
B．若 上的点到两定点 、 的距离之积为16，则点 在 上
C．若 ，点 在 上，则
D．当 时， 上第一象限内的点 满足 的面积为 ，则
【答案】ACD
【详解】已知原点 在 上，则 ，设 为 上任意一点，
则有 ，整理得 ．
若 ，则 的方程为 ，故A正确；
若 ，则 ，代入方程得 ，显然点 不在此曲线上，故B错误；
若 ，点 在 上，有 ，
整理得 ，所以 ，故C正确；
因为 ， ，可得 ，
所以点 是曲线 和以 为直径的圆 在第一象限内的交点，联立方程，解得 ， ，即 ，所以 ，故D正确．故选：ACD
【点睛】根据题干背景得到曲线方程 为关键.
11．如图，圆锥 的底面直径和母线长均为6，其轴截面为 ， 为底面半圆弧 上一点，且
， ， ，则（ ）
A．当 时，直线 与 所成角的余弦值为 B．当 时，四面体 的体积为
C．当 且 面 时， D．当 时，
【答案】ACD
【详解】由题意可知 是边长为6的等边三角形， ， ， .
时， 为 的中点，取 得 ， 为直线 与 所成角或其补角，
又根据余弦定理可得 ，
再根据余弦定理可求得 ,
所以 , ， .则 ，故A正确；在 中， ， ，得 ，
，且 ，则四面体 的体积为 .
， 为 的中点， 为 的中点，故四面体 体积为四面体 体积的四分之一，得
四面体 体积为 ，故B错误；
对于CD选项：【法一】当 时，取 的中点 ，则 ，所以 面
过 作 交 于 ，所以 面 ，
此时 为 的中点,又因 相较于点 ，所以面 面 ，
得 面 ，所以 ，故C正确；
当 时， ，在面 内过 作 交 于 ，
则 面 ， 面 ，故此时得到的 ， 中， ，
由余弦定理得 ， ， ，得 ，则 ，故D正确.
故选：ACD.
【法二】则以 为坐标原点，过点 与 垂直的直线为 轴，分别以 、 所在直线为 轴和 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，由题意得 ， ， ，， ， ，
得 ， ，
，
对于C， ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，可取 .
面 时，得 ， 解得 .故C正确.
对于D， ，
由 得， ， .故D正确.故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11．已知函数 ，则曲线 的对称中心为 ．
【答案】
【详解】曲线 的对称中心为 ，则 ，
即 ，整理得 ，依题意， 与 无关，则 ，解得 ，此时 ，
所以曲线 的对称中心为 . 故答案为：
12．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选
取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任
主裁判的概率是 ．
【答案】
【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数.
因为男裁判员担任主裁判，所以先从 名男裁判员中选 名作为主裁判，有 种选法.后有两种情况.
从 名女裁判员中选 名作为助理裁判，有 种选法.
从 名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从 名男裁判员中选1名作为助理裁判，有 种选法.
根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为 种.
再计算从 名裁判员中选 人的总情况数.从 名裁判员中选 人作为裁判，总数为 种.
所求概率 . 故答案为： .
13．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三
角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角 外接圆的半径为4，且三条圆弧沿
三边翻折后交于点 . 若 ，则 ；若 ，则
的值为 .【答案】 /0.75
【详解】设外接圆半径为 ，则 ，由正弦定理，可知 ，
即 ，由于 是锐角，故 ，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即 ,故 ，
所以 ；
设 ，则 ，
由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知 ，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,故 ,
则得 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，终边与单位圆交
于 ，将 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于 ，记 ．
(1)求函数 的值域；
(2)在 中，若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ，
，（2分）
，（4分）
当且仅当 即 时， ，所以函数 的值域是 ．（6分）
（2）由（1）得 ，所以 ，（7分）
， ， ， ，（9分）
由正弦定理得 ，又 ，故 ，（11分）
由余弦定理 得， ， ．（13分）
16．（15分）
如图，在四棱台 中， ， ，CD=2，AD=3，BC=4， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，四棱台 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的
余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，（1分）
在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，（2分）则由勾股定理，得 ，（3分）
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，（5分）
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .（7分）
（2）由（1）知四棱台 的下底面面积
，（8分）
因为 ，所以上底面面积 ，设四棱台 的高为 ，
则四棱台 的体积为 ，所以 ，（9分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 两两垂直.（10分）
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
所以 ，设平面 的法向量为 ，（11分）
则 ，即 ，令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ，（13分）
由题可知平面 的一个法向量为 ，（14分）
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .（15分）
17．（15分）
在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成绩 如
下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优
秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的
数学成绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本
相关系数约为 ，分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两
两不相同， 两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是位 在 中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼
相关系数（记为 ）为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中
，证明： ，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮
尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数 ）。
【答案】(1) (2) (3)证明见解析，
【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得 ；（2分）
（2）分析r的向量意义，设 ，
则 ，分别令 的样本相关系数 ， 的样本相关系数 ， 与 的样
本相关系数为 ，（4分）
则 ， ， ，（6分）
，
夹角余弦值最大值为 ；（8分）
（3） 都是 的一个排列，（9分）
（10分）
同理
（12分）
.（14分）
结合图表 （15分）
18．（17分）
若数列 满足： ，若存在 ，都有 ，则称这个数列 为下界数列，并把其中
最小的值 叫做临界值，记为 .
(1)记数列 前 项和为 ，证明：数列 是下界数列；
(2)记数列 前 项和为 ，判断数列 是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列 是首项及公比均为2的等比数列，记 ，数列 的临界值为 ，证明：
．
【答案】(1)证明见解析(2)数列 不是下界数列，理由见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题意知， ，故数列 是下界数列.（3分）
（2）由 ，知 ，（5分）
．（6分）
因为 ，（7分）
所以 ，故数列 不是下界数列．（9分）
（3）由题意知， ， ，（11分）
因为 ，所以 ，所以 ．（13分）
，当 时， ，（14分）
当 时，
，所以 ．（17分）
19．（17分）
如图1，将一个半径为 的球 放在桌面上，桌面上的一点 的正上方相距 处有一点光源 ，
与球 相切于点 ， 也与球 相切，点 在桌面上，在此点光源的照射下，球 在桌面上的
影子的边界就形成某种曲线.设方程 在 和 时，对于每一个 都分别有唯
一的 值存在，那么就说方程 在 和 时确定一个隐函数，其求导法则为（这里 表示 关于 的导数，也是隐函数的图象在点 处切线的斜率）.
(1)建立适当的空间直角坐标系，求当 时，在此点光源的照射下，球 在桌面上的影子的边
界形成的曲线的方程；
(2)求证：过椭圆 上任意一点 的切线方程 ；
(3)若将（1）中所得曲线的中心平移到坐标原点 ，此时该曲线内切于 ，且分别与 ， ，
相切于点 ， ， ， 的延长线交 于点 ， 的延长线交 于点 ，如图2，当点
坐标为（1，4），点 坐标为 时，求点 的横坐标.
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则球心 ， ，（1分）
设 为所形成曲线上的任意一点，由题意可知
，则 ， （2分）又 ， ，（3分）
， （4分）
，化简得 ，（5分）
当 时，可得所求曲线的方程为 .（6分）
（2）对 ，利用隐函数求导法则，得 ， （7分）
过点 的曲线的切线方程为 ， （8分）
即 ， 又 ， ①，证毕.（10分）
（3）对于（1）中所得曲线，类似于圆的平移，将此曲线的中心平移到坐标原点 ，此时对应的方程为
，该曲线为椭圆.
在题图2中，设点 的坐标为 ，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，
将该曲线方程记为 ，则 ， ，由（2）知：两条切线 ， 的方程分别为
， ， （12分）又点 在这两条切线上， 且 ，由此可知点 ， 都在直线
上，可得直线 的方程为 ②. 由题意可知直线 的方程为 ③，
（13分）
联立②③可得点 坐标为 ，
可得直线 的方程为 ④， （15分）
由①知，直线 的方程为 ⑤，（16分）
联立④⑤并由 可得点 的横坐标 ，
将 ， ， ， ， ， 代入上式，得 .（17分）
