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2025 年高考考前信息必刷卷（北京卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：试卷的题型与去年高考题型一致，即10道选择、5道填空、6道大题的试卷结构所占分值分
别为40分、25分、85分。试卷由基础题、中档题以及少量拔高题组成。
高考·新考法：试卷既对数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想）
做了全方位的考查，同时渗透考查新课程改革中数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、
数据分析六大核心素养，充分体现了北京高考对能力的全面考查。
命题·大预测：本套试卷60%左右为基础题，解答题侧重对综合能力的考查，强调数学思想与核心素养，不
仅考查了具体的数学知识，更突出了数学思想的应用和六大核心素养的考察，这有助于学生形成系统的数
学思维，提升解决问题的能力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
故 ，
故选：A
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．【答案】B
【解析】 ，
因为其为纯虚数，则 且 ，解得 .
故选：B.
3．下列函数中，是偶函数，且在 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数 是奇函数，A错误；
对于B，函数 ，所以函数为偶函数， ，
令 ，得 ，当 时， 在 上单调递减，B正确；
对于C，函数 为偶函数，在 上单调性有增也有减，C错误；
对于D，函数 ，所以函数为偶函数，
， ，函数在 上一定不是减函数，D错误；
故选：B.
4．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角 的终边经过点 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
5．过点 的直线 与圆 相交于 两点，那么当 取得最小值时，直线 的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得圆的标准方程为 ，则圆心 .过圆心与点 的直线 的斜率为 .
当直线 与 垂直时， 取得最小值，
故直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
故选：C．
6．设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ， 模长相等，但它们的方向可以不同，故 不一定成立，
故 得不到 ，
若 ，则 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
7．若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
8．2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；
乙公司每个月盈利比前一个月增加 . 记甲、乙两公司在2023年第 个月的盈利分别为 ，
（单位：万元）. 已知 ， ，则 最大时， 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】依题意， ， ，
则 ，令 ，
则 ， ，
因此当 时， ；当 时， ，即 最大，
所以当 最大时， .
故选：B
9．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 与 相切于点 ，
由 ，则 ，
所以切线方程为 ，又切线过 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，作出 及切线的图象，如图，
由图象可知，当 时， 成立.
故选：D
10．如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方体表面上的动点，且
.设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）A． 是平行四边形，且周长为
B． 是平行四边形，且周长为
C． 是等腰梯形，且周长为
D． 是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【解析】分别取 的中点 ，连接 ，
则 ∥ ∥ ，∴ 四点共面
若 为面A B C D 上的动点，
1 1 1 1
由正方体 易得，平面 平面A B C D ，且平面 平面 ，要使
1 1 1 1
，则只需 ，此时 的轨迹为线段 ；
若 为面 上的动点，
由正方体 易得，平面 平面 ，且平面 平面 ，要使
，则只需 ，因为 分别是 的中点，易证 ，故此时 的轨迹为线段
；
所以动点 的轨迹曲线 为过点 的平面与正方体各表面的交线，即梯形 .
因为正方体的棱长为2，所以 .
所以曲线 为等腰梯形，且周长为 .
故选：D.第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知抛物线 过点 ，则拋物线 的准线方程为 .
【答案】
【解析】由题可得， ，故 .
故拋物线 的准线方程为 .
故答案为：
12．已知函数 的图象关于直线 对称，则常数 的一个取值为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】举例 ，此时 ，
则 ，
则 的图象关于直线 对称，
故答案为： （答案不唯一）.
13．若 的展开式中存在常数项，则正整数 的一个取值是 ，且此时常数项等于
.（用数字作答）
【答案】 3（答案不唯一） 12（答案不唯一）
【解析】二项展开式的通项公式为 ，
若展开式中存在常数项，则 ， ，且 ，
所以满足条件的一个 ，
此时 ，常数项为 .
故答案为：3；
14．在三棱锥 中， 底面 ，则异面直线 与 所成角的
大小为 ；点 到平面 的距离为 .【答案】 /
【解析】
在三棱锥 中， 底面 ， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ,由于 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，
所以点 到平面 的距离为
故答案为： ，
15．已知无穷数列 满足 .给出下列四个结论：
①存在 ，使得集合 中有无穷多个元素；
②存在 ，使得集合 中有有限个元素；
③对于任意的 ，集合 中至多有一个元素；
④当 时，集合 .
其中所有正确结论的序号是 .【答案】②③④
【解析】分析结论①，假设存在 使得集合 中有无穷多个元素.
当 时， .那么 ，
因为 ，所以 ，则 .
这意味着一旦 ，后面的项不可能再无限次地小于 ，所以①错误.
分析结论②，假设存在 使得集合 中有有限个元素.
由 ，当 时， ， .
如果 ，那么数列 从第二项起都大于 ，即集合 中只有有限个元素（可能为 个
或 个），所以②正确.
分析结论③，假设 时 ，则 .
，因为 ，所以 ， .
所以对于任意的 ，集合 中至多有一个元素，③正确.
分析结论④，当 时， ， ， .
通过计算发现 恒成立.
用数学归纳法证明：
当 时， ， ， 成立.
假设当 时， 成立.
则 ，所以 .
又 ，所以当 时也成立.
所以当 时，集合 ，④正确.
故正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在 中， ， ， .(1)求 ， 的值和 的面积 ；
(2)求 的值.
【解析】（1）由余弦定理可得 ，
注意到 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
进一步 ；
（2）由余弦定理可得， ，因为 ，
所以 ，而 ，
从而 .
17．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）如图，取 的中点 ，连接 ,
因E、F分别为 、 的中点.，则
又 故 即得四边形 为平行四边形,
则 ,因 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
（2）因为在直三棱柱 中， ， ，所以AB⊥AC，
所以 两两垂直，
则以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，又 ， ，
所以
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以
设平面 一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
18．随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了
解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的
情况统计如下：
使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4
1
男 4 27 23 10
62
女 6 48 27 15
4
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
AI大模型种类 A B C D
人次 32 30 30 28
用频率估计概率.
(1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
(2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有 人，求
的分布列及其数学期望 ；
(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为 ，比
较 的数学期望 的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，
则估计 .
（2）记事件 为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，
根据题中数据， .
的可能取值为 ，
，
，
．
.
的分布列为
0 1 2 3
.
（3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，则易求 ，
，故 .
x2 y2
19．已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为 ，点 ， 三等分椭圆 的短轴，且
a2 b2
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作与 轴不垂直的直线 与椭圆 交于点 ， ，椭圆 上是否存在点 ，使得恒有 ？
若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）根据题意可知 ，可得 ；
又 ，解得 ；
因此 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题可知直线 的斜率存在，
不妨设斜率为 ，即 ， ，如下图所示：
联立 ，整理可得 ，易知 ；
由韦达定理可得 ；
所以 ，；
若 ，可得 ，
所以
对于 恒成立；
即 ，
也即 ，
因此可得 ，解得 ，
而点(0,1)在椭圆上，即存在点 满足题意.
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在点(1,f (1))处的切线的斜率为 ，又 ，
所以函数 在(1,f (1))处的切线方程为 .
（2）函数 的定义域为(0,+∞).
因为 ，所以 ，
令f'(x)<0，解得 ，令f'(x)>0，得 .
所以 的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞).
（3）因为对任意的x∈(1,+∞)，都有 ，所以 ，
令 ，
由（2）知， 在(1,+∞)上单调递增，
，则 在区间 上存在唯一的零点 ，即 ，
所以当 时， 在 单调递减，
当x∈(x ,+∞)时， 在 单调递增，
0
所以 ，又因为 ，
则
所以 ，所以整数 的最大值为3.
21．已知有穷数列 ，从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项 ，顺次排列构成
数列 ，其中 ，则称新数列 为 的长度为 的子列.规定：数列 的任意一项都
是 的长度为1的子列，若数列 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 为完全数列.设数
列 满足 .
(1)判断下面数列 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①： ；数列②： .
(2)数列 的子列 长度为 ，且 为完全数列，证明： 的最大值为6；
(3)数列 的子列 长度 ，且 为完全数列，求 的最大值.
【解析】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下：
数列①：因为 ，所以数列①不是完全数列；
数列②：因为 ，
，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列.
（2）假设存在完全数列 ，其长度为 ，则 ，
则长度为 的数列 的每一子列的所有项的和有 个，
设其所有项的和的最小值为 ，最大值为 ，
则 ，
可得 ，
整理得 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 ，则 ， ，
所以 ；
综上所述：当 时，不存在 ，使得 成立.
所以假设不成立，则 ，且 ，符合题意，
所以m的最大值为6.
（3）因为 长度 ，且 为完全数列，且 ，
可知 的最小值为1， 的最小值为2，取 ；
因为 ，则 的最小值为4，取 ；
因为 ，则 的最小值为8，取 ；
因为 ，
，
则 的最小值为16，取 ；
此时 均取到对应的最小值，则 均取到对应的最大值，
则 ，
所以 的最大值为 .
