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2025 年高考考前信息必刷卷 04（天津专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C B D B A B C C C
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11．15 12．
13． 14． ； 15． ；
四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
【解析】（1）由 ，
得 ，且 ，则 ，
又因为 ，
解得 ； （4分）
（2）因为 ，得
且
解得 ； （8分）
（3）因为 ，. （14分）
17．（15分）
【解析】（1）连接 ，
因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为四边形ABCD是矩形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， （3分）
以 为坐标原点， 分别为 轴，过 平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
则 ，所以 . （5分）
（2）由（1）可得： ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 ，可得 ，
设二面角 为 ，
则 ，可得 ，
所以二面角 的正弦值为 . （10分）
（3）由（1）可得 ，
设 ，可得 ，
由（2）可知：平面 的法向量 ，
则由 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
即 ，可知存在点Q，点Q为PC的中点. （15分）
18．（15分）
【解析】（1）由题意可知 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 . （3分）
（2）①设 ， ， ，
由题设可知： ， ，又因为 ， 经过点 ，所以 ，
所以 ， 均在直线 上，即 ，
由 ，解得 ，所以直线 过定点 . （8分）
②设实数 存在，因为 ，所以 ，
当直线 斜率不存在时，此时直线 的方程为 ，
由 解得 ，
所以 ，故 .
当直线 斜率 时，不满足题意；
当直线 斜率 时，设直线 的方程为 ，则 ，
故 ， （11分）
所以 ，
联立 可得 ，显然 ，所以 ， ，
所以 .
综上可知，存在 满足条件. （15分）
19．（15分）
【解析】（1）设数列 公差为 ，由公式 ， ，
又 ，有 ，所以 ．则 ， ． （3分）
（2）因为 ，所以有
， ，
， ， ，
当 ， 时， ，即 ，
所以，当 时， ；当 时， ． （8分）
（3）因为 ，所以 ，设正项等比数列 的公比为 ，
，所以 ，因为 ，所以 ，
又 ，， （11分）
设 ①，则 ②，
①式-②式得 ，
，
所以， ，
所以， . （15分）
20．（16分）
【解析】（1）因为 的定义域为
令 得
所以 时 单调递减，
时 单调递增，
所以 的单调减区间为 单调增区间为
又
所以曲线 在 处的切线方程为 （4分）
（2）由 得
即
而
所以令 则 所以 在R上单调递增，
由
可知
所以
所以 （7分）
令 则
所以当 时 单调递增；
当 时 单调递减，
所以
则 即
所以 的取值范围为 ； （9分）
（3）由（1）知，若方程 有两个实数根
因为 时 极小值
则
记
则
令 得
当 时 ；当 时
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 则 恒成立， （12分）
即 恒成立，
又
所以
又令
可证得 时
即
所以
可知
解得
综上 （16分）
