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2025 年高考考前信息必刷卷 03（新高考Ⅰ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：2025年高考数学的试题模式将延续2024年全国卷的新题型模式，解三角形、立体几何、数
列、解析几何、统计与概率、函数与导数这6大块的知识点在解答题中的位置灵活多变，机动调整题目顺
序，旨在打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、固定的训练模式；同时测试学生的应变能力和解决
各种难度问题的能力，培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力。例如2024年新课标Ⅱ卷中，以往的压
轴题函数与导数安排在解答题第2题；概率与统计试题加强了能力考查力度，安排在解答题的倒数第2题。
新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，数列内容则结合新情境，安排在最后压轴题的位置。
而从2025年八省联考来看，它更注重细节，试题数以及对应分值虽然和去年新高考保持不变，但前两道大
题由两问调整为三问，计算量有所增加，这对于中档学生更容易拿分。
高考·新考法：2025年第五批高考综合改革省、自治区将迎来首次改革后的高考，适应性测试卷强化与课
标教材的衔接，注重减量提质，力求创新，要求学生在深刻掌握和理解概念、原理、方法的基础上能够灵
活变通，多个角度进行思考、分析问题，能够灵活、综合应用知识和方法解决问题，着重考查思维的灵活
性，充分发挥高考的选拔功能。试卷通过合理创设新颖的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理
论证的能力，考查学生敢于质疑和批判的思维能力，考查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高
中数学复习要淡化解题技巧、规避答题套路，注重培养学生良好的思维品质和创新意识。
命题·大预测：本套试卷立足新教材，新课标，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合
性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第10题引入新定义“卡西尼卵形线”，
考查学生的迁移应用能力，体现创新性。巧设数列、函数周期性与二项式定理，凸显综合性。第14题由
中规中矩的求数列通项结合抽象函数周期性，再巧用二项式定理解决问题，试卷区分度大，体现了高考的
选拔功能。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解不等式 ，得 ，则 ，
解不等式 ，得 或 ，则 ，
所以 .
故选：B
2．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【详解】根据正态曲线的对称性，由 ，得 ，
因为 ，
所以 .
故选：A
3．已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C
【详解】 ，即 ，则 ，
因为 ，则 ，则 ，则 ，
则 ，则 .
故选：C
4．已知直线 交圆C： 于M，N两点，则“ 为正三角形”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由C： 可得其圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
若 为正三角形，则有 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
故“ 为正三角形”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5．若函数 的图象关于点 对称，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 的图象关于点 对称，所以函数 为奇函数，
则 ，即 ，且 为奇函数，
所以 ，得 ，
所以 ，
故选：A.
6．设 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
，
，
.
， ， ，
或 ，即 或 （舍去）.
故选：A.
7．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积近似计算的注释：将上底面的长乘
以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽
相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童” ，其上、下底面均
为正方形，若 ，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为 ，则按《九章算术》的注释，该
“刍童”的体积为（ ）A．8 B．24 C． D．112
【答案】C
【详解】连接 ， 交于点 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，过 作 ，如图，
.
因为“刍童” 上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以
底面 ，又 ，所以 底面 ，
所以 是“刍童” 其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则 ，
因为 ，所以 ，
易知四边形 是等腰梯形，则 ，
所以在 中， ，则 ，即“刍童” 的高为 ，
则该刍童的体积 .
故选:C.
8．已知可导函数 的定义域为 是 的导函数，且 均为奇函数，
，则 （ ）A． B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】因为 为奇函数，则 ，即 ，
两边求导得 ，
所以 关于直线 对称， 即 ，∴ ①
又因为 为奇函数，则 ，
即 ，可知 关于点 对称，
即 ②，
由①②得， ， ，即8为 的周期．
注意到 ，
所以 ，
.
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设复数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为 ，选项A正确；因为 ，
所以 ，选项B正确；
因为 ，
,
所以 ，选项C错误；
因为 ，所以 ，选项D正确；
故选：ABD．
10．我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定
点为 ， ，动点 满足 ，化简可得卡西尼卵形线 ，
则（ ）
A．曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形
B．曲线C关于直线 对称
C．曲线C都在圆 内
D．曲线C与椭圆 没有公共点
【答案】ACD
【详解】对于选项A：曲线C上任取一点 ，
把方程中的x，y换成 得 ，
把方程中的x，y换成 得 ，
把方程中的x，y换成 得 ，
可知点 ， ， 也在曲线C上，所以曲线C既关于原点对称，也关于坐标轴对称，A正确；
对于选项B：把方程 中的x，y互换得 ，
即两方程表示的曲线不相同，所以曲线C关于直线 对称，故B错误；
对于选项C：由 得 ，两边平方得 ，
设O为原点，则 ，
所以曲线C都在圆 内，故C正确；
对于选项D：椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
若曲线C与该椭圆有公共点P，则 ，
则 ，与 矛盾，故D正确．
故选：ACD．
11．已知函数 ，若函数 有6个不同的零点，且最小的零点为
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．6个零点之和是6
【答案】BD
【详解】由函数 的图象，经过 轴翻折变换，可得函数 的图象，
再向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过 轴翻折变换，可得 的图象，如图所示，
则函数 的图象关于直线 对称，令 ，
因为函数 最小的零点为 ，且 ，
故当 时，方程g(x)=0有4个零点，所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为 ，则 或 ，
由 ，可得 或 ，
设 的四个根从小到大依次为 ，
由函数y=f (x)的图象关于直线 对称，可得 ，
所以 的所有零点之和是6，故D正确；
关于 的方程 的两个实数根为 和 ，
由韦达定理，得 ，所以B正确，A，C错误.
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一
位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种．
【答案】42
【详解】由题意得，节目甲必须排在前两位，则节目甲只能排在第一位或第二位．
若节目甲排在第一位，则节目乙有 种情况；
若节目甲排在第二位，则节目乙有 种情况．
故节目乙一共有 种情况，
再安排剩下的三个节目，有 种情况，所以根据分步乘法计数原理，得到编排方案共有 （种）．
故答案为：42.
13．已知 ，则 的值为 .
【答案】
【详解】由 ，得 ，
则 ，
即得 ，即 ，
则 .
故答案为： .
14．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，函数 定义域为 ，对任意 都
有 ，若 ，则 的值为 .
【答案】
【详解】对数列 ：当 时， ，
当 时， ，所以 ，
两式相减得： .
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以 .所以 .
对函数 ：令 得： ；令 得： ；
令 得： ；令 得： …
所以函数 为周期函数，且周期为4.
又因为： .（ ）
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面
有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园
成熟的贵妃杏（按个计算）的质量 （单位：克）服从正态分布 ，且
．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：
克）为 ，这10个贵妃杏的平均质量恰等于 克．
(1)求 ．
(2)求 ．
(3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，
则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个
数为 ，求 的分布列与数学期望．
【详解】（1） ；............................................2分
（2）因为 ，所以 ，
所以 ．.........................................................................................................4分（3）设1人获赠贵妃杏的个数为 ，则 ．.........................6分
依题意可得 的可能取值为 ，
，
，
，
，
，............................................................................................................................9分
则 的分布列为
0 1 2 3 4
0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
.............................................................................................................................................................................11分
所以 ....................................................................13分
16．（15分）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，求证： ；
(3)若 ，求数列 的前 项和 .
解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，............................1分
则 ，化简，得 ，..............................................................................3分整理，得 ， 解得 (舍去)，或 ，则 ，.............................................5分
， ...........................................................................6分
（2）由 (1) 可知， ，
则 ，.........................................................................................................................7分
，
...................................................................................................................................................10分
（3）由 (1) 可得，
，.................................................................................................................11分
，.....................................................................................................12分
令 ，
两式相减，可得
，
，.................................................................................................................................14分令
,
.....................................................................................15分
17．（15分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的极小值小于0，求实数 的取值范围.
解：（1）依题意，函数 的定义域为R，
当 时， ，则 ，
，.................................................................................................................2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ..........................................................................................................................................4分
（2）由题意得， ，
当 时， 恒成立，所以函数 在R上单调递增，此时函数 不存在极值，不合
题意......................................................................................................................................................................6分
当 时，令 ，即 ，则 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，............................................................................................9分且 .
又因为 ，则 等价于 ，..............................................................11分
令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递减，....................................................................13分
又 ，所以当 时， ，
即不等式 的解集为 ，
故实数 的取值范围是 ......................................................................................................................15分
18．（17分）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 分别为
中点.
(1)证明：平面 与平面 的交线 平面 ；
(2)证明： ；
(3)若直线 与平面 的夹角为 ，二面角 的正切值为 ，求 的长.
解：（1）因为 分别是 的中点，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，...........................................................................................................2分
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；...........................................................................4分
（2）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，.......................................................................................................................................6分平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， .....................................................................................................................................8分
又 平面 ，故 .....................................................................................................................9分
（3）以 为坐标原点， 所在直线为 坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，
由（2）： 平面 且 平面 ，故平面 平面 ，...........................................10分
过 在平面 内作 ，所以 平面 ，设 ，则
则 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，.............................................11分
因为直线 与平面 的夹角为 ，所以
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以： ， ，
， ， ，............................13分
设 ，则：
，............................................................................................................15分
所以 ，
解得： 或 ，经检验，均符合题意................................................................................................17分
19．（17分）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，记 的
轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
解：（1）设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .......................................................................................................................2分
（2）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，
则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；..........................................................................................4分
②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
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联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，........................................................................6分
所以
，同理 ，所以 ，
综上， ...................................................................................................................................9分
（3）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，
联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
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则 ，
， ，
故 ，...............................................11分
因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，....................................................................................................................12分所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，
Q到两渐近线的距离分别为 ，
，.............................................................................................14分
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为
，............................................................16分
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 ...........................................................................................17分
