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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷（新高考八省专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：
命题趋势变化：从本卷来看，高考数学命题更加注重对知识的综合运用和思维能力的考查。例如
第7题，将几何知识与球的性质相结合，要求学生不仅掌握几何图形的性质，还要能够灵活运用球
的表面积公式进行计算，体现了对知识综合运用能力的考查。
题目呈现方式变化：题目呈现形式更加多样化，不仅有传统的纯数学问题，还融入了实际情境和
跨学科元素。如第8题以鞋带系法为背景，考查学生的空间想象能力和实际应用能力，这种情境化
的题目设置使学生能够更好地将数学知识与实际生活联系起来，体现了数学的应用价值。
高考·新考法：
对常规考点的新设问：本卷中对一些常规考点进行了新的设问方式。例如第10题，对函数的极值
点、切线斜率、零点等常规考点进行了综合考查，但设问方式更加灵活多样，要求学生不仅要掌
握基本概念，还要能够灵活运用这些概念进行分析和判断。
知识融合：注重不同知识点之间的融合。如第19题，将椭圆的性质与直线方程、面积计算等知识
相结合，考查学生对多个知识点的综合运用能力。这种知识融合的考法要求学生在学习过程中不
仅要掌握单个知识点，还要注重知识点之间的联系和整合。
高考·新情境：
情境题目的创新性：第8题以鞋带系法为背景，这种情境在以往的数学考试中较为少见，具有一定
的创新性。它不仅考查了学生的数学知识，还考查了学生对实际问题的理解和分析能力。
跨学科的融合性：虽然本卷中没有特别明显的跨学科融合题目，但第8题也可以看作是数学与生活
实际的简单融合。这种跨学科的融合性题目体现了数学与其他学科之间的联系，也符合高考命题
的发展趋势。
命题·大预测：
趋势性预测：从本卷的题目来看，未来高考数学命题可能会更加注重对知识的综合运用能力、思
维能力和创新意识的考查。题目可能会更加灵活多样，考查的知识点也会更加广泛和深入。同时，
情境化和跨学科融合的题目可能会越来越多，要求学生具备更强的综合素养。
备考方向：在备考过程中，学生应该注重对基础知识的深入理解和掌握，同时要加强知识之间的
联系和整合，提高综合运用能力。要注重培养自己的思维能力和创新意识，通过多做类似的创新
性题目来提高自己的解题能力。此外，学生还应该关注生活实际，提高自己的应用能力，以应对
可能出现的情境化和跨学科融合的题目。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ， .
故选：C.
2.已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，故 .
故选：B.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：D.4．已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上的一点， 垂直于 轴，
为 轴上一点，且 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图，由 可得点 ，因 垂直于 轴，则可取 ，
又 ，则易得 ，则 ，
即 ，也即 ，因 ，故得 .
故选：B.
5．已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
可得 ，化简可得 ，由角 为锐角，则 ，
由 ，整理可得 ，
分解因式可得 ，
由角 为锐角，解得 .
故选：B.
6．已知 则曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得到 ，
化简得 ，解得 ，
代入回原函数得到 ，
而 ，故切点为 ，
而 ， ，设曲线 在 处的切线斜率为 ，
由导数的几何意义得 ，
故切线方程为 ，化简得 ，
令 ，得到 ，所以与 轴交点为 ，
令 ，得到 ，所以与 轴交点为 ，
且设三角形面积为 ，故 ，故A正确.
故选：A
7．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结
构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形， ， ，
与 都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表
面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC，BD，设 ，
因为四边形ABCD为矩形，所以 为矩形ABCD外接圆的圆心．连接 ，
则 平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线 交EF于点M．连接PQ，则 ，且 为PQ的中点，因为 ，所以 ，
连接EP，FQ，在 与 中，易知 ，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以 ，且 ．
设 ，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段 上时，由球的性质可知 ，
易得 ，则 ，此时无解．
当O在线段 的延长线上时，由球的性质可知，
，解得 ，所以 ，
所以球O的表面积 ，
故选：D．
8．在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式
如何影响所需鞋带的总长度.
A. 小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来
完成.此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带.
B. 蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和
缠绕.虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加.
C. 爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案
的构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕.此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不
需要额外的鞋带长度.
D. 小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕.虽然
这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造.
故选；C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数 .某
地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，
离散系数为0.36，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 .）
A. 学生考试成绩标准差为
B. 学生考试成绩近似服从正态分布
C. 约有20000名学生的成绩低于58分
D. 全体学生成绩的第84百分位数约为78
【答案】ACD【解析】对于A，根据离散系数 ，平均分为57.4，离散系数为0.36，可得标准差为
，故A正确；
对于B，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，则学生考试成绩近似服从正态分布 ，
故B错误；
对于C，平均分为57.4，所以成绩低于58分得概率约为 ，所以约有 名学生的成
绩低于58分，故C正确；
对于D，又因为 ，且 ，所以全体学生成绩的第84百分位数约为
，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 只有1个极小值点
B. 曲线 在点 处的切线斜率为9
C. 当 有3个零点时， 的取值范围为
D. 当 只有1个零点时， 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】因为 ，
当 或 时 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
则 在 、 处取得极小值，故 有 个极小值点，故A错误；
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，故B正确；
令 ，
则 的图象如下所示：
其中 的图象是由 的图象向下 或向上 平移 个单位得到；
因为 ， ， ， ，
要使 有3个零点，则 或 或 ，
即 或 或 ，解得 或 或 ，
综上可得 的取值范围为 ，故C正确；
要使 只有1个零点，则 或 ，即 或 ，
解得 或 ，即 的取值范围为 ，故D正确.故选：BCD
11．如果定义在R上的函数 ，对任意两个不相等的实数 ， ，都有
，则称函数 为“H函数”，下列函数是“H函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 ，
是
即 时， 恒成立，因此 增函数，
时， 为偶函数，在定义域内不可能是增函数，A不满足新
定义；
，则 恒成立，所以
是 上的增函数，满足新定义；
， 恒成立， 是 上的增函数，满足新
定义；
时， ， 不是定义域内的增函数，不满足新定义．
故选：BC．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 已知直线 被圆 截得的最短弦长为 ，则______．
【答案】
【解析】由题意，圆 ，可得圆心 ，半径 ，
过定点
则圆心到直线 的距离为 ，
可得截得弦长为 ，
弦长取得最小值 时， .
故答案为： .
13．在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等
6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至
少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是______．
【答案】
【解析】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为 ，
甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为 ，
因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是 ，
所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 .
故答案为：
14．已知等比数列 的前n项的积为 ，即 ，又已知 ，则 的最大值为_______．
【答案】8
【解析】因为 为等比数列，且 ，所以 ，
由 .
所以 ，
所以 为 的最大值，且 .
故答案为：8
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， ，内角A，B，
C成等差数列.
（1）求a的值及 的面积；
（2）求 的值.
【解析】【小问1详解】
由角A，B，C成等差数列，可得 ，（2分）
结合三角形内角和定理 ，可得 ，（3分）
由余弦定理 ，代入已知条件得：（4分）
，化简得， （5分）
解得 ，或 （舍去），所以 ，（6分）
又因为 ，所以 ，由三角形面积公式 ，得： .（7分）
【小问2详解】
利用正弦定理 ，可得 ，（8分）
，则角A为锐角，（9分）
所以 ，（10分）
所以 ，（11分）
，（12分）
故 .（13分）
16．（15分）如图，多面体 中， 平面 平面 是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）若 ，且二面角 的余弦值为 ，求 的长.【解析】【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，（2分）
因为 为 中点，所以 ， ，（3分）
因为 平面 平面 ，所以 .（4分）
又因为 ，所以 ，（6分）
所以四边形 为平行四边形，所以 ；（6分）
为
因 平面 平面ABC，所以 平面 .（7分）
【小问2详解】
如图所示建立空间直角坐标系，设 ，（8分）
则 ，（9分）
，（10分）
设n`=(x,y,z)为平面 的法向量，则有 得 ，（11分）
令 ，得 ，（12分）
显然平面 的一个法向量可以为 ，（13分）
因为二面角 大小余弦值为 ，所以有
.（14分）
解得 ，即 的长为3.（15分）
17．（15分）已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2）讨论函数 的单调性.
【解析】【小问1详解】
由于 ，则 ，（2分）
点 在 上， 故 ；（3分）
又 ，则 ，（4分）
则 ，解得 或 ；（5分）
【小问2详解】由题意得 的定义域为 ， （6分）
则 ，（7分）
令 ，
当 时， 即 ，所以 在 上单调递减；（8分）
当 时， ，（8分）
当 时， ，则 在 上单调递增；（9分）
当 时， ， 的根为
，
由于 ，即 ，（10分）
当 或 时， ，
在 和 上单调递增；（11分）
当 时， ，
在 上单调递减；（12分）
综上，当 时， 在 上单调递减；（13分）当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.（14分）
当 时， 在 上单调递增；（15分）
18．（17分）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的
班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场
比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果
最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以 或 取胜的选手积3分，失败
的选手积0分；而在比赛中以 取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比
赛，设每局比赛甲取胜的概率为 ．
（1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多
少？
（2）在第6场比赛中，当 时，设甲所得积分为 ，求 的分布列及期望
（3）在第6场比赛中，记甲 取胜的概率为 ，求 的最大值．
【解析】【小问1详解】
记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件 ，（1分）
则 ；（4分）
【小问2详解】
依题意 的可能取值为 ，所以 ，（5分）
，（6分）
，（7分）
.（8分）
所以 的分布列为
所以 的期望为 .（9分）
【小问3详解】
依题意 ， ，（10分）
则 ，（11分）
令 ，得 ，（12分）
当 时， ， 在 上单调递增，（13分）
当 时， ， 在 上单调递减，（14分）
所以 在 处取得极大值，即最大值，（15分）所以 .（17分）
19．（17分）已知椭圆 上一点 到两个焦点的距离之和为4.
（1）求 的方程；
（2）若斜率均为1的直线 分别经过 的左顶点和右焦点， 与 交于 两点， 与 交于
两点，求 这四点围成的四边形的面积；
（3）若过点 的直线 与 交于 两点，直线 的斜率不为 为 的右焦点，证明：
的内心在定直线上.
【解析】【小问1详解】
由题意， ，则 ，所以椭圆方程为 ，（1分）
又点 在椭圆上，则 ，解得 ，（2分）
所以椭圆 的方程为 .（4分）
【小问2详解】
由题，如图椭圆的左顶点为A(?2,0)，则直线 ，
右焦点为F(1,0)，则直线 ，（5分）
将直线 与椭圆方程联立 ，化简整理得 ，（6分）
解得 ， ，即点 ，，（7分）
同理，可求得 ，又 ，
所以四边形 为梯形，梯形的高即两平行线 与 间的距离，
，（8分）
所以四边形 的面积为 .（9分）
【小问3详解】
如图，设直线 ， ， ， 的内切圆的圆心为 ，
则 ， ， ，（10分）
由奔驰定理可得， ，
即 ，
可得 ，（11分）
联立 ，化简整理得 ，（12分）
， ，且 ，又 ，（13分）
同理， ，
，（14分）
又
，（15分）
则 ，即 ，
所以 ，（16分）
所以 的内心在定直线 上.（17分）
