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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷（天津卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：最近五年的天津卷都有五道解答题，顺序基本上都是：解三角形——立体几何——椭圆——
数列——函数与导数（除了 2022 年椭圆在第19题，数列在第18题）。2024版《荟萃》除了 2023 年天
津卷高考真题中的解答题之外，没有新增更多的解答题．但是，2025版《荟萃》除了2024年的真题外，
还新增了七个解答题。
高考·新考法：题量变化增加了思考时间，使其能更深入地分析和解决问题，符合新课标及课改对学生思维
能力培养的要求。解答题注重考查学生的综合运用能力、逻辑推理能力和书面表达能力
命题·大预测：本套试卷难度与高考相当，既考察了学生的基础知识掌握情况，也通过中档题和拔高题检验
了学生的解题能力和思维深度，有助于激励学生挑战自我，提升能力。试卷不仅考查了具体的数学知识，
更突出了数学思想的应用和六大核心素养的考察，这有助于学生形成系统的数学思维，提升解决问题的能
力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45分）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合 ， ，则 .
故选：A.
2．对于任意实数 ， ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】当 时，满足 成立，但不满足 成立，
所以“ ”是“ ”的不充分条件，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件,
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增函数的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】D
【解析】对于A，函数 为偶函数，由x∈(0,1)， ，
所以 在(0,1)上先单调递减再单调递增，故A错误，
对于B，函数 为非奇非偶函数，故B错误；
对于C， ，可得 为奇函数，故C错误，
对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时，函数 在(0,1)上为增函数．
故选:：D．
4．某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位： ），分别为 ，则该组数据
的第60百分位数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】将该组数据从小到大排列： ，共8项，
又 ，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8.
故选：C.
5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数的性质，可得 ，根据对数函数的性质，可得 ，
所以 .
故选：B.
6．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】B
【解析】对于A：若 ， ，则 或 与 异面，故A错误；
对于B：在 内任取一点 ，设点 与直线 确定一个平面 ，且 ，
由 ，由线面平行的性质定理，可得 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：若 且 ，则 或 在 内，故C错误；
对于D：若 ， ，则 或 ，故D错误.
故选：B.
7．已知函数 的最小正周期为 ，把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，若 是偶函数，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 ，
又因为最小正周期为 ，所以 ，即 ，
将 的图象上所有点向右平移 个单位长度，
可得 ，由于 是偶函数，其图象关于 轴对称，因此 ， ，解得 ，
由于 ，则 的最小值是 .
故选：B.
8．过双曲线 的左焦点 作直线与它的两条渐近线分别交于 ， 两点，且
， ， 是坐标原点，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由双曲线方程可得渐近线方程为 ，
又因为 ， ，可知 为线段 的中点，且 ，
因此 ，可知 为等腰三角形，即 ，
连接 ，如下图所示：
由双曲线性质可得 ，
所以 ，
可得 ，即 ，
所以 .
故选：A
9．图1是边长为1的正六边形 ，将其沿直线 折叠成如图2的空间图形 ，若
，则几何体 的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过 作 ，垂足为 ，连接 ，由对称性可得 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，即空间几何体 为直三棱柱.
∵ ， ，所以 ， ，
同理求得 ， ，则 ，
又 ，等腰三角形 的面积为 ，
空间几何体 拆分为三棱柱 、三棱锥 和三棱锥 三个部分，
∴空间几何体 的体积为 .
故选：D.
第二部分（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10． 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为 ．【答案】
【解析】由 ，则 ，
故 的虚部为 .
故答案为： .
11．二项式 的展开式中， 项的系数为 .
【答案】80
【解析】 的展开式的通项为：
，
令 ，解得 ，
所以 项的系数为 .
故答案为：80.
12．已知圆心在 轴上的圆 与倾斜角为 的直线相切于点 则圆 的方程为 .
【答案】
【解析】设圆心为 ，半径为 ，
依题意可得 ，
直线的方程为： ，整理得 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，
所以 ，解得 ，
所以圆的方程为 .
故答案为：
13．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是
；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件 ，“第二次摸到红球”为事件 ，则 .
【答案】 / /
【解析】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由 种取法，
其中恰有一个白球的取法有 种，其中恰有一个白球的概率是 ；
由题可知，“第一次摸到红球”为事件 ，“第二次摸到红球”为事件 ，
则 ， ，所以 .
故答案为： ； .
14．在 中，已知 ， ， ，则 ；若点P在线段 上，则 的
最小值为 .
【答案】
【解析】在 中，因为 ， ， ，
所以由余弦定理得： ，
解得： ；则 ，所以 ，
以C为原点，分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ， ，
设 ，
则 ，
所以 ，，
当 时， 取得最小值为 ，
故答案为： ， .
15．设函数 ，若方程 有三个实数根 ,满足 ，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，作出其图象如下图所示：
则由图知 且 ,
满足 ，即 ，
故 ，令 且 ，
则上式 ，
令 ，则 ， ，故
在 内单调递增，则 .
故答案为：
三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；(3)求 的值.
【解析】（1）由 ，
得 ，且 ，则 ，
又因为 ，
解得 ；
（2）因为 ，得
且
解得 ；
（3）因为 ，
.
17．如图，已知四边形ABCD是矩形， ，三角形PCD是正三角形，且平面 平面
.
(1)若O是CD的中点，证明: ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为 若存在，确定点Q的位置，
若不存在，请说明理由
【解析】（1）连接 ，
因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则 ，且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为四边形ABCD是矩形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，过 平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
则 ，所以 .
（2）由（1）可得： ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设二面角 为 ，
则 ，可得 ，
所以二面角 的正弦值为 .
（3）由（1）可得 ，
设 ，可得 ，
由（2）可知：平面 的法向量 ，则由 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
即 ，可知存在点Q，点Q为PC的中点.
18．已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点 且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 ， ，经过点 且平行于 轴的直线与椭圆
交于点 .证明：直线AC过定点.
【解析】（1）依题意，得 ，
解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）当直线AB斜率为0时，直线AB与椭圆无交点，不符合题意，
从而设 ，
联立 ，化简并整理得
，
由题意 ，
即 应满足 ，此时 或 ，
所以 ，
因为直线BC斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，
由 的对称性，在直线AC方程中令 ，
得 ，
所以直线AC过定点(0,1).19．已知 为公比大于0的等比数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 .其中 .
（i）求 及 ；
（ii）求 .
【解析】（1） 的公比为 ，
因为 ，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以
（2）（i）由（1）可知 ，
，
当 时， ，可知 为等差数列，
（ii）由（i）可知，当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
记
则 ，
，
①，
②，
①－②得 ，，
，
20．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若 ，证明对任意 ， 恒成立．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
，则 ，
则曲线 在点 处切线的方程为 ，
整理得 ；
（2） ，
令 ，有 ， ，
由 且 ，
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；综上，当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
（3）由 ，故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 单调递减，
若 ，则 ，符合要求；
若 ，则 ，则 ，
则要证 ，只需证 ，
即只需证 ，
令 ， ， ，
则 ，
由 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
由 ，由对勾函数性质可知 ，
故 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，即有 ，即得证.
