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2025 年高考考前信息必刷卷 02（浙江专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：浙江省使用全国新课标Ⅰ卷，结合最新八省联考动向，更加注重动手画图能力，虽然八省联
考最后一道压轴题不是新定义题，但以数列为背景的压轴题仍可能是今年的趋势。
高考·新考法：以数列为背景，融入到概率，统计中，综合考察学生对数列和正态分布，二项分布的理解
高考·新情境：以珠海航展为背景考察条件概率；以拿破仑三角形为背景考察解三角形知识
命题·大预测：考察全概率公式和贝叶斯公式（如本卷第13题）；在概率统计中融入数列递推关系求通项；
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据 或 ，结合集合中元素满足互异性即可求解.
【详解】因为
所以 或 ，
当 时， ，此时， ，故舍去：当 时，解得 或 （舍去），
综上 ．
故选：B
2．已知角α的终边过点 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C．-1 D．
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】根据三角函数的定义求出 的值即可得答案.
【详解】 角 的终边经过点 ，
，
.
故选：A.
3．已知平面直角坐标系 中， ， ， ，若 ，则 的坐标
为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量平行的坐标表示及向量的线性运算的坐标表示求得 即可得．
【详解】设 ，
，所以 ，
故 .
故选：B．
4．若存在正实数x，y，使得等式 和不等式 都成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】借助基本不等式可得 的最小值，结合该值，再解出与 有关一元二次不等式即可得.
【详解】由 ，则
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
即 恒成立，故 ，
即 ，解得 或 .
故选：B.
5．第 届中国国际航空航天博览会于 年 月 日至 日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打
造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是
珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少
有 人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】记事件 甲参观珠海国际航展中心，事件 甲与乙不到同一观展区，求出 、 的值，
利用条件概率公式可求得所 的值，即为所求.
【详解】记事件 甲参观珠海国际航展中心，事件 甲与乙不到同一观展区，则 ，
因为每个观展区至少有 人，每人只参观一个观展区，
则先将 个人分为 组，再将这三组分配给三个展区，
基本事件的总数为 ，
若事件 、 同时发生，若参观珠海国际航展中心有 人，则另外一人为丙或丁，
此时，不同的参观情况种数为 ，
若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，
此时，不同的参观情况种数为 种，
因此， ，由条件概率公式可得 .
故选：A.
6．已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数
【分析】根据函数为增函数列及一次函数、对数函数的单调性出不等式组求解即可.
【详解】因为 在 上是增函数，
所以 ，即 ，解得： ，
故选：D.
7．已知数列 的前12项和为164，且满足 ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和
【分析】由 ，推出 和 ，再利用前12项和为164
求解.
【详解】解：由题知： ，
，
又 ， ，
所以
，
，
故选：C
8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】依题意，将 转化为 ，在定义域 内同正同负，函数
图象与 轴的交点重合，得到 ，进而 ，利用导数求出最小值.
【详解】 可看作 ，在定义域内二者均单调递增，
在定义域 内同正，因此只需函数图象与 轴的交点重合，如图所示：
令 ，
得 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
当 时 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为2，
故选：D.
【点睛】关键点点睛： 可看作 ，在定义域
内同正同负，因此函数图象与 轴的交点重合.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项是第4项 D．展开式中第5项为常数项【答案】ABC
【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、二项展开式各项的系
数和
【分析】根据二项式系数和的公式可判断A，利用赋值法可求系数和，从而判断B，根据二项式系数的性
质可判断C，根据通项可计算展开式中的第五项，从而判断D.
【详解】 的二项式系数之和为 ，选项A正确；
令 ，得 ，则 的各项系数之和为1，选项B正确；
的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，选项C正确；
的展开式中第5项为 ，不是常数项，选项D不正确．
故选：ABC．
10．已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 在 上单调递增
C． 是奇函数
D．将 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象
【答案】ACD
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前
（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用三角函数图像求出函数 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦
型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角函数图像可判断D选项.【详解】由图像可得， ，
函数 的最小正周期为 ，故 ，
则 ，又 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，解得 ，
所以 .
对于A选项： ，
所以直线 为函数 的一条对称轴，故A正确；
对于B选项：当 时， ，
所以函数 在 上不单调，故B不正确；
对于C选项： 为奇函数，故C正确；
对于D选项：因为 ，将 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数
的图像，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，正方体 的体积为8，E，F，G，M分别为 的中点，则下列说
法正确的是（ ）
A．直线 平行于平面
B．向量 在向量 上的投影向量为C．点M到直线 的距离为
D．点P为线段 上一点，则直线 与直线 所成角的范围是
【答案】ABC
【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，对于A，利用空间向量证明
线面平行即可；对于B，求出向量 在向量 上的投影向量即可；对于C，利用向量法求出点M到直
线 的距离即可；对于D，利用向量法求出直线 与直线 所成角的余弦值范围即可.
【详解】因为正方体 的体积为8，所以棱长为2，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，平面 的法向量为 ，又 ，所以 ，又 平面 ，所以
平行于平面 ，故A正确；
对于B， ，所以向量 在向量 上的投影向量为
，故B正确；
对于C， 所以M点到直线 的距离为
，故C正确；
对于D，记直线 与直线 所成角为 ，因为点P为线段 上一点，设 ，则
，
所以 ，
令 ，则 ，
，
当 时， 取得最大值1；当 时， 取得最小值 ；所以 ，故D错误；
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为 ．
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】借助复数运算法则计算出 后，结合虚部定义即可得.
【详解】由 ，则 ，
故 的虚部为 .
故答案为： .
13．中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的
欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产
300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，
若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数）
【答案】0.36
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由条件概率计算
即可；
【详解】设B表示事件：取得次品． 表示事件：该产品由第i家工厂生产（ ，2，3）．第i家工厂（
，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂．
， ， ．
， ， ，
．故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
故答案为：0.36.
14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，
向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为
拿破仑三角形）的顶点”.在 中，已知 ，且 ，现以 为边向外作
三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ，则 的面积最大值为 .
【答案】 /
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最
值或范围
【分析】连接 ，则 ，由等边三角形的性质可求出 ，从而可求出 ，在
中，利用余弦定理结合基本不等式可得 ，从而可求出 的面积最大值
【详解】设 的三个内角 的对边分别为 .
连接 ，则由题设得， ，
因为以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
又 ，
∴ ，即 （当且仅当 时等号成立），
由题意可得 为等边三角形，
故
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在△ 中，内角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若△ 的面积为 ，求 边上的中线 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，因为 ，
由余弦定理得： ，
又 ，所以 ．
（2）由 ，所以 ，
由（1） ，所以 ，
因为 为 边上的中线，所以 ，
则
， .
故 边上的中线 的长为 .16．（15分）
如图，六面体 是直四棱柱 被过点 的平面 所截得到的几何体，
底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ，
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面ABCD的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】 1 根据线面垂直的性质可得 ，由 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可证
明；
2 建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法求面面角即可．
【详解】（1）连接BD，
直四棱柱 中， ，则点F在平面 内，
因为 平面ABCD，且 平面ABCD，所以 ，
又底面ABCD为正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ；
（2）因为 平面ABCD，DA， 平面ABCD，
所以 ， ，
又底面ABCD为正方形，所以 ，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，所以 ；
因为 平面ABCD，所以 是平面ABCD的一个法向量；
设平面 与平面ABCD的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面ABCD的夹角余弦值为
17．（15分）
已知椭圆 ，点 .
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)直线 过点 且与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于 点，是否存在直线 使
为直角三角形？若存在求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ，
(2)存在，
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据椭圆方程求出 ，即可得出焦距及离心率；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出中点，得出 中垂线方程求出点 ,
根据垂直可得向量数量积为0，求出 可得解.【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由题意知，直线 不与 轴重合.设 方程为 .
由 .
有 .
设 的中点为 .
则 的中垂线方程为 ，
令 ，得 .
.
由题意， ，
即，
的方程为 .
18．（17分）
设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)当 时 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问
题
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）求出导函数 ，并设 ，求得 ，由于
，因此根据 ， 以及 分类讨论 是否恒成
立，从而得参数范围；
（3）由（2）不等式变形得 ，再用 代 后变形及放缩得 ，然后令
后相加可证．
【详解】（1） ，
由题意曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 ，解得 ；
（2） ， ，，令 （ ），则 ，
当 ，即 时， ， 即 是 上的增函数，
因此 ，
是增函数，所以 ，不合题意，舍去；
当 即 时， ， 即 是 上的减函数，
所以 ，
所以 是 上的减函数，从而 恒成立，
当 即 时， ，
时， ， 在 单调递增，
时， ， 在 单调递减，
又 ，所以 时， 恒成立，即 恒成立，
此时 在 上单调递增，因此 ，与题意不合，舍去，
综上 ．
（3）由（2）知 时， ，即 ，从而 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
此不等式中分别令 得
， ， ， ，
将这 个不等式相加得 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出
，然后分别令 后相加得证．
19．（17分）
如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务. 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情
况，在某月从该市大学生中随机调查了 人，并将这 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分
布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过 元）：
消费金额（单位：百元）
频数 20 35 25 10 5 5
(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 （单位：元）近似服从正态分布 ，其
中 近似为样本平均数 （每组数据取区间的中点值， ）．现从该市任取 名大学生，记其中网
络外卖消费金额恰在 元至 元之间的人数为 ，求 的数学期望；
(2) 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值 元的
饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第 格、第 格、第 格、…、
第 格共 个方格．棋子开始在第 格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是 ，
其中 ），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从 到 ），若掷出反面，则将棋子向前移动两格
（从 到 ）．重复多次，若这枚棋子最终停在第 格，则认为“闯关成功”，并赠送 元充值饭卡；
若这枚棋子最终停在第 格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．
①设棋子移到第 格的概率为 ，求P 的值，并证明：当 时， 是等比数列；
2
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1)
(2)① ，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、特殊区间的概
率
【分析】（1）根据数据算出 ，由 服从正态分布 算出概率，即 ，
进而算出的 数学期望；
（2）棋子开始在第 格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为 ，即 ，
棋子移到第 格的情况是下列两种，即棋子先到第 格，又掷出反面，其概率为 ；棋
子先到第 格，又掷出正面，其概率为 ，所以 即 ，进而
求证当 时， 是等比数列，计算 符号即可判断.【详解】（1） ，
因为 服从正态分布 ，
所以 ．
所以 ，所以 的数学期望为 ．
（2）①棋子开始在第 格为必然事件， ．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第 格，其概率为 ，即 ．
棋子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第 格，又掷出反面，其概率为 ；
棋子先到第 格，又掷出正面，其概率为 ，
所以 ，
即 ，且 ，
所以当 时，数列 是首项 ，公比为 的等比数列．
②由①知 ， ， ，， ，
以上各式相加，得 ，
所以 ．
所以闯关成功的概率为 ，
闯关失败的概率为 ．
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
