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2025 年高考考前信息必刷卷 02（江苏专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D B D C A B D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． / 13． 14． /
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由 ，
得 ，
得 ，（2分）
得 ，（4分）
由正弦定理，得 .（6分）
由余弦定理，得 .（7分）
.(8分)
（2）由 ，得 ，（9分）
得 ，得 ，（10分）
由正弦定理，得 .（11分）
又 .
∴△ABC的面积 .（13分）
16．（15分）
【详解】(1)解：设点P的坐标为 .由题意，有 ①
由 ，得 ， （4分）
由 ，可得 ，代入①并整理得 （6分）
由于 ，故 .于是 ，所以椭圆的离心率 （8分）
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为 ，设点P的坐标为 .
由条件得 消去 并整理得 ②
由 ， 及 ，
得 .（10分）
整理得 .而 ，于是 ，代入②，
整理得 （13分）由 ，故 ，因此 .
所以 .（15分）
(方法二)
依题意，直线OP的方程为 ，设点P的坐标为 .
由P在椭圆上，有
因为 ， ，所以 ，即 ③（10分）
由 ， ，得 整理得 .
于是 ，代入③，（13分）
整理得
解得 ，
所以 .（15分）
17．（15分）
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为棱 的中点，
所以 ，且 ，
又 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，（4分）
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；（6分）
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，（9分）
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则有 ，可取 ，（11分）
因为 轴垂直平面 ，
则可取平面 的法向量为 ，（13分）
则 ，（14分）
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 .（15分）
18．（17分）
【详解】（1）设 ，
则 ，所以 在区间(0,+∞)上单调递增，
所以G(x)>G(0)=0，即 ，（3分）
设 ， ，则 ，
由 时， ，即 ，
所以 ，（5分）
设 ，则 ，
当 时，ℎ '(x)>0，所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
故在区间(0,+∞)上， ，即在区间(0,+∞)上， ，
所以 ，
所以 在区间(0,+∞)上单调递增，（7分）
所以 ，即 ，
所以 得证.（8分）
（2）由 在区间(0,+∞)上恒成立，
即 在区间(0,+∞)上恒成立，
设 ，则 在区间(0,+∞)上恒成立，
而 ，（9分）
令 ，则 ，
由（1）知：在区间(0,+∞)上， ，
即 ，所以在区间(0,+∞)上函数 单调递增，（11分）
①当 时， ，故在区间(0,+∞)上函数φ'(x)>0，所以函数φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
又 ，故 ，即函数 在区间(0,+∞)上恒成立；（13分）
②当 时， ，
，
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，（15分）
又在区间(0,+∞)上函数 单调递增，
故在区间 上函数 ，
所以在区间 上函数φ(x)单调递减，
由 ，所以在区间 上 ，与题设矛盾.
综上， 的取值范围为 .（17分）
19．（17分）
【详解】（1） 是 数表，
（4分）
（2）由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .（6分）
当 时，有 ，所以 .（8分）
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，（10分）
故各数之和 ，
当 时，
各数之和取得最小值 .（11分）
（3）由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，
则该行有 条有向线段，（12分）
所以横向有向线段的起点总数 （13分）
设第 列中 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,（15分）
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，
即存在
使得 ，
所以 ，
则命题得证.（17分）
