文档内容
绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考八省专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：如第10题，第11题新文化题与函数和圆锥曲线相结合，体现新动向
高考·新考法：如第16题考查函数和数列相结合，体现新考法
高考·新情境：如13题涉足生活情境，借助实际生活考查统计与概率
命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了新高考教考衔接的理念和特点。测试
卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基础
知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，当 时，
所以故选：D
2．若复数 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
所以 的共轭复数为 .
故选：A.
3．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，解得 .
故选：C.
4．圆 关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆 可得标准方程为 ，
因为圆 关于直线 对称，
该直线经过圆心 ，即 ， ，
，
当且仅当 即 时取等号，
所以 的最小值为 .
2 / 16故选：C.
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
.
故选：A.
6．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球 的表面上，则球 的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，圆柱的底面半径为 ，高为 ，
因为该圆柱的底面圆周都在球 的表面上，设球的半径为 ，
则 ，即 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：B.
7．在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】因为 ，由正弦定理可得 .
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ，故 为等边三角形.
故选：C
8．已知函数 ，则满足 的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得， 的定义域为 ， ，
因为 ，
所以 为偶函数，
当 时，令 ，则 ，
因为 和 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增．
由 ，得 ，所以 ，
4 / 16两边平方并整理，得 ，解得 ．
故选：B．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
9．已知双曲线 的左焦点 与抛物线 的焦点重合， 是双曲线的右焦点，则下列说
法中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点，若 ，则
【答案】ABD
【详解】 的准线方程为 ，A正确；
由 ，得 ，不妨设 ，则 ，故双曲线的实轴长为4，B正确；
令 ，知双曲线的一条渐近线方程为 ，C错误；
由双曲线的定义，知 ，可得 （ ，舍），D正确．
故选：ABD
10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形
图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆 的周长和面积同时等分成两
部分的函数称为圆 的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A．对于任意一个圆 ，其“太极函数”有无数个
B．函数 可以是某个圆的“太极函数”
C．正弦函数 可以同时是无数个圆的“太极函数”
D．函数 是“太极函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形
【答案】ABC
【详解】任意一个圆 是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；
函数 是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，
则 是该圆的“太极函数”，故B正确；
将圆的圆心放在正弦函数 的对称中心上，则正弦函数
是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确；
函数 的图象是中心对称图形，则 是“太极函数”，
但函数 是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如
图，故D错误.
故选：ABC.
11．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 表示
6 / 16椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂
足为Q，记 .下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
【答案】BD
【详解】不妨设椭圆方程为 ，
设 ， ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
因为 为定值，所以M的值与Р点在椭圆上的位置无关，故A不正确，B正确；
椭圆的离心率 ，
所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．过点 作曲线 的切线，则切点坐标为 .
【答案】 /
【详解】由 ，得 ， ，化简得 ， ，
则 ，设切点为 ，显然 不在曲线上，
则 ，解得 ，则切点坐标为 .故答案为：
13．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学
慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 相邻， 在 的左边，则不同
的站法共有 ；（用数字做答）
【答案】120
【详解】先将 “捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，
再考虑 在 的左边，最后“解绑”，故有 种方法.
故答案为：120.
14．如图，在 中， ， ，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当
取最大值时， ．
【答案】 /
【详解】
如图所示，以 为坐标原点，以 方向为x轴，垂直 方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ．
设P(x,y)，圆O方程为 ，
8 / 16则 ， ，
所以 ．
因为 ，当 时， ，
此时 ，且 ， ，
所以 ， ，则 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）某校高一学生共有 人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的
时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长 与学业成绩 的数据表：
平均作业时长 （单位：小时）
学业成绩优秀：
学业成绩不优秀：
(1)试判断：是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于 小时且小于 小时有关？
(2)常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校
高一学生女生中成绩优秀的学生占比 ，现从所有高一学生中任选一人， 表示“选到的是男生”，
表示“选到的学生成绩优秀”，若 ，求 ．
附： ， ．
【答案】(1)有把握；(2) .
【详解】（1） 列联表数据如下：
时长 其 总计他
优秀
不优秀
总计
所以有 的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于 小时且小于 小时有关．
（2）设 ，则 ，
由 ，得 ，
而 ，则 ．
又 ，于是 ，
得 ，即 ，
而 ，因此 ，
由 ，得 ，所以 .
16．（15分）如图，点 均在x轴的正半轴上， ， …， 分别是以 ， ，
…， （ ）为边长的等边三角形，且顶点 均在函数 的图象上．
(1)求 ， ， 的值，并写出 的通项公式（不用证明）；
10 / 16(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ， ； (2)
【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标 代入 得 ，
将点 坐标代入 ，解得 ，
将点 坐标代入 解得 ，故推测： .
下面提供证明：
依题意，点 ，（ ）在 上，
可得， ①；
又 在 上，
可得， ②，
由②-①， ，因 ，则得， ，（ ），
即 为首项是 ，公差是 的等差数列，故 .
（2）由（1）得 ，
故
．17．（15分）已知函数 ， 其中 为常数.
(1)过原点作 图象的切线 ，求直线 的方程；
(2)若 ，使 成立，求 的最小值.
【答案】(1) (2) .
【详解】（1）
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
因为切线经过原点 ，所以 ，解得 ，
所以切线的斜率为 ，所以 的方程为 .
（2） ， ，即 成立，
则得 在(0,+∞)有解，
故有x∈(0,+∞)时， .
令 ， ， ，
令ℎ '(x)>0得 ；令ℎ '(x)<0得 ，
故ℎ(x)在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
则 ，故 的最小值为 .
18．（17分）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为A，点E的坐标为 ，
12 / 16的面积为 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点P，若 ．
（ⅰ）求直线 的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【详解】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由 ，可得 ，
即 ．
又因为 ，解得 ．所以，椭圆的离心率为
（2）（ⅰ）依题意，设直线 的方程为 ，则直线 的斜率为 ．
由（Ⅰ）知 ，可得直线 的方程为 ，即 ，与直线 的方程联立，
可解得 ，即点 的坐标为 ．
由已知 ，有 ，整理得 ，所以 ，即直线 的
斜率为 ．
（ⅱ）解：由 ，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（ⅰ）得直线 的方程为
与椭圆方程联立 消去 整理得
解得 （舍去）或 ．因此可得点 ，
进而可得
所以 ．得 ．
所以，椭圆的方程为
19．（17分）已知等腰梯形 如图 所示，其中 ， ，点 在线段 上，且
， ，现沿 进行翻折，使得平面 平面 ，所得图形如图 所示．
(1)证明： ；
(2)已知点 在线段 上（含端点位置），点 在线段 上（含端点位置）．
（ⅰ）若 ，点 为线段 的中点，求 与平面 所成角的正弦值；
（ⅱ）探究：是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ） ；（ⅱ）存在，
【详解】（1）因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，故 ．
（2）由题意易知 两两垂直，
故以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
14 / 16不妨设 ，则 ，
（ⅰ）因为 ，
则 ，C(1,1,0)，B(1,0,0)， ， ， ，
故 ， ，
设⃗n=(x,y,z)为平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，
可得 为平面 的一个法向量，
而 ，记直线 与平面 所成的角为 ，
则 ；
（ⅱ）由题意 ，
设 ， ，
故 ， ，
设 ， ，则 ，
而 ， ，若 平面 ，则 ，
解得 ，
故当 重合，点 的坐标为 时，
平面 ，此时 ．
16 / 16
