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2025 年高考考前信息必刷卷 02（江苏专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：“8+3+3+5” 题型模式，旨在更全面的考察数学知识与能力，减少机械记忆和重复计算的题
目比例，各部分值的改变，使版块的层次性加强，选拔性更加突出。
高考·新考法：注重对学科基础知识、基础知识的深刻理解，不考察死记硬背、不出偏题怪题。函数与导数、
概率统计、解析几何依旧是考察重点，但难易度不固定，反押题反套路明显。
高考·新情境：常见题型的综合性加强，例如复数题不在局限于简单的计算，对整体性质均有涉及；解析几
何的问题也综合平面图形的性质，新定义题型考验概念的理解深度和应用；开放性题干的多样化，鼓励多
思维的严密性。
命题·大预测：新高考的题量较之前有所减少，这就导致单个题目分值的提升，尤其是解答题分值的增加。
新题型难度梯度大—体现在基础题更少了，但简单题更简单了；中档题的数量没太大变化，但难度有所提
高，对计算的要求提升；难题数量减少，但解题流程比之前更长，整体计算量有增无减。例如函数问题，
没有直接求导送分的，对思维和素养的考察提出更深层的要求。新定义题目的加入，对阅读的能力要求更
高，将试卷信息量提升新的高度。高考题型虽然变化，要求的核心素养并没有变，理解和运用依旧是解决
问题的核心。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 的子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先求出 ，故求出 ，从而求出子集的个数.
【详解】 ，故 ，故 的子集的个数为 ，
故选：D
2．若复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的计算化简可得 ，根据复数和复平面的点的对应，即可得
解.
【详解】由 ，
所以 ，
所以 在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B
3．已知向量 ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 求出x，得出 ，再由向量夹角的公式求出结果即可.
【详解】由题意知 ，解得 ，所以 ，
所以
故选：D.
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，将 化简即可求得结果.
【详解】由题可知
将 代入上式计算可得 .
故选：C
5．已知圆锥的底面半径为 ，当圆锥的侧面积为 时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的侧面积公式可得 ，即可得母线与底面所成角的余弦值为 ，进而可得正切值.
【详解】设圆锥的母线长为 ，由题意可得圆锥的侧面积 ，解得 ，所以母线与底面所成角的余弦值 ，由同角三角函数关系可得， ，因此母线与底面所成
角的正切值 .
故选:A
6．已知函数 是(0,+∞)上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．(1,+∞)
【答案】B
【分析】由于函数为增函数，所以函数在每一段上都为增函数，且还要满足 ，从而可求出
实数 的取值范围.
【详解】解：因为函数 是(0,+∞)上的单调函数，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
故选：B
7．已知函数 ， 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，则
的范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，将函数 的零点问题，转化为函数 的
图象与直线 的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到 ,进而
得到 ，结合图象和正弦函数的最大值，得到 的取值范围，进而得到 的取
值范围.
【详解】令 ，当 时， ， 的图象如图所示，
由对称性可知 ，∴ ,
又∵ ，
∴ ，
,故 ，
,
∴故选： .
8 ． 已 知 函 数 的 定 义 域 均 是 满 足 ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． D．
【答案】D
【分析】关键是利用恒等式的赋值思想，求出一些常数值，如 ， ，有了这两个值，就可
以把原恒等式化为 ， ，这样对 函数的研究就具了周期
性和轴对称性，从而再作出选项判断.
【详解】令 代入 得： ，
又由 ，可得 ，所以 的图象不过原点，故A错误；
令 代入 得： ，
再令 代入 得： ，
由上两个式子可得 ，
再令 代入 得： ，
因为 ，所以 ，即 ，结合上式可知 ，
令 代入 可知， ，
再令 代入 得： ，可知 ，
再 令 代 入 得 ： ， 由 上 式 可 知 ，，
结合 ，所以 ，
因为 ， ，所以 不可能为偶函数，故B错误；
再令 代入 得： ，
由上式可知， ，故C错误；
再把 用 代入 可得： ，
再令 代入 得： ，
从而可知 ，结合 可得，
，故D正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设X∼N(μ ,σ2 ),Y∼N(μ ,σ2 )，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（ ）
1 1 2 2
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，【答案】ABD
【分析】根据正态分布曲线的性质和图形，依次判断选项即可.
【详解】A：∵由图可知， ，
∴ ，故A错误；
B：由图可得， ，故B错误；
C：由图可得，对任意实数 ， ，
而 ， ，
故 ，故C正确，D错误．
故选：ABD．
10．已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 恰有一个零点
C．当且仅当 时，方程 恰有三个实根
D．若当 （ ）时，函数 的最大值为3，则 的最大值为1
【答案】ACD
【分析】对 求导，可得 ，分析 的符号，可得 的单调性可判断 A；
可判断B；求出 的单调性和极值、最值，结合图象可判断C、D.
【详解】函数 ，选项B错误；
， 或 时， ， 时， .如图， 在 ， 单调递增， 在 单调递减，选项A正确；
， ，当 趋近正无穷时， 趋近正无穷，
当 趋近负无穷时， 趋近0，选项C正确；
如图，当 （ ）时，函数 的最大值为3，则一定有 ，
而 ，所以 （ ）的最大值为1，选项D正确.
故选：ACD.
11．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标
系 中， ，动点 满足 ，其轨迹为曲线 ，则（ ）
A．曲线 的方程为 B．曲线 关于原点对称
C．△F PF 面积的最大值为2 D． 的取值范围为
1 2
【答案】ABD
【分析】设 ，根据 化简得到A正确，根据对称性得到B正确，计算 ，得到面
积的最大值为 ，错误，确定 ， ，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：设 ，则 ，即 ，整理得到 ，即 ，正确；
对选项B：当点 在曲线 ，即 ，则 也在曲线 ，
正确；
对选项C：设 ， ，则 ，
故 ，△F PF 面积的最大值为 ，错误；
1 2
对选项D： ，解得 ，
，故 ，正确；
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知双曲线 ： 的斜率为正的渐近线为 ，若曲线 ： ＋ ＝4上恰有
不同3点到 的距离为1，则双曲线 的离心率是 ．
【答案】 /
【分析】由题可知圆的圆心到l的距离为：半径－1，据此求出a、b关系，即可求出离心率.
【详解】曲线 ： ＋ ＝4为圆，圆心E(2，0)，半径r＝2，
l为： ，即 ，
由题可知E到l距离为r－1＝1，故 ，
.
∴
13．若函数 与 的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线 平行，则实数 .
【答案】
【分析】设函数 图象上切点为 ，利用导数的几何意义求出与直线 平行的切
线方程，设函数 的图象上的切点为 ，利用导数的几何意义可求出 .
【详解】设函数 图象上切点为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
设函数 的图象上的切点为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解是解题关键.
14．定义：设 是离散型随机变量，则 在给定事件 条件下的期望为，其中 为 的所有可能取值集合，
表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中
目标的概率均为 ，击中目标两次时停止射击.设 表示第一次击中目标时的射击次数， 表示第
二次击中目标时的射击次数.则 ， .
【答案】 /
【分析】根据相互独立事件的乘法公式求 ，求出 、 ，即可求
.
【详解】由题意，事件“ ”表示该射击手进行 次射击且在第二次、第五次击中目标，
所以 ，
又 ，
， ，
所以
.
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角C；
(2)若 ，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知式子化简后利用正弦定理得 ，再利用余弦定理可求出角C，
（2）由 ，可得 ，再由正弦定理得 ，再利用三角形的面积公
式可求得结果
【详解】（1）由 ，
得 ，
得 ，（2分）
得 ，（4分）
由正弦定理，得 .（6分）
由余弦定理，得 .（7分）
.(8分)
（2）由 ，
得 ，（9分）
得 ，得 ，（10分）
由正弦定理，得 .（11分）又 .
∴△ABC的面积 .（13分）
16．（15分）
设椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆上且异于 两点， 为坐标原
点.
（Ⅰ）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 ，证明直线 的斜率 满足
【答案】(1) （2）
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础
知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法.考查运算求解能力、综合分析
和解决问题的能力
【详解】(1)解：设点P的坐标为 .由题意，有 ①
由 ，得 ， （4分）
由 ，可得 ，代入①并整理得 （6分）
由于 ，故 .于是 ，所以椭圆的离心率 （8分）
（2）证明：（方法一）
依题意，直线OP的方程为 ，设点P的坐标为 .由条件得 消去 并整理得 ②
由 ， 及 ，
得 .（10分）
整理得 .而 ，于是 ，代入②，
整理得 （13分）
由 ，故 ，因此 .
所以 .（15分）
(方法二)
依题意，直线OP的方程为 ，设点P的坐标为 .
由P在椭圆上，有
因为 ， ，所以 ，即 ③（ 分）
10
由 ， ，得 整理得 .
于是 ，代入③，（13分）
整理得
解得 ，
所以 .（15分）
17．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 为棱 的
中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形，则 ，再根据
线面平行的判定定理即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为棱 的中点，
所以 ，且 ，
又 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，（4分）
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（6分）
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，（9分）设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则有 ，可取 ，（11分）
因为 轴垂直平面 ，
则可取平面 的法向量为 ，（13分）
则 ，（14分）
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 .（15分）
18．（17分）
已知函数 ， .
(1)求证：当 ， ；
(2)若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别构造函数 ， ， ，利用导
数分别求出两函数的最值，即可得证；
（2） 在区间(0,+∞)上恒成立，即 在区间(0,+∞)上恒成立，构造函数 ，由 分类讨论求出函数的最值即可得解.
【详解】（1）设 ，
则 ，所以 在区间(0,+∞)上单调递增，
所以G(x)>G(0)=0，即 ，（3分）
设 ， ，
则 ，
由 时， ，即 ，
所以 ，（5分）
设 ，则 ，
当 时，ℎ '(x)>0，所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
故在区间(0,+∞)上， ，即在区间(0,+∞)上， ，
所以 ，
所以 在区间(0,+∞)上单调递增，（7分）
所以 ，即 ，
所以 得证.（8分）
（2）由 在区间(0,+∞)上恒成立，
即 在区间(0,+∞)上恒成立，
设 ，则 在区间(0,+∞)上恒成立，而 ，（9分）
令 ，则 ，
由（1）知：在区间(0,+∞)上， ，
即 ，所以在区间(0,+∞)上函数 单调递增，（11分）
①当 时， ，
故在区间(0,+∞)上函数φ'(x)>0，所以函数φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
又 ，故 ，即函数 在区间(0,+∞)上恒成立；（13分）
②当 时， ，
，
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，（15分）
又在区间(0,+∞)上函数 单调递增，
故在区间 上函数 ，
所以在区间 上函数φ(x)单调递减，
由 ，所以在区间 上 ，与题设矛盾.
综上， 的取值范围为 .（17分）
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19．（17分）
已知 是 个正整数组成的 行 列的数表，当
时，记 ．设 ，若 满足如下两个性质：
① ；
②对任意 ，存在 ，使得 ，则称 为 数表．
(1)判断 是否为 数表，并求 的值；
(2)若 数表 满足 ，求 中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
【答案】(1)是；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
（2）根据条件讨论 的值，根据 ，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
（3）当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，得到横向有
向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
【详解】（1） 是 数表，（4分）
（2）由题可知 .
当 时，有 ，
所以 .（6分）
当 时，有 ，
所以 .（8分）
所以
所以
或者 ，
或者 ，
或 ， 或 ，（10分）
故各数之和 ，
当 时，
各数之和取得最小值 .（11分）
（3）由于 数表 中共 个数字，
必然存在 ，使得数表中 的个数满足
设第 行中 的个数为
当 时，将横向相邻两个 用从左向右的有向线段连接，则该行有 条有向线段，（12分）
所以横向有向线段的起点总数 （13分）
设第 列中 的个数为 .
当 时，将纵向相邻两个 用从上到下的有向线段连接，
则该列有 条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以 ,（15分）
因为 ,所以 .
所以必存在某个 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，
即存在
使得 ，
所以 ，
则命题得证.（17分）
