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2025 年高考考前信息必刷卷（天津卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B D C B B B A D
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 11．80 12.
13． / / 14． 15.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）
【解析】（1）由 ，
得 ，且 ，则 ，
又因为 ，
解得 ；（5分）
（2）因为 ，得
且
解得 ；（9分）
（3）因为 ，.（14分）
17．（15分）
【解析】（1）连接 ，
因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为四边形ABCD是矩形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，过 平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
则 ，所以 .（5分）
（2）由（1）可得： ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设二面角 为 ，
则 ，可得 ，
所以二面角 的正弦值为 .（10分）
（3）由（1）可得 ，
设 ，可得 ，
由（2）可知：平面 的法向量 ，
则由 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
即 ，可知存在点Q，点Q为PC的中点.（15分）
18．（15分）
【解析】（1）依题意，得 ，
解得 ，
所以椭圆的方程为 .（5分）
（2）当直线AB斜率为0时，直线AB与椭圆无交点，不符合题意，从而设 ，
联立 ，化简并整理得
，（8分）
由题意 ，
即 应满足 ，此时 或 ，
所以 ，（11分）
因为直线BC斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，（13分）
由 的对称性，在直线AC方程中令 ，
得 ，
所以直线AC过定点(0,1).（15分）
19．（15分）
【解析】（1） 的公比为 ，
因为 ，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以 （3分）
（2）（i）由（1）可知 ，，
当 时， ，可知 为等差数列，
（8分）
（ii）由（i）可知，当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
记
则 ，
，
①，
②，
①－②得 ，
，
，
（15分）
20．（16分）【解析】（1）当 时， ，则 ，
，则 ，
则曲线 在点 处切线的方程为 ，
整理得 ；（3分）
（2） ，（4分）
令 ，有 ， ，
由 且 ，
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；（7分）
当 时， ，则当 时， ，
当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减；（9分）
综上，当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减；（10分）（3）由 ，故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， 单调递减，
若 ，则 ，符合要求；
若 ，则 ，则 ，
则要证 ，只需证 ，
即只需证 ，（13分）
令 ， ， ，
则 ，
由 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
由 ，由对勾函数性质可知 ，
故 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，即有 ，即得证.（16分）
