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2025 年高考考前信息必刷卷（上海卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：分析2025年上海春考数学试卷整体难度适中，结构合理，既注重对基础知识和基本技能的
考查，又突出了对学生数学能力和素养的考查。试卷涵盖了高中数学的主要知识点，题型丰富多样，具有
较好的区分度和选拔性。
高考·新考法：2025年上海春季高考试卷设计注重基础知识的广泛覆盖，同时也突出了对学生思维能力的
培养。客观题部分结合了教材中的经典例题，使考生能够在熟悉的情境中展现所学知识。填空题则通过解
析几何题考查考生对核心概念的理解与运用。选择题部分则注重考生对复杂问题的分析和转化能力。在解
答题中，解析几何问题的设计不仅考查了基本的空间关系，还着重于问题的存在性，考查考生的探索与调
查能力。特别值得提的是，试卷还通过构建学生熟悉的问题场景，将数学应用于日常生活情境中，增强了
学生的学习兴趣和信心。
命题·大预测：在注重基础知识的同时，试卷也注重对学生数学能力的考查，包括逻辑推理能力、运算求解
能力、空间想象能力、数学建模能力等。例如，立体几何中的线面垂直证明和三棱锥体积计算，需要学生
具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力，能够根据已知条件进行合理的推理和计算；第20题涉及椭圆的
性质、点到直线的距离公式以及等腰直角三角形的存在性问题，要求学生能够综合运用多种知识和方法，
进行分析、推理和运算，对学生的综合能力要求较高；第21题关于函数的定义域、偶函数的性质以及集合
的关系等问题，需要学生深入理解函数的概念和性质，具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够通过分
析题目条件，建立数学模型，解决问题。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（填空题 共54分）
一、填空题：本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、
最简的、完整的结果。
1．已知集合 ，则
【答案】
【解析】依题意， .
故答案为：2．函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】要使函数 有意义，则 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： ．
3． 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】5
【解析】由题意可知： ，令 ，所
以常数项为 .
故答案为：
4．设 .若函数 是定义在 上的奇函数，则 .
【答案】1
【解析】由函数 是定义在 上的奇函数，可知 ，
再由 ，
所以 ，
故答案为：1.
5．已知 是首项为1、公差为1的等差数列， 是首项为1、公比为 的等比数列．若数列
的前三项和为2，则 ．
【答案】
【解析】由题意得 ， ，
则 ，所以前三项和为 ，
解得 或-1（舍去），
故答案为：
6．已知复数 ， ， ，若 为纯虚数，则 ．【答案】5
【解析】 ，
因为 为纯虚数，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：5.
7．某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1
位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为 .
【答案】 /0.6
【解析】①2位高一，1位高二，1位高三，此时共有 种，
②1位高一，2位高二，1位高三，此时共有 种，
而总数共 种，
所以根据古典概型知每个年级都有同学被选中的概率为 .
故答案为：
8．曲线 在横坐标为 的点处的切线为 ，则点 到 的距离是 ．
【答案】 /
【解析】当 时， ，
由 ，得 ，
所以切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，
所以点 到 的距离为 .
故答案为：
9．设 都是正实数，则 是 的 条件.
【答案】充分不必要
【解析】由基本不等式可知： ，
三式相加得： ，即 ，又因为 ，所以 ，取等条件为 ，所以是充分条件；
取 ，可知不等式 成立，此时 ，所以必要性不成立.
故答案为：充分不必要
10．已知 ，若函数 在区间 上有且仅有3个零点和1个极小值
点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
因为函数 在区间 上有且仅有3个零点和1个极小值点，
所以 ，故 ，
故答案为：
11．已知点P为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 .
因为
．
又因为椭圆 的 ， 为椭圆的右焦点，
设P(x ,y )， ，
0 0
，
，
所以 ， ，∴ ．
故答案为：
12．关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（Guldin）定理：“平面上一区域 绕区域外一直线（区域 的
每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于 的面积与 的几何中心（也称为
重心）所经过的路程的乘积”，利用这一定理，可求得半圆盘 ，绕直线 旋转一周所形成
的空间图形的体积为 ．
【答案】
【解析】由于半圆的几何中心在半圆与 轴的交线上，设几何中心到原点的距离为 ，
则根据题意可得 ，
故几何中心到直线 的距离为 ，
因此几何体的体积为 ，
故答案为：
第二部分（选择题 共18分）
二、选择题题：本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分，每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号。
13．设l，m，n是不同的直线，m，n在平面 内，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 且 ，当 时，直线 可以与平面 平行，此时 ，不能推出 ，
若 ，m，n是平面 内两条不同的直线，则 ， ，
所以“ 且 ”是“ ”的必要不充分的条件.
故选：B14．给出定义：设f'(x)是函数y=f (x)的导函数，f″(x)是函数y=f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数
解 ，则称(x ,f (x ))为函数y=f (x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数
0 0
f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f (x)的图象的对称中心．若函数
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4042) (4043)
f (x)=x3−3x2，则f +f +f +⋅⋅⋅+f +f 的和为（ ）
2022 2022 2022 2022 2022
A．−8088 B． C．−8084 D．
【答案】B
【详解】由题意可得 ， ，
令 解得 ，
又 ，
所以 的图象的对称中心为 ，即f (1−x)+f (1+x)=−4，
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (4042) (4043)
所以f +f +f +⋅⋅⋅+f +f
2022 2022 2022 2022 2022
[ ( 1 ) (4043)] [ ( 2 ) (4042)] [ (2021) (2023)] (2022)
= f +f + f +f +...+ f +f +f
2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022
=−4×2021+(−2)=−8086，
故选：B
15．如图，将正方形 沿对角线 折成直二面角 ，则对于翻折后的几何图形，下列结论
不正确的是（ ）
A．
B． 与平面 所成角为60°
C． 为等边三角形
D．二面角 的平面角的正切值是
【答案】B
【解析】如图，在左图中，连接 ,交点为 ,则易得 .
对于A，翻折后图中， ,
因 平面 ，故得 平面 ，
又 平面 ,故得 ，即A正确；
对于B，因二面角 是直二面角，平面 平面 , ,
则 平面 ,则 与平面 所成角即 ,
因 ,则 ，故B错误；
对于C，设正方形的边长为2，则 ,则 ,
即 为等边三角形，故C正确；
对于D，如图，取 的中点 ，连接 ，由B项，已得 平面 ，
因 平面 ，则 ，又 ， ,则 ，
因 平面 ，故 平面 ,
因 平面 ,则 ,即 为二面角 的平面角.
设正方形的边长为2，则 , ，
故二面角 的平面角的正切值是 ，即D正确.
故选：B.
16．已知数列 不是常数列，前 项和为 ， ．若对任意正整数 ，存在正整数 ，使得
，则称 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 满足公差 ，则 是“可控数列”；
②若等比数列 是“可控数列”，则其公比 ．则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
【答案】C
【解析】对于①，由于数列 的各项均为正整数，且公差 ，
但对 ，有 对任意正整数 恒成立（否则 ，矛盾），
故对 时有 .
这表明 不是“可控数列”，故①错误；
对于②，若等比数列 是“可控数列”，由于数列 不是常数列， ，故公比 .
所以 ，
从而 ，
则 ，
当 时，则 ，
令 ，则可知当 时， 不成立；
当 时， 显然成立，而对于 恒成立，
由于 为严格增数列，且 时， ，
故问题等价于存在 ，使得 ，
记 ，随m的增大， 减小，故 ，
故只需 ，解得 ，故②正确.
综上，①是假命题，②是真命题.
故选：C.
第三部分（解答题 共78分）
三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在四棱锥 中， . 为棱 的中点，异
面直线 与 所成角的大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）因为 为棱 的中点，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形.
所以 ，又 平面 不在平面 上，
由线面平行的判定定理知， 平面 .
（2）解法一：因为 ，即 ，且异面直线 与 所成的角为 ，即 ，
又 平面 平面 ，
又 ，由三垂线定理可得 ，
因此 是二面角 的平面角， ，所以 ，
不妨设 ，则 ，
以 为坐标原点，平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ，（其中 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法二：过 作 ，交 的延长线于 ，连接 ，
由（1）知： ，
因为 ，所以 ，
因为 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 是 在平面 上的射影，由三垂线定理知， ，
又 ，所以 平面 ，
再过 作 ，交 于 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，所以 即为直线 与平面 的所成角，
因为 平面 ，由三垂线定理 ，
因此 是二面角 的平面角， ，
设 ，则 ，
因为 所以四边形 为正方形，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得 即 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
当 取最小值时， 取最大值，最大值 ，
所以 的面积的最大值为 .
19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市
民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市
社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买 合计
不喜欢网上买菜
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据 的 独立性检验，分析 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ，如果周一选每 平台买菜，那么周二选择
平合买菜的概率为 ，求小张周二选择 平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量 ，并
记随机变量 ，求 、 的期望和方差.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
【解析】（1）假设 ：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由给定的 列联表，得： .
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 .
（2）设 表示周 在A平台买菜， 表示周 在B平台买菜，
由题可得 ，
由全概率公式，小张周二选择 平台买菜的概率为：
；
（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为： .
从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数 服从二项分布： ，所以
， .
又 ，所以 ， .
20．已知椭圆 经过点 且离心率为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的斜率为1，求线段 中点 的轨迹方程；(3)若直线 的斜率为2，在椭圆 上是否存在定点 ，使得 （ 分别为直线 的斜
率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在．请说明理由．
【解析】（1）由题可得： ，解得： ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
（2）因为直线 的斜率为1，所以可设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，化简得 ，
则 ，
解得： ，
所以 ，设弦 中点M(x,y)，
则 ，
消去 ，得 ，而 ，
所以点 的轨迹方程为 ；
（3）设 ，
则 ，因为直线 的斜率为2，设直线 的方程为 ，
其中 ，且 不过 ，
椭圆的方程可化为 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，解得 ，代入 ，
解得： ，所以 ，
所以存在点 或 ，使得 恒成立．
21．已知函数 ，若其定义域为 ，且满足 对一切 恒成立，则称
为一个“逆构造函数”.
(1)设 ，判断 是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数 是“逆构造函数”，求 的取值范围；
(3)已知“逆构造函数” 满足对任意的 ，都有 ，且 . 求证：
对任意 ，关于 的方程 无解.
【解析】（1）由于 ，故对x∈(0,+∞)有 .
所以y=g(x)是否为“逆构造函数”.（2）由于 ，故 .
一方面，若函数 是“逆构造函数”，则 ，即 .
所以 对任意 成立.
特别地，取 ，得 ，从而 ，故 .
再取 ，得 ，从而 .
此即 ，故 ，解得 ；
另一方面，若 ，则 .
设 ，则 ，所以对 有 ，对 有 .
从而 在 上递减，在 上递增，故 .
所以对 ，有
.
从而此时函数 是“逆构造函数”.
综上， 的取值范围是 .
（3）设 ，则 .
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.
一方面，对 ，有 .
所以对任意 ，有 ；
另一方面，对 ，假设 ，则根据 及零点存在定理，存在 使得 .
再由条件 ，知 ，矛盾.
所以对任意 ，有 .
假设存在 使得 ，则根据 及零点存在定理，存在 使得 .从而对任意 ，有 .
但由 ，知 ，矛盾.
所以对任意 ，都有 .
综合两方面可知，对任意的 ，都有 .
所以对任意 ，关于 的方程 一定无解.
