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2025 年高考考前信息必刷卷 03（北京专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A B A B D A A B
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12．2 13． . 14． 15．①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16.【详解】（1）若选①，
由 可得 ，......................................................................................2分
由正弦定理可得 ,
因此 ,.................................................................4分
由于在三角形中， ，故 ,..................................................................................................6分
,...........................................................................................................................................7分
若选②，
由正弦定理可得 ，.....................................................................................2分
故 ，
故 ，............................................................................................................................5分
,...........................................................................................................................................7分
若选③，由正弦定理以及二倍角公式可得 ,..........................2分
由于在三角形中， ，故
,
所以 ，...............................................................................................................................................5分
,...........................................................................................................................................7分
（2）由 可得 ， ............................................................................9分
由 ，.....................................................................11分
联立可得 .......................................................................................................................................13分
17.【详解】（1） ， ， 为正三角形，
，则 为 中点，.........................................................................................................................1分
设 ， ， ，故 ，故 为 的三等分点，
， 为 的三等分点，即F为 的中点，故 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ............................................................................4分
（2）由题设易得 ， ，
，
故 ，即 ， ，故 ，
， ，PH、HF在面PHF内，故 平面 ....................................................6分PF在面PHF内，故 ，又 ， ，AC、AD在面ABCD内，故 平面
.
在 中， ，
由题意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，则∠ACB=90°，故 ，......................................................8分
过点 作平面 的垂线为z轴，以 分别为 轴、 轴正方向，建立如图所示坐标系.
则 ， ， ， ， ，
， ， ，...............................................................................9分
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，...............................................................................11分
设平面 和平面 的夹角为 ， ,
则 ， ，所以平面 和平面 的夹角为 ..........................................................................................................13分
18.【详解】（1）由题意 的可能取值为 ，.....................................................................................1分
则有 ， ，
， ，............................................................................................3分
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
..............................................................................................................................................................................5分
所以随机变量 的期望为 ；........................................................7分
（2）由题意可知首次达标的概率为 ，
首次不达标第二次达标的概率为 ，...................................................................................................8分
所以两位学生都首次就达标的概率为 ，
两位学生一位首次达标，另一位首次不达标而第二次达标的概率为 ，
两位学生首次都不达标，第二次达标的概率为 ，............................................................12分
所以至多两次测试后，两位学生全部达标的概率为 ．.................................................14分
19.【详解】（1）由题意可知 ，
因为离心率为 ，
所以 ，...........................................................................................................................................1分所以 ，故 是正三角形，如图所示：
若直线 ，则直线 垂直平分线段 ，
所以 ，........................................................................................................................................3分
由于 的周长为 ，故 的周长为 ，
由定义可知： ，
所以 的周长为 ，故 ，
所以 ，故 ，......................................................................................................................................5分
所以椭圆 的方程： .......................................................................................................................6分
（2）由题意可设直线 的方程为 ， ，则 ，如图所示：
可得直线 的方程为： ，........................................................................................7分因为 ，
将其代入直线 方程，可得 ，
可整理得： ，........................................................................................9分
联立方程 得 ，
则 ，
所以 ，即 ，................................................................................................12分
将其代入 式中，可得直线 方程为： ，
可见直线 过定点 ，
所以直线 过定点，坐标为 ...............................................................................................................15分
20.【详解】（1） ，
当 时， ， ，............................................................................................1分
当 时， ， ，.................................................................................................................2分
函数 在 处的切线方程为 ；..........................................................................................3分
（2）函数 的定义域为 ， ，
①当 时， 恒成立，令 ，则 ，
若 ，则 ；若 ，则 ，所以 在 单调递减，在 单调递增；..................................................................................5分
②当 时， ，
令 ，则 或 ，.............................................................................................................6分
（ⅰ）当 ，即 时，
若 ，则 或 ；若 ，则 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；..........................................7分
（ⅱ）当 ，即 时， 恒成立， 在 上递增；...............................................8分
（ⅲ）当 ，即 时，
若 ，则 或 ，若 ，则 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.............................................9分
综上所述，当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；.........................10分
（3） 的定义域为 ，
由 得 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，则 ，
因为 ，同构可得 ，令 ，因为 ，所以 ，.......................................................................................................12分
下面证 ．
设 ， ，于是 ，
令 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .....................................................................................................................15分
21.【详解】（1）当 时，若数列 具有性质 ，
则集合 中至少有一个元素 ，使得
验证可得，不存在 ，使得 ,所以数列 不具有性质 ...............................................................2分
对于数列 ， 集合 中存在元素 时，
满足 ，所以数列 具有性质 .............................................................................................4分
（2）因为数列 和 均为等差数列，且 ， ，
所以数列 ，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，......................................................................................................6分
所以当 为偶数时，在集合 中不存在元素 使得 ，故对于所有的偶数 ，数列 不具有性质 ..............................................................................8分
（3）设数列 为任意一个不具有性质 的数列，
因为 为 的一个排列，
所以在 中有且仅有一项 ，使得 .
在数列 中，将 项移到 项的前面，其余项的顺序保持不变，
得到新数列 ，新数列 为 的一个新排列，...................................11分
显然数列 具有性质 ，且任意一个与 不同的不具有性质 的数列通过上述移动首项方法都得不到数列
.
结合数列 为任意一个不具有性质 的数列，且根据 可以构造一个符合题意的具有性质 的数列 ，
可得 ...........................................................................................................................................................13分
又因为数列 具有性质 ，
且任何一个不具有性质 的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列 ，
所以 ...........................................................................................................................................................15分
