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2025 年高考考前信息必刷卷 03（北京专用）
数 学
考情速递
高考·：北京卷题型包括10道单选题、4道单空或双空填空题、1道多选填空题以及6道解答题。其中解答
题涵盖解三角形、空间向量与立体几何、统计与概率分布列、椭圆、导数及其运用等，第21题是综合数列
和集合的综合题。通过现实性和综合性问题，对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模、
数据分析这六大数学素养进行综合考查。比如在立体几何题中可考查直观想象和逻辑推理素养，在统计概
率题中考查数据分析素养等。而且设置创新和思维深刻的题目，像第20题（Ⅲ）和第21题，考查学生多
角度、深层次理解数学本质的能力，打破常规设问，需要学生灵活运用多种数学思想方法进行辩证思维。
高考·：情境题目在形式和内容上不断创新，关注社会热点和时代发展，选取具有实时性的素材。如以绿色
冬奥会为情境创设数学问题，让学生了解跨学科知识的同时，增强环保意识。通过设计条件或结论开放、
解题方法多样、答案不唯一的试题，考查学生的开放性思维。如第13题开放性问题，鼓励学生发散思维；
第15题多项选择问题，启发学生多维度思考。加强与其他学科的融合，如第 7题的二氧化碳三相图、第
14题的汉代 “铜嘉量”，涉及化学、历史等学科知识，体现了学科间的相互联系，考查学生综合运用多
学科知识解决问题的能力
命题·综合分析2025年北京市各区一模数学出题的特点，出了本套预测卷。前5道选择题大概率依旧聚焦
集合、复数、简易逻辑、函数定义域与值域等基础概念，作为试卷的起始部分，旨在帮助考生迅速进入考
试状态。第12题设置为数学文化相关的双空题，这符合北京高考的命题趋势。第17题考查立体几何的翻
折问题，这是基于近几年北京市高考在此处尚未深入考查的背景下做出的预测。学生需要理解翻折过程中
不变的量，如线段长度、角度等，综合运用空间向量、立体几何定理等知识解决问题。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数 满足 ，则 =（ ）A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
4．已知 若 ，则 （ ）
A．5 B．8 C．9 D．14
5．已知函数 定义域为 ，则命题 ：“函数 为偶函数”是命题 “ ，满足
”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 作 的一条渐近线的垂线 ，直线 与
交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 且 在 上为减函数，则函数 的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是
中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10
次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界
纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个
圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ）（参考数据： ， ， ， ）
A． B． C． D．
9．将数字 随机填入 的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三
个数字之和都相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的定义域为 .
12．已知直线 与圆 交于 两点，直线 垂直平分弦
，则 的值为 ．
13．已知函数 在 内恰有3个零点，则 的取值范围是 ．
14．设 ，若方程 恰有四个不相等的实根，则这四个根之和为 ；
若方程 有四个不相等的实根 ，且 ，则 的取值范围
为 ．
15．已知无穷数列 满足：对任意 ，有 ，且 .给出下列四个结论：
①存在无穷多个 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③对任意 ，有 ；④对任意 ，存在互不相同的 ，使得 .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）请在①向量 ，且 ；②
；③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并解答．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_____．
(1)求 的大小；
(2)若 内切圆半径 ，求 ．
17．（13分）如图1，在平行四边形 中， ， ， 为 的中点，
， ，沿 将 翻折到 的位置，如图2， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 的夹角.
18．（14分）体育老师想了解高三（1）班男学生100米达标情况，首次随机抽查了12名男学生，结果有
8名学生达标，4名学生没有达标．(1)现从这12名男学生中随机抽取3名，用X表示抽取的3名学生中没有达标的人数，求X的分布列和期望；
(2)为了提高达标率，老师经过一段时间的训练，第二次测试达标率增加了 ，现从该班男学生中任意抽取
2人，求至多两次测试后，这两人全部达标的概率．
19．（15分）已知椭圆 ， 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 和 ，离心率为
，过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．若直线 垂直于 ，则 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与坐标轴不垂直，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否过定点，并说明理由．
20．（15分）已知函数 ， ．(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)设 ，若 ，求实数 的取值范围．
21．（15分）已知数列 为 个数 的一个排列，其中 ，且 .若在集合
中至少有一个元素 使得 ，则称数列 具有性质 .
(1)当 时，判断数列 和数列 是否具有性质 ；
(2)若数列 和 均为等差数列，且 ， ，证明：对于所有的偶数 ，数列
不具有性质 ；
(3)在所有由 的排列组成的数列中，记具有性质 的数列的个数为 ，不具有性质 的数列的个数
为 ，证明：对于任意 ， .
