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2025 年高考考前信息必刷卷（上海卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：分析2025年上海春考数学试卷整体难度适中，结构合理，既注重对基础知识和基本技能的
考查，又突出了对学生数学能力和素养的考查。试卷涵盖了高中数学的主要知识点，题型丰富多样，具有
较好的区分度和选拔性。
高考·新考法：2025年上海春季高考试卷设计注重基础知识的广泛覆盖，同时也突出了对学生思维能力的
培养。客观题部分结合了教材中的经典例题，使考生能够在熟悉的情境中展现所学知识。填空题则通过解
析几何题考查考生对核心概念的理解与运用。选择题部分则注重考生对复杂问题的分析和转化能力。在解
答题中，解析几何问题的设计不仅考查了基本的空间关系，还着重于问题的存在性，考查考生的探索与调
查能力。特别值得提的是，试卷还通过构建学生熟悉的问题场景，将数学应用于日常生活情境中，增强了
学生的学习兴趣和信心。
命题·大预测：在注重基础知识的同时，试卷也注重对学生数学能力的考查，包括逻辑推理能力、运算求解
能力、空间想象能力、数学建模能力等。例如，立体几何中的线面垂直证明和三棱锥体积计算，需要学生
具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力，能够根据已知条件进行合理的推理和计算；第20题涉及椭圆的
性质、点到直线的距离公式以及等腰直角三角形的存在性问题，要求学生能够综合运用多种知识和方法，
进行分析、推理和运算，对学生的综合能力要求较高；第21题关于函数的定义域、偶函数的性质以及集合
的关系等问题，需要学生深入理解函数的概念和性质，具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够通过分
析题目条件，建立数学模型，解决问题。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（填空题 共54分）
一、填空题：本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、
最简的、完整的结果。
1．已知集合 ，则
2．函数 的定义域是 ．
3． 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）4．设 .若函数 是定义在 上的奇函数，则 .
5．已知 是首项为1、公差为1的等差数列， 是首项为1、公比为 的等比数列．若数列
的前三项和为2，则 ．
6．已知复数 ， ， ，若 为纯虚数，则 ．
7．某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1
位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为 .
8．曲线 在横坐标为 的点处的切线为 ，则点 到 的距离是 ．
9．设 都是正实数，则 是 的 条件.
10．已知 ，若函数 在区间 上有且仅有3个零点和1个极小值
点，则 的取值范围是 ．
11．已知点P为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则 的取
值范围是 ．
12．关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（Guldin）定理：“平面上一区域 绕区域外一直线（区域 的
每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于 的面积与 的几何中心（也称为
重心）所经过的路程的乘积”，利用这一定理，可求得半圆盘 ，绕直线 旋转一周所形成
的空间图形的体积为 ．
第二部分（选择题 共18分）
二、选择题题：本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分，每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号。
13．设l，m，n是不同的直线，m，n在平面 内，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数
解 ，则称 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心．若函
数 ，则 的和为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，将正方形 沿对角线 折成直二面角 ，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（ ）
A．
B． 与平面 所成角为60°
C． 为等边三角形
D．二面角 的平面角的正切值是
16．已知数列 不是常数列，前 项和为 ， ．若对任意正整数 ，存在正整数 ，使得
，则称 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 满足公差 ，则 是“可控数列”；
②若等比数列 是“可控数列”，则其公比 ．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题
第三部分（解答题 共78分）
三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题14分）
如图，在四棱锥 中， . 为棱 的中点，异面直
线 与 所成角的大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（本小题14分）
在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．19．（本小题14分）
近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认
定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市 社区
为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买 合计
不喜欢网上买菜
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据 的 独立性检验，分析 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果
周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ，如果周一选每 平台买菜，那么周二选择
平合买菜的概率为 ，求小张周二选择 平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量 ，并
记随机变量 ，求 、 的期望和方差.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
20．（本小题18分）
已知椭圆 经过点 且离心率为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的斜率为1，求线段 中点 的轨迹方程；(3)若直线 的斜率为2，在椭圆 上是否存在定点 ，使得 （ 分别为直线 的斜
率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在．请说明理由．
21．（本小题18分）
已知函数 ，若其定义域为 ，且满足 对一切 恒成立，则称
为一个“逆构造函数”.
(1)设 ，判断 是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2)若函数 是“逆构造函数”，求 的取值范围；
(3)已知“逆构造函数” 满足对任意的 ，都有 ，且 . 求证：
对任意 ，关于 的方程 无解.
