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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷（天津卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：最近五年的天津卷都有五道解答题，顺序基本上都是：解三角形——立体几何——椭圆——
数列——函数与导数（除了 2022 年椭圆在第19题，数列在第18题）。2024版《荟萃》除了 2023 年天
津卷高考真题中的解答题之外，没有新增更多的解答题．但是，2025版《荟萃》除了2024年的真题外，
还新增了七个解答题。
高考·新考法：题量变化增加了思考时间，使其能更深入地分析和解决问题，符合新课标及课改对学生思维
能力培养的要求。解答题注重考查学生的综合运用能力、逻辑推理能力和书面表达能力
命题·大预测：本套试卷难度与高考相当，既考察了学生的基础知识掌握情况，也通过中档题和拔高题检验
了学生的解题能力和思维深度，有助于激励学生挑战自我，提升能力。试卷不仅考查了具体的数学知识，
更突出了数学思想的应用和六大核心素养的考察，这有助于学生形成系统的数学思维，提升解决问题的能
力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45分）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．对于任意实数 ， ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增函数的为（ ）
A． ， B． ，C． ， D．
4．某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位： ），分别为 ，则该组数据
的第60百分位数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A． B．
C． D．
6．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
7．已知函数 的最小正周期为 ，把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，若 是偶函数，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
8．过双曲线 的左焦点 作直线与它的两条渐近线分别交于 ， 两点，且
， ， 是坐标原点，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
9．图1是边长为1的正六边形 ，将其沿直线 折叠成如图2的空间图形 ，若
，则几何体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共105分）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10． 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的虚部为 ．
11．二项式 的展开式中， 项的系数为 .
12．已知圆心在 轴上的圆 与倾斜角为 的直线相切于点 则圆 的方程为 .
13．袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是
；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件 ，“第二次摸到
红球”为事件 ，则 .
14．在 中，已知 ， ， ，则 ；若点P在线段 上，则 的
最小值为 .
15．设函数 ，若方程 有三个实数根 ,满足 ，则
的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（14分）
在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
17．（15分）如图，已知四边形ABCD是矩形， ，三角形PCD是正三角形，且平面平面 .
(1)若O是CD的中点，证明: ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为 若存在，确定点Q的位置，
若不存在，请说明理由
18．（15分）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面
积为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点 且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 ， ，经过点 且平行于 轴的直线与椭圆
交于点 .证明：直线AC过定点.19．（15分）已知 为公比大于0的等比数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 .其中 .
（i）求 及 ；
（ii）求 .
20．（16分）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若 ，证明对任意 ， 恒成立．
