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2025 年高考考前信息必刷卷 03（广东专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B D A D B C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ACD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．10 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】．（1）当 时， ， ，则 ， ，（2分）
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .（5分）
（2）由题意 ， ，则当 时， 恒成立， 单调递增；（7分）
当 时，令 有 ，故当 时， ， 单调递增；（9分）
当 时， ， 单调递减.（11分）
综上，当 时， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（13分）
16．（15分）
【解析】【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
样本中位于区间 内的人数： ，（2分）
样本中位于区间 内的人数： ，（3分）
抽取的2人中成绩优秀的人数 可能的取值有0，1，2 （4分）
， ， （7分）
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率 ，（9分）
数学期望 .（10分）
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：
，（11分）
由 ，得 ，又 ，（12分）
所以 ，（13分）
所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有 人，（14分）
因为 ，所以估计小华有资格参加复赛.（15分）
17．（15分）
【解析】【小问1详解】
在底面 中，因为 ， ，所以 ．（1分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（2分）
又因为 平面 ，所以 ．（3分）
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 （4分）
又因为 平面 ，所以平面 平面 （5分）
【小问2详解】
取 中点 ，连接 ， ．
因为 ，且 ，所以四边形 为矩形．
即 平面 ，（6分）
又因为在 中， ，所以 ， ， 两两垂直．
以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系 ，（7分）
则 ， ， ， （8分）
设 ，则 ， ， ．（9分）设平面 的法向量
则 ，
令 ，可得 ，即 ，（11分）
因为 平面 ，所以平面 的法向量 ，（12分）
所以 ．（14分）
化简得 即 ，
解得 或 （舍），即 ．（15分）
18．（17分）
【解析】（1）由题意可知 ，所以 ，（3分）
所以 ，（4分）
所以椭圆 的方程为 . （5分）
（2）①设 ， （6分）
由题设可知： ，（7分）
又因为 经过点 ， 所以 ，（8分）
所以 均在直线 上，即 ，由 ，解得 ，所以直线 过定点 . （9分）
② 设实数 存在，因为 ，所以 ，（10分）
当直线 斜率不存在时，此时 ，
由 解得 ，
所以 ，故 . （12分）
当直线 斜率k存在且不为零时，
，
所以 ，（13分）
联立 可得 ，显然 ，所以 ，
（15分）
所以 .
综上可知，存在 满足条件. （17分）
19．（17分）
【解析】
【小问1详解】由 ，且 为“2数列”，得 ，即 ，
则 ，
，
，
． （4分）
【小问2详解】
设数列 的公比为 ， （5分）
由 ，得 ，
即 ，
则 ．
两式相减得 ，
即 ． （7分）
因为 是首项为2的“ 数列”，所以 ，
即 ，
所以 ，
即 对任意的 恒成立．
因为 ， ，
则 ，即 ，解得 ， ． （9分）
又由 ，即 ，得 ，所以 ．
检验可知 符合要求，故数列 的通项公式为 ． （10分）
【小问3详解】
因为 为“ 数列”，所以 ， （11分）
即 对任意的 恒成立，
因为 ， ，所以 ．
再结合 ， ， ，反复利用 ，
的
可得对任意 ， ． （12分）
设函数 ，则 ．
由 ，得 ．
当 时，f'(x)<0，所以 在(1,+∞)上单调递减．
所以当 时， ，即 ． （14分）
又 ，所以 ．
可得 ， ， ， ，
累加可得 ， （16分）
即 ，即 ，
所以 ． （17分）
