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2025 年高考考前信息必刷卷 04（上海卷）
数 学
考情速递
高考·新考法：圆锥曲线与立体几何几何的轨迹问题；圆锥曲线与集合等结合
高考·新情境：新能源汽车、AI为背景的填空应用题或统计概率解答题
命题·大预测：集合、函数、不等式、三角函数与解三角形、统计与概率、空间向量立体几何等依然是基础
题中的热点，且在常考题型中会有创新，平面向量或空间向量作为填空压轴题，导数及其应用依然是选择
压轴题..
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ， ，则 ．
2．若复数 （ 为虚数单位），则 ．
3．抛物线 的焦点到准线的距离是 ．
4．将 化成有理数指数幂的形式 ．
5．若不等式 的解集为 ，则实数 等于 ．
6．已知事件A与事件B互斥，如果 ， ，那么 ．
7．若函数 为奇函数，则函数 ， 的值域为 ．
8． 的展开式共有11项，则常数项为 ．
9．已知 分别为 三内角的对边，且 ，若 ，角B的平分线 ，
则 的面积为 ．
10．点 是棱长为1的正方体 棱上一点，则满足 的点 的个数为 ．11．某区域的地形大致如图 ，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位 的正上方安装探照灯对警戒区域
进行探查扫描.假设 ：警戒区域为空旷的扇环形平地 ；假设 ：视探照灯为点 ，且距离地面
米；假设 ：探照灯 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯 以某一俯角从 侧扫描到 侧时，
记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环 由此，通过调整 的俯角，逐
次扫描形成扇环 、 、 .第一次扫描时，光斑的长轴为 ， 米，此时在探照灯 处测得
点 的俯角为 如图 记 ，经测量知 米，且 是公差约为 米的等差数列，
则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
12．平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，
结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知 满足 ，则 的取
值范围为 ．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．设 、 是两个不同的平面，直线 ，则“对 内的任意直线 ，都有 ”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15．设函数 ，若对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ，使得
，则m的最小值为
A． B． C． D．
16．已知定义在 上的函数 的导数满足 ，给出两个命题：
①对任意 ，都有 ；②若 的值域为 ，
则对任意 都有 .
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，已知 为圆柱 的底面圆 的一条直径， 为圆周上的一点， ， ，圆柱
的表面积为 ．(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小．
18．已知函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程 在 上有解，求实数k的取值范围.
19．某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型 ，其中 为自统计之日起，经过t年后该
地新能源汽车保有量、 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
202
年份 2018 2019 2021 2022
0
t 0 1 2 3 4
保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4假设该地新能源汽车饱和量 万辆．
(1)若 ，假设2018年数据满足公式 ，计算 的值（精确到0.01）并估算2023年年底该
地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
(2)设 ，则 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 和r的值
（精确到0.01）．
附：线性回归方程 中回归系数计算公式如下： .20．如图，已知 是中心在坐标原点、焦点在 轴上的椭圆， 是以 的焦点 为顶点的等轴双曲线，
点 是 与 的一个交点，动点 在 的右支上且异于顶点.
(1)求 与 的方程；
(2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求点 的坐标；
(3)设直线 的斜率分别为 ，直线 与 相交于点 ，直线 与 相交于点 ，
， ，求证： 且存在常数 使得 .21．已知各项均不为0的数列 满足 （ 是正整数）， ，定义函数
， 是自然对数的底数.
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记函数 ，其中 .
（i）证明：对任意 ， ；
（ii）数列 满足 ，设 为数列 的前 项和.数列 的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数 （不论它多么小），总存在正整数m满足：当 时，恒有 成
立，则称 为数列 的极限.试根据以上定义求出数列 的极限 .
