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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷（江苏专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：通过八省联考，全国一卷试卷控制了阅读总量，减少了繁琐运算，科学设计了难度梯度，
延续了“多考想的、少考算的”的考查理念，“函数”、“几何与代数”主体性十分突出，尤其是函数更是几乎
占据了半壁江山，解答题的顺序和考查的知识内容有较大差异，如三角函数未单独考查，概率与统计放在
第15题，函数与导数放在第17题，立体几何放在最后一题，这种调整旨在破解固化的应试教育困局，引
导高中数学教学走出猜题押题的误区，减少机械训练，将教学重心放在培养学生数学思维过程和方法上，
以及培养数学关键能力和核心素养。.现在的高考不再单纯考查学生记住了哪些知识点，而是更加注重考
查学生解决问题的能力和思维水平。
高考·新考法：解答题的顺序和考查的知识内容有较大差异，如三角函数未单独考查，概率与统计放在第
15题，函数与导数放在第17题，立体几何放在最后一题。
命题·大预测：通过八省联考的题目，使得高考中的解答题常考题型顺序更加充满不确定性，立体几何，
解析几何，导数，数列，解三角形均可能作为压轴题考查，这些调整，更加引导学生减少机械训练，要学
会发散思维，提升解决问题的能力，提高个人核心素养。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ， ，
所以， .
故选：C.
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
3．已知复数z与复平面内的点 对应，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义可得 ，由复数的除法运算法则即可得结果.
【详解】由复数的几何意义可知 ，则 ．
故选：C.
4．若单位向量 满足 ，向量 满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中求出 的坐标，由 得到C在以 为直径的圆上，求出该
圆的方程，再设出 的坐标，利用数量积的坐标表示，结合三角函数求出最小值.
【详解】令 ，依题意， ， ，
以点 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
令 ，由 ，得C在以 为直径的圆上，该圆的方程为 ，
设 ，即 ，
则
，
所以 的最小值为 .
故选：D
5．若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求出基本事件总数 ，再求出这2个数的和为3的倍数包含的基本事件个数 ，
由此能求出这2个数的和为3的倍数的概率.
【详解】解：从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，基本事件总数 ，
这2个数的和为3的倍数包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
共12个，即 ，
则这2个数的和是3的倍数的概率是 .
故选：C.
6．在棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 ， 的中点．已知动点 在
该正方体的表面上，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件得到 点轨迹为以 为直径的球，进而得出点 的轨迹是六个半径为a的圆，即可求
出结果.
【详解】因为 ，故P点轨迹为以 为直径的球，
如图，易知 中点即为正方体中心 ，球心在每个面上的射影为面的中心，
设 在底面 上的射影为 ，又正方体的棱长为 ，所以 ，
易知 ， ，又动点 在正方体的表面上运动，
所以点 的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为 ，故选：B．
7．关于函数 （ ， ， ），有下列四个说法：
① 的最大值为3
② 的图象可由 的图象平移得到
③ 的图象上相邻两个对称中心间的距离为
④ 的图象关于直线 对称
若有且仅有一个说法是错误的，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即
可得到结果.
【详解】说法②可得 ，说法③可得 ，则 ，则 ，②和③相互矛盾；
当①②④成立时，由题意 ， ， ， ．
因为 ，故 ， ，即 ， ；
说法①③④成立时，由题意 ， ， ， ，
则 ，故不合题意.
故选：D.
8．设函数 ，若 ，则a的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据对数函数性质判断 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得 为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.
【详解】函数 定义域为 ，而 ， ， ，
要使 ，则二次函数 ，在 上 ，在 上 ，
所以 为该二次函数的一个零点，易得 ，
则 ，且开口向上，
所以，只需 ，故a的最小值为 .故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【答案】ABD
【详解】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；令 ，则有 ，
即 ，故函数 是奇函数，
有 ，即 ，即函数 是减函数，
令 ，有 ，故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.
10．在正方体 中， 分别为 的中点，则（ ）
A． 平面 B．
C．直线 与平面 所成角为 D．平面 经过棱 的三等分点
【答案】ABD
【分析】分别以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法和夹角公式判断
ABC，在棱 上取一点 ，利用空间向量求出平面 和平面 共面时 的
值判断D.
【详解】在正方体 中，分别以 为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐
标系，设正方体边长为 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，所以 ，
设平面 的一个法向量⃗n=(0,1,0)，
因为 ，所以 平面 ，A说法正确；
因为 ， ，所以 ，B说法正确；
因为正方体 中 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 ，C说法错误；
在棱 上取一点 ， 则 ， ，
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
则 ，解得平面 的一个法向量 ，
，解得平面 的一个法向量 ，
因为平面 平面 ，所以当 时， 共面，此时 ，
即 ，解得 ，所以平面 经过棱 的三等分点 ，D说法正确；故选：ABD
11．我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由 在点 处的切线 写出不等式
，进而用 替换 得到一系列不等式，叠加后有 这些不等式体现了
数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】通过取特殊值确定AD错误，通过证明当 时， ，由此证明B，通过证明 时，
，由此证明C.
【详解】 选项： ，当 时 不成立，A错误
B选项： 等价于 ，
故要证明 只需证明 ，且 ，
只需证明 ，只需证明 ，
故考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，
将 中的 替换为 ，
可得 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，B选项正确
选项，设 ，则 ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，当且仅当 时取等号，
将 中的 替换为 ，因为 ，
所以 所以 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，故 ，C正确；
选项：因为 ，D错误，故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．“ ”是“ ”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要
条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）
【答案】充分不必要条件
【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可.
【详解】由 ，即 同号，
当 ，则 ；
当 ，则 ；
所以充分性成立，由 ，存在 或 使之成立，
但此时 不成立，所以必要性不成立，综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件13．设 是一个随机试验中的两个事件，若 ，则 ．
【答案】
【详解】 ，将 代入可以求得 ，
，将 ， 代入，求得 故答案为： .
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形
的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿 三边
翻折后交于点 .若 ，则 ；若 ，则 的值为
.
【答案】 /5.75
【详解】设外接圆半径为 ，则 ，
由正弦定理，可知 ，即 ，由于 是锐角，故
，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即 ,故 ，
所以 ；设 ，
则 ，由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知 ，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得 ，
所以 ，同理可得
，
所以 ,故答案为： ；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
设三角形 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 边上的高为 ，求三角形 的周长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ， ， 为 的内角，所以 ，
因为 ，所以 可化为： ， ........................2分即 ，即 ， ............................4分
因为 ，解得： ，即 ． ............................6分
（2）由三角形面积公式得 ， 代入得： ，
所以 ， .........................8分
由余弦定理 得： ， .........................10分
解得： 或 舍去，即 ， .........................12分
所以 的周长为 . .........................13分
16．（15分）
在一次聚会临近结束时，公司通过摸球抽奖的方式对优秀员工发放奖金.先在一个密闭不透光的箱子中装
入6个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为500元、1000元、
1500元的球分别有1个、2个、3个，每个优秀员工每次从箱子中随机摸出1个球，记下摸出的球上的金
额数，摸 次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的奖金总金额.
(1)若 ，设第一个摸球的优秀员工获得的金额 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若 ，采用有放回方式摸球，设事件 “一个优秀员工获得的总金额不超过2500元”，事件
“一个优秀员工获得的总金额不低于2000元”，求 .
【答案】(1)分布列见解析， ；(2)
【详解】（1） 的可能取值为500、1000、1500， .........................1分
其中 ， ， ， . ........................3分
故 的分布列如下：
500 1000 1500.........................5分
则数学期望为 .. ........................7分
（2）采用有放回方式摸球，每次摸到500元的概率为 ，. .......................8分
每次摸到1000元的概率为 ，每次摸到1500元的概率为 ， .........................9分
事件 包含1种情况，即两次均摸到1500元，故 ，
故 ， .........................10分
事件 包含3种情况，两次均摸到1000元；一次摸到500元，一次摸到1500元；.........................11分
一次摸到1000元，一次摸到1500元；
故 ， .........................13分
则 . .........................15分
17．（15分）
已知函数 ．
(1)判断并证明 的奇偶性；
(2)若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) .成立，即可求结果.
【详解】（1） 为奇函数，证明如下：
由解析式易知 ，函数定义域为 ， .........................2分
而 ，故 为奇函数. .........................5分（2）由 在 上为减函数，而 在定义域上为增函数，......................6
分
所以 在 上为减函数，故 ，. ........................8分
要使任意 ， ，不等式 恒成立，
只需 在 上恒成立，即 在 上恒成立， .........................10分
由 开口向上，则 ， .........................13分
综上， . .........................15分
18．（17分）
已知点 在抛物线 上， 为抛物线 上两个动点， 不垂直 轴， 为焦
点，且满足 ．
(1)求 的值及 的方程；
(2)证明：线段 的垂直平分线过定点；
(3)设（2）中定点为 ，当 的面积最大时，求直线 的方程．
【答案】(1) ，抛物线方程为 .(2)证明见解析(3)
【详解】（1）将点 代入抛物线方程，可得 ，解得 ，.........................1分
所以抛物线方程为 ； .........................3分
（2）设直线 的方程为： ，
联立方程 ，消去 得 ， ，由 ，得 ，
由韦达定理得 ，. . .......................6分
根据抛物线定义： ，可得 ，
此时 ，解得 或 ，. . ......................7分
设 的中点坐标为 ，则 ，
可得 的垂直平分线方程为： ， . ..................... 8分
将 代入整理得： ，
故 的垂直平分线过定点 ； . ........................9分
（3）由（1）可得 ， .........................11分
且点 到直线 的距离 ，
则 的面积为 ， .........................12分
可得 ，设 ，设 ，则 .........................14分
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以当 时， 的面积取最大值，此时 ，即 ． .........................16分
此时 .. ........................17分
19．（17分）
空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多
面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体
每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为 .如图，在直三棱柱
中，点 的曲率为 ， ， 分别为 ， 的中点，且 .
(1)证明： 平面 ；(2)若 ，求二面角 的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多
面体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： .利用此定理试证明：简单多面体的总曲
率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)证明见解析
【详解】（1）证明：因为在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以点 的曲率为 ，得 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ；. ........................4分
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，. ........................6分
因为 平面 ，所以
，
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，. ........................8分
所以 为二面角 的平面角， 因
为 ，
所以在 中， ， .........................9分
所以二面角 的余弦值为 ；. ........................10分
（3）证明：设多面体有 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为 号，
设第 号（ ）多边形有 条边，
则多面体共有 条棱，
由题意，多面体共有 个顶点， .........................13分
号多边形的内角之和为 ，
所以所有多边形的内角之和为 ， .........................14分
所以多面体的总曲率为 . ........................15分
.........................17分
