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2025 年高考考前信息必刷卷 04（上海卷）
数 学·参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2． /0.5
3．2
4． /
5．3
1
6．0.2/
5
7．
8． /
9．
10．
11．
12．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13 14 15 16
A C B B
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）解：由题意， 是圆柱 的底面圆 的一条直径，且 ，其表面积为 ，
可得 ，解得 ，在 中，由 且 ，可得 ，所以 ，
在 中， 且 ，可得 ， （4分）
所以三棱锥 的体积 . （6分）
（2）解：由 为圆柱 的底面圆 的一条直径， 为圆周上的一点，可得 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过点 作 ，垂足为 ，如图所示，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角， （8分）
又由 ， ，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，
即 ，所以直线 与平面 所成的角的大小 . （14分）18．（1）由偶函数定义知：f (−x)=f (x)，
即 ， . （6分）
（2）由（1）知 ，
，即 ，
即 ， （7分）
令 ，则 ，
则方程 在 时有解，
则 ，令 ， ，则 . （14分）
19．（1）由题意可知，2018年对应 ， ，
满足 ，所以 ，解得 ，
因为 年对应的 ，
所以
所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆. （6分）
（2） ，设 ，则 ，
t 0 1 2 3 4
9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
3.37 3.07 2.77 2.44 2.11
， ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 . （14分）
(该题无参考数据，需要计算器计算)
20．（1）设 的方程分别为 与 ，
由 ，得 ，故 的坐标分别为 ，
所以 故 ，
故 与 的方程分别为 与 . （4分）
（2）当点 在第四象限时，直线 的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当 在第一象限时，由直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，
可知 ，故 ，
设 点坐标为 ，可知 且 ，
解得 ，故点 的坐标为 ， （10分）（3）设直线 的斜率分别为 ，点P，A，B的坐标分别为 ，
则 ，
的方程为 ， （11分）
代入 可得 ，
故 ，
所以 ，
同理可得 ，又 ，故 ，
故 ，
即 ，所以存在 ，使得 . （18分）
21．（1）由于数列 的各项均不为 ，
所以， 可变形为 （ 是正整数），
所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
又 ， 也符合上式，所以 . （4分）
（2）（i）先证： .
根据已知 ，得由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立. （7分）
再证： .
又 ，记 ，则 ，
由 ，故 且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，
故 ，于是 ，证毕. （10分）
（ii）由题意知， ，
下面研究 .将（i）推广至一般情形.
，
由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立.①
再证： . ，
记 ，则 ，
由 ，故 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，故 ，于是 ，
所以， ，即对任意 ， .
于是对 ， ，整理得 ，
令 ，得 ，即 ，故 .
（方法一）当 时，
故 即 ，
从而 .对于任意给定的正实数 ，令 ，
则取 为大于 且不小于 的最小整数，
则当 时， 恒成立，因此，数列 的极限 为 . （18分）
（方法二）而对于任意 ，只需 且 时，
可得 .
故存在 ，当 时，恒有 ，
因而 的极限 .
