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2025 年高考考前信息必刷卷 04（上海卷）
数 学
考情速递
高考·新考法：圆锥曲线与立体几何几何的轨迹问题；圆锥曲线与集合等结合
高考·新情境：新能源汽车、AI为背景的填空应用题或统计概率解答题
命题·大预测：集合、函数、不等式、三角函数与解三角形、统计与概率、空间向量立体几何等依然是基础
题中的热点，且在常考题型中会有创新，平面向量或空间向量作为填空压轴题，导数及其应用依然是选择
压轴题..
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ， ，则 ．
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式 检验可求得 .
【解析】当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 .故答案为： .
2．若复数 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】 /0.5
【分析】由复数的除法运算可得 ，再根据共轭复数的概念可得 ，代入运算求解．
【解析】∵ ，则
∴
故答案为： ．
3．抛物线 的焦点到准线的距离是 ．
【答案】2
【解析】焦点 （1，0），准线方程 ，∴焦点到准线的距离是2.
4．将 化成有理数指数幂的形式 ．
【答案】 /
【分析】根据指数运算法则，化简即可.
【解析】 .
故答案为： .
5．若不等式 的解集为 ，则实数 等于 ．
【答案】3
【分析】求出绝对值符号的不等式解集，再比对作答.
【解析】不等式 ，化为 ，因此不等式 的解集为 ，依题意， ，于是 ，解得 ，
所以实数 等于3.
故答案为：3
6．已知事件A与事件B互斥，如果 ， ，那么 ．
1
【答案】0.2/
5
【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．
【解析】由题意 ．
故答案为：0.2.
7．若函数 为奇函数，则函数 ， 的值域为 ．
【答案】
【分析】由奇函数定义可得 解析式，即可求得值域.
【解析】当 时， ，因为 为奇函数，则 ，所以 ，
所以 ， 时 值域为 .
故答案为： .
8． 的展开式共有11项，则常数项为 ．
【答案】 /
【分析】先求出 ，通过展开式通项公式求出常数项.
【解析】由题意得： ，则展开式通项公式 ，令，解得： ，则 .
故答案为：
9．已知 分别为 三内角的对边，且 ，若 ，角B的平分线 ，
则 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，设 ，再利用正弦定理可得
，分析可知 ，即可求三角形面积.
【解析】因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，
整理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，整理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
如图，设 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
且 为锐角，可得 ，即可知 ， 则 ，
所以 的面积为 .
故答案为： .
10．点 是棱长为1的正方体 棱上一点，则满足 的点 的个数为 ．
【答案】
【分析】由椭圆的定义可得P点的轨迹，再找到与正方体棱的交点个数即可.
【解析】因为正方体 的棱长为1，所以 ，
又 ，
所以点 是以 为焦距，以 为长半轴，以 为短半轴的椭球上的一点，且焦点分
别为 ，
所以点 是椭球与正方体棱的交点，在以 为顶点的棱上，所以共有6个，
故答案为：6.
11．某区域的地形大致如图 ，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位 的正上方安装探照灯对警戒区域
进行探查扫描.假设 ：警戒区域为空旷的扇环形平地 ；假设 ：视探照灯为点 ，且距离地面
米；假设 ：探照灯 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯 以某一俯角从 侧扫描到 侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环 由此，通过调整 的俯角，逐
次扫描形成扇环 、 、 .第一次扫描时，光斑的长轴为 ， 米，此时在探照灯 处测得
点 的俯角为 如图 记 ，经测量知 米，且 是公差约为 米的等差数列，
则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
【答案】
【分析】依题意， ， ，得到 是以 为首项，以 为公差的等差数
列，求出 与 比较得到答案.
【解析】因为在 中，
， ，
所以 ， ，
故 ，
故 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
故 ，而 ， ，
故 .
所以至少需要 次才能将整个警戒区域扫描完毕.
故答案为： .
12．平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，
结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知 满足 ，则 的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】利用题目提供信息结合图形，将 转化为 ，后由图形以及不等式知识
可得答案.
【解析】如图所示建立坐标系，则 ．
其中 ,则 .
设 满足 ，
故 ，
整理得到 .
故 ．当 三点共线时，即BE与单位圆相切， 在 时，有最小值为 ；
又 ，
则
，当且仅当 ，即 时取等号.
又注意到当 时， ，则 ，当且仅当 时取等号.
则 ，当 ，即 在 等号成立．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：本题所给信息涉及“阿氏圆”，我们常利用“阿氏圆”将不同系数的求值问题转变为
相同系数求值.题中所涉不等式： 为均值不等式链的一部分，即平方平均大于算术平均.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．设 、 是两个不同的平面，直线 ，则“对 内的任意直线 ，都有 ”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解析】因为 、 是两个不同的平面，直线 ，
若对 内的任意直线 ，都有 ，根据线面垂直的定义可知 ，
， ，
所以，“对 内的任意直线 ，都有 ” “ ”；
若 ，因为 ，对 内的任意直线 ， 与 的位置关系不确定，
所以，“对 内的任意直线 ，都有 ” “ ”.
因此，“对 内的任意直线 ，都有 ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C【分析】利用频率分布条形图可读出 ， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论.
【解析】根据频率分布条形图可知 ， ，即 ；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即 ；
故选：C
15．设函数 ，若对于任意 ，在区间 上总存在唯一确定的 ，使得
，则m的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求 ，再由存在唯一确定的 ，使得 ，得 ，
从而得解.
【解析】当 时，有 ，所以 .
在区间 上总存在唯一确定的 ，使得 ，
所以存在唯一确定的 ，使得 .
，所以 .
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解
题的关键，属于中档题.
16．已知定义在 上的函数 的导数满足 ，给出两个命题：
①对任意 ，都有 ；②若 的值域为 ，则对任意 都有 .
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
【答案】B
【分析】对于①，根据不等式 ，构造函数
，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调
性，结合不等式求解即可.
【解析】 ，故 在 上递增，
对于①，设 ， ，
设 ，
， ，
单调递减， 单调递增，
，即 ，
，即 ，
故 ，故①是真命题.
对于②，由①知， ，
即 ，，故 .
且 在 上递增，故 ，
，
故 的值域为
所以 ，
即 ，故 ，
②是真命题.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到 在 上递增，再
构造函数 ，利用导数得到其单调性，最后得到
，则可判断①.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，已知 为圆柱 的底面圆 的一条直径， 为圆周上的一点， ， ，圆柱
的表面积为 ．(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据表面积为 ，求得 ，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；
（2）根据题意证得 平面 ，得到平面 平面 ，过点 作 ，证得 平面
，得到 为直线 与平面 所成的角，再直角 中，求得 ，即
，即可求解.
【解析】（1）解：由题意， 是圆柱 的底面圆 的一条直径，且 ，其表面积为 ，
可得 ，解得 ，
在 中，由 且 ，可得 ，所以 ，在 中， 且 ，可得 ，
所以三棱锥 的体积 .
（2）解：由 为圆柱 的底面圆 的一条直径， 为圆周上的一点，可得 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过点 作 ，垂足为 ，如图所示，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，
又由 ， ，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，
即 ，所以直线 与平面 所成的角的大小 .18．已知函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程 在 上有解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由f (−x)=f (x)可构造方程求得 的值；
（2）利用换元法令 ，从而得到方程 在 时有解，再分参数，求出右边
的值域即可.
【解析】（1）由偶函数定义知：f (−x)=f (x)，
即 ， .
（2）由（1）知 ，
，即 ，
即 ，令 ，则 ，
则方程 在 时有解，
则 ，令 ， ，则 .
19．某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型 ，其中 为自统计之日起，经过t年后该
地新能源汽车保有量、 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
t 0 1 2 3 4
保有量
9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
假设该地新能源汽车饱和量 万辆．(1)若 ，假设2018年数据满足公式 ，计算 的值（精确到0.01）并估算2023年年底该
地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
(2)设 ，则 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 和r的值
（精确到0.01）．
附：线性回归方程 中回归系数计算公式如下： .
【答案】(1) ， 万辆
(2) ，
【分析】（1）根据题意代入 即可求出 ，代入 利用公式估算即可得解；
（2）设设 ，转化为 关于 的线性回归问题，利用公式求出 即可.
【解析】（1）由题意可知，2018年对应 ， ，
满足 ，所以 ，解得 ，
因为 年对应的 ，
所以
所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.
（2） ，
设 ，则 ，
t 0 1 2 3 4
9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
3.37 3.07 2.77 2.44 2.11
， ，
，所以 ，
因为 ，
所以 .
(该题无参考数据，需要计算器计算)
20．如图，已知 是中心在坐标原点、焦点在 轴上的椭圆， 是以 的焦点 为顶点的等轴双曲线，
点 是 与 的一个交点，动点 在 的右支上且异于顶点.
(1)求 与 的方程；
(2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求点 的坐标；
(3)设直线 的斜率分别为 ，直线 与 相交于点 ，直线 与 相交于点 ，
， ，求证： 且存在常数 使得 .
【答案】(1) 与
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设 的方程分别为 与 ，将点 的坐标代入 的方程可求出 ，利用椭圆的定义可求出 的值，从而可得 ，进而可得 的方程；
（2）分点 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点 的坐标；
（3）利用两点的斜率公式及点 在 上即可证明 ，设 的方程为 ，与椭圆方程联立，
可得根与系数的关系，从而可表示 ，化简 为常数，即可得出答案.
【解析】（1）设 的方程分别为 与 ，
由 ，得 ，故 的坐标分别为 ，
所以 故 ，
故 与 的方程分别为 与 .
（2）当点 在第四象限时，直线 的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当 在第一象限时，由直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，
可知 ，故 ，
设 点坐标为 ，可知 且 ，
解得 ，故点 的坐标为 ，
（3）设直线 的斜率分别为 ，点P，A，B的坐标分别为 ，
则 ，
的方程为 ，代入 可得 ，
故 ，
所以 ，
同理可得 ，又 ，故 ，
故 ，
即 ，所以存在 ，使得 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．已知各项均不为0的数列 满足 （ 是正整数）， ，定义函数
， 是自然对数的底数.
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记函数 ，其中 .
（i）证明：对任意 ， ；
（ii）数列 满足 ，设 为数列 的前 项和.数列 的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数 （不论它多么小），总存在正整数m满足：当 时，恒有 成立，则称 为数列 的极限.试根据以上定义求出数列 的极限 .
【答案】(1)证明见解析， ；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由 可变形为 ，从而得到 为等差数列，然后由累乘法
求通项即可；
（2）可先证： ，根据 的表达式求导，分析单调性，得出最小值，即可得证，再证：
，即证 恒成立，即 即可；先求出
，然后由 ，分析单调性证明 进而
得到 ，代入 表达式，取 可得 ，再对 进行放缩即可求解.
【解析】（1）由于数列 的各项均不为 ，
所以， 可变形为 （ 是正整数），
所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
又 ， 也符合上式，所以 .
（2）（i）先证： .
根据已知 ，得由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立.
再证： .
又 ，记 ，则 ，
由 ，故 且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，
故 ，于是 ，证毕.
（ii）由题意知， ，
下面研究 .将（i）推广至一般情形.
，
由 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格增函数，故 成立.①
再证： . ，
记 ，则 ，
由 ，故 当且仅当 时等号成立，
于是 在 上是严格减函数，故 ，于是 ，
所以， ，即对任意 ， .
于是对 ， ，整理得 ，
令 ，得 ，即 ，故 .
（方法一）当 时，
故 即 ，
从而 .对于任意给定的正实数 ，令 ，
则取 为大于 且不小于 的最小整数，
则当 时， 恒成立，因此，数列 的极限 为 .
（方法二）而对于任意 ，只需 且 时，
可得 .
故存在 ，当 时，恒有 ，
因而 的极限 .
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的通项、求和，另外考查数列和函数的结合以及新定义知识，难度
较大，本题主要思维方法：
1.基本方法求通项：定义法，累乘法；
2.不等式的证明，借助构造函数利用导数分析单调性，求最值；3.新定义考查，主要是结合导数的最值分析和不等式的放缩思维，对于一般学生要求较高，难度很大.
