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2025 年高考考前信息必刷卷（北京卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B D C B C B D D
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12. （答案不唯一）. 13． 3（答案不唯一） 12（答案不唯一）
14． / 15. ②③④
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）由余弦定理可得 ，
注意到 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，（5分）
进一步 ；（7分）
（2）由余弦定理可得， ，因为 ，
所以 ，而 ，（11分）
从而 .（13分）
17．（14分）【解析】（1）如图，取 的中点 ，连接 ,
因E、F分别为 、 的中点.，则
又 故 即得四边形 为平行四边形,
则 ,因 平面 ， 平面 ，故 平面 ；（5分）
（2）因为在直三棱柱 中， ， ，所以AB⊥AC，
所以 两两垂直，
则以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
又 ， ，
所以
，（9分）
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 （11分）
设平面 一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，（13分）
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．（14分）
18．（13分）
【解析】（1）记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，
则估计 .（3分）
（2）记事件 为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，
根据题中数据， .（4分）
的可能取值为 ，
，
，
．
.（8分）
的分布列为
0 1 2 3.（10分）
（3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，
则易求 ，
，故 .（13分）
19．（15分）
【解析】（1）根据题意可知 ，可得 ；
又 ，解得 ；
因此 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；（5分）
（2）由题可知直线 的斜率存在，
不妨设斜率为 ，即 ， ，如下图所示：
联立 ，整理可得 ，易知 ；（7分）
由韦达定理可得 ；（8分）所以 ，
；（10分）
若 ，可得 ，
所以
对于 恒成立；（12分）
即 ，
也即 ，（13分）
因此可得 ，解得 ，
而点(0,1)在椭圆上，即存在点 满足题意.（15分）
20．（15分）
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在点(1,f (1))处的切线的斜率为 ，又 ，
所以函数 在(1,f (1))处的切线方程为 .（3分）
（2）函数 的定义域为(0,+∞).
因为 ，所以 ，
令f'(x)<0，解得 ，令f'(x)>0，得 .所以 的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞).（6分）
（3）因为对任意的x∈(1,+∞)，都有 ，所以 ，（7分）
令 ，（9分）
由（2）知， 在(1,+∞)上单调递增，
，
则 在区间 上存在唯一的零点 ，即 ，（11分）
所以当 时， 在 单调递减，
当x∈(x ,+∞)时， 在 单调递增，
0
所以 ，（13分）
又因为 ，
则
所以 ，所以整数 的最大值为3.（15分）
21．（15分）
【解析】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下：
数列①：因为 ，所以数列①不是完全数列；
数列②：因为 ，
，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列.（5分）
（2）假设存在完全数列 ，其长度为 ，则 ，
则长度为 的数列 的每一子列的所有项的和有 个，设其所有项的和的最小值为 ，最大值为 ，
则 ，
可得 ，
整理得 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 ，则 ， ，
所以 ；
综上所述：当 时，不存在 ，使得 成立.
所以假设不成立，则 ，且 ，符合题意，
所以m的最大值为6.（10分）
（3）因为 长度 ，且 为完全数列，且 ，
可知 的最小值为1， 的最小值为2，取 ；
因为 ，则 的最小值为4，取 ；
因为 ，则 的最小值为8，取 ；
因为 ，
，
则 的最小值为16，取 ；
此时 均取到对应的最小值，则 均取到对应的最大值，则 ，
所以 的最大值为 .（15分）
