文档内容
绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷（北京卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：试卷的题型与去年高考题型一致，即10道选择、5道填空、6道大题的试卷结构所占分值分
别为40分、25分、85分。试卷由基础题、中档题以及少量拔高题组成。
高考·新考法：试卷既对数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想）
做了全方位的考查，同时渗透考查新课程改革中数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、
数据分析六大核心素养，充分体现了北京高考对能力的全面考查。
命题·大预测：本套试卷60%左右为基础题，解答题侧重对综合能力的考查，强调数学思想与核心素养，不
仅考查了具体的数学知识，更突出了数学思想的应用和六大核心素养的考察，这有助于学生形成系统的数
学思维，提升解决问题的能力。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．下列函数中，是偶函数，且在 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
5．过点 的直线 与圆 相交于 两点，那么当 取得最小值时，直线 的方程是
（ ）
A． B． C． D．
6．设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；
乙公司每个月盈利比前一个月增加 . 记甲、乙两公司在2023年第 个月的盈利分别为 ，
（单位：万元）. 已知 ， ，则 最大时， 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方体表面上的动点，且
.设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A． 是平行四边形，且周长为
B． 是平行四边形，且周长为
C． 是等腰梯形，且周长为
D． 是等腰梯形，且周长为
第二部分（非选择题 共92分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知抛物线 过点 ，则拋物线 的准线方程为 .
12．已知函数 的图象关于直线 对称，则常数 的一个取值为 ．13．若 的展开式中存在常数项，则正整数 的一个取值是 ，且此时常数项等于
.（用数字作答）
14．在三棱锥 中， 底面 ，则异面直线 与 所成角的
大小为 ；点 到平面 的距离为 .
15．已知无穷数列 满足 .给出下列四个结论：
①存在 ，使得集合 中有无穷多个元素；
②存在 ，使得集合 中有有限个元素；
③对于任意的 ，集合 中至多有一个元素；
④当 时，集合 .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在 中， ， ， .
(1)求 ， 的值和 的面积 ；
(2)求 的值.
17．（14分）
如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．（13分）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教
师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况
统计如下：
使用AI大模型的种数性别 0 1 2 3 4
1
男 4 27 23 10
6
2
女 6 48 27 15
4
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
AI大模型种类 A B C D
人次 32 30 30 28
用频率估计概率.
(1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
(2)从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有 人，求
的分布列及其数学期望 ；
(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为 ，比
较 的数学期望 的大小．（结论不要求证明）
19．（15分）
已知椭圆 的左焦点为 ，点 ， 三等分椭圆 的短轴，且
.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作与 轴不垂直的直线 与椭圆 交于点 ， ，椭圆 上是否存在点 ，使得恒有 ？
若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由.20．（15分）
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
21．（15分）
已知有穷数列 ，从数列 中选取第 项，第 项， ，第 项 ，顺次排列构成数列
，其中 ，则称新数列 为 的长度为 的子列.规定：数列 的任意一项都是
的长度为1的子列，若数列 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列 为完全数列.设数列
满足 .
(1)判断下面数列 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①： ；数列②： .
(2)数列 的子列 长度为 ，且 为完全数列，证明： 的最大值为6；
(3)数列 的子列 长度 ，且 为完全数列，求 的最大值.
