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2025 年高考考前信息必刷卷 01（天津卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
1.如第6题，第7题新定义问题，体现创新考法
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第13题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 .故选A.
2．已知 ，则（ ）
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件
C．q是p的必要不充分条件 D．q是p的充分不必要条件
【答案】D
【解析】由题得 .
当命题 成立时，命题 不一定成立，所以p是q的非充分条件，q是p的非必要条件；
当命题 成立时，命题 一定成立，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件.
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件.
故选：D
3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知， ， ，而 ，故 ，
又因为 ， ，故 ，即 ，所以 ，
故选：D.
4．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数
解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A选项：易知 为偶函数，当 时， ，
此函数在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，故A正确；
B选项：记 ，则 ，故B错误；
C选项： ，故C错误；
D选项：记 ，则 ，故D错误.
故选：A
5．在一次试验中，测得 的五组数据分别为 ， ， ， ， ，去掉一组数据
后，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大
【答案】D
【解析】由题意，去掉离群点 后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，
D正确.
故选：D.
6．若数列 相邻两项的和依次构成等差数列，则称 是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，
7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列 是“邻和等差数列”， 是其前 项和，且 ， ，
，则 （ ）
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
【答案】A
【解析】设 ，由 ，得 ，则 ，
故
．
故选：A
7．同时具有性质“⑴ 最小正周期是 ；⑵ 图象关于直线 对称；⑶ 在 上是减函数”的一个函
数可以是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】A的最小正周期为 ,不正确；
当 时， B、C没有取得最值，所以不正确;
将 代入D, 三项都符号，
故选D.
8．如图，在直三棱柱 中， ， 是等边三角形，点 为该三棱柱外接球
的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥 体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心 ，连接 、 .取 中点O，连接
则点O为三棱柱外接球球心， 为三棱柱外接球半径.由 ，可得 ，
则
则三棱柱外接球表面积为
延长 交 与 ，则 为四棱锥 的高
则
则三棱柱外接球表面积与四棱锥 体积之比为
故选：A
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点M在双曲线C的右支上，
，若 与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且 ，其中O为坐标原点，则双曲
线C的标准方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，且 为 中点，所以 ，且 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
直线l的方程为 ，所以 ，则 ，在直角三角形 中利用勾股定理
得 ，解得 ，所以双曲线的标准方程为 .
故选：C.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．计算： .
【答案】
【解析】
11． 的展开式中含 项的系数为 .
【答案】
【解析】 的展开式中，通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中含 项的系数 .
12．过抛物线 的焦点 的直线与抛物线 交于 、 两点， ，则
.
【答案】
【解析】如图所示，
设 ，则 ， ，且 ，
所以 ；又 ；所以 ，
即 ；又 ，所以 ,解得 ；所以p= .
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为
10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；
若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数
占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
【答案】
【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，
同时出现优秀品的概率为
记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，， ， ， ，
由全概率公式可得 ，
14．如图，在直角梯形 中，已知 ，对角线 交 于点
O，点M在 上，且满足 ，则 的值为 ，点P为线段 上的动点则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
.
设 ，，
所以
.
的开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上递减.
当 ，当 ，所以 .
15．设函数 ，其中 ，若只存在两个整数x，使得 ，则a的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为 即： ，
即 的图像只有两个整数点位于 的下方，只有两个整数x，使得 ，当 时： ，
此时 ，令 ，解得 ，
此时有两个整数满足
即 或 ，
结合图像可得 的取值范围是 ，
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【解】（1）由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍负），所以 ．
（2）由正弦定理知， ，
所以 ，所以 ．
（3）由余弦定理知， ，
所以 ， ，
所以
.
17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱 的底面边长是2，D是侧棱 的中点，直线
AD与侧面 所成的角为45°．
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值；
(3)求点C到平面ABD的距离．
【解】（1）设正三棱柱 的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE，
∵ 是正三角形，∴ ，
又底面 侧面 ，且两平面交线为BC，∴ 侧面 ．连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面 所成的角，∴∠ADE＝45°，
在 中， ，解得 ，∴此正三棱柱的侧棱长为 ．
（2）过E作 于F，连接AF，
∵ 侧面 ，∴ ，可知 ，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．
在 中， ，又BE＝1， ，∴ ．
又 ，∴在 中， ．
（3）由（2）可知， 平面AEF，∴平面 平面ABD，且交线为AF．
过E作 于G，则 平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在 中， ．∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为 ．
18．（本小题满分15分）已知椭圆C： 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直线l
与C交于M，N两点，△ 的周长为8，当直线l垂直于x轴时，
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线 于P，Q两点，当 的面积是△AMN面积
的5倍时，求直线l的方程.
【解】（1）由椭圆定义知△ 的周长为 ， ，
代入椭圆方程有 ， ， ，
所以 ， ，
椭圆方程为 ；
（2）由（1） ， ，若 轴， ， ， 到直线 的距离为 ，所
以 ， ，
，因此 与 轴不垂直，设 方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
， ，
直线 方程为 ， 代入得 ，即 ，同理 ，
， ，
，
由题意 ，即 ， ，
， 代入化简得：
，
，所以 ，
，解得 ．
直线 的方程为 ，即 ．
19．（本小题满分15分）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，， ， .
(1)求 ， 的通项公式.
(2)已知 ，求数列 的前2n项和 .
(3)求证： .
【解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ,
由 得 ①，
将①代入 ，得 ，
即 ②
将①代入 ，得 ③，
将②代入③，得 ，又 ，
所以
解得： ，所以 ，
所以 ， ，故 ，所以 .
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ①
②
①-②得：
即
化简得： .
所以 .
（3），
当 时， ，
因为 ，所以 ；
当 时， 也成立.
故 .
20．（本小题满分16分）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： ．
【解】（1）当 时， ， 的定义域为 ， ，
曲线 在点 处的切线方程的斜率为 ，又
则切线方程为 .
（2）若 恒成立，则 ，
设 ， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，所以 .
（3）令 ，则 ，即 ，则 ，
因为 ，
，
……，
，
所以 .
