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第 01 讲 平行四边形的性质
课程标准 学习目标
①平行四边形的定义 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；
②平行四边形的性质 2．会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题.
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“
▱
”表示，平行四边形 ABCD表示为
“ ▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
知识点02 平行四边形的性质
平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对边平行即可求解．
【详解】解：因为平行四边形 中， ，
∴ ，
∴ ．
则 的度数是 ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在 中， ， 边上的高 ，则
边上的高 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和面积公式是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得 ，再平行四边形的面积可得 ，然后
代入数据计算即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
∴ ，
解得：
故选C．
3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·开学考试）如图，在平行四边形 中，E为边 上的一个点，将
沿 折叠至 处， 与 交于点F，若 ， ，则 （ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变
换得性质和平行四边形的性质，求出 的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得 ，再由三角形的外角性质得 ，则
，然后由折叠的性质得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
∵将 沿 折叠至 处，
，
，
故选：A．
4．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，平行四边形 中， 的平分线 交 于 ， ，
，则 的长为 ．
【答案】2【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质；
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的判定即可得解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
故答案为：2．
5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 交对角线 于点 ，若 ，
则 的度数是 ．
【答案】 /105度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于基础题．由四边形 是平行四边形，推出 ，推出 ，
由 ，推出 ，根据 计算即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 中， ， ，点 为 中点，点
在 边上， ，若 ，判断下列五个结论中
； ； ， 平分 ；正确的序号有 ．
【答案】①②③④⑤
【知识点】等腰三角形的性质和判定、二次根式的应用、利用平行四边形的性质证明、全等三角形综合问
题
【分析】过点 作 交 延长下于 点，过点 作 交 延长下于 点，取 的中点
，连接 ，延长 交于点 ，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出
，即可求出 ，即可判断①；证明 ，即可判断②；根据三角形面积公
式及平行四边形面积公式即可判断③；证明 是 的中位线，进而证明 ，即可证
明 ，求出 ，易证 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；
利用直角三角形的性质求出 ，由勾股定理求出 ， ，即可判断⑤．
【详解】解：过点 作 交 延长下于 点，过点 作 交 延长下于 点，取 的
中点 ，连接 ，延长 交于点 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ， 平分 （三线合一），故④正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定
与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ．
7．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）在平行四边形 中， ， 为 中点，点 在线段
上，连接 ，在 下方有一点 ，满足 ，连接 ．
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、用
勾股定理解三角形
【分析】（1）先证明 ，求出 ，再求出 的长，结合勾股定理求出 R的长，即
可求解；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，先证明 ，再根据 中，点 是斜边
的中点，即可证得结论；
（3）在 上截取 ，先证明 ，进而得出 是等边三角形，运用直角三角
形性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 为平行四边形，
， ，
，
又∵ ，
，
，
在 中， 为 的中点，，
，
，
；
（2）解：如图1，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，点 是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ；
（3）解：如图2，在 上截取 ，由（2）知， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与
性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
题型01 平行四边形的性质
例题：（24-25八年级下·江苏常州·期中）下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．邻角互补 D．对角互补【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质证明
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．直接利用平行四边形的性质：
对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【详解】解：平行四边形对边相等，故A不符合题意；
平行四边形的邻角互补，故B不符合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C不符合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）平行四边形一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出答案即可．
【详解】解：A、平行四边形对角线互相平分，故此选项符合题意；
B、平行四边形对角线不一定互相垂直，故此选项不符合题意；
C、平行四边形对角线不一定相等，故此选项不符合题意；
D、平行四边形对角线不一定平分一组对角，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形一定是轴对称图形
C．对角线相互平分的四边形是平行四边形
D．夹在两条平行线间的线段相等
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌
握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故原说法错
误，不符合题意；
B、平行四边形一定是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故原说法错误，不符合题意；
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，符合题意；
D、夹在两条平行线间的线段不一定相等，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 与 相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③
平行四边形的对角线互相平分，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断
即可得．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ， ，
观察四个选项可知，结论不一定成立的是选项A，
故选：A．
题型02 利用平行四边形的性质求角度
例题：（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在 中， ，则 的度数为 ．
【答案】 /90度
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，
可求出 ．
【详解】解：在平行四边形 中，
，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，若 ，
， ，则 度．
【答案】90
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质进行求解．根据平行四边形的性质得出 ， ，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故答案为：90．
2．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图，在 中， ，垂足为 ，若 ，则
．
【答案】 / 度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，先根据平行四边形的性质得出
，再根据直角三角形两锐角互余得出 ．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴故答案为：
3．（2025·山东青岛·一模）如图，在 中， ， 于点 ，若 ，则
．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，根据平行四边形的性质
得出 ，进而根据等边对等角可得 ，根据直角三角形两个锐角互余，得出 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型03 利用平行四边形的性质求线段长
例题：（24-25八年级下·上海·期中）如图，在 中，对角线 与 交于点O，如果 的周
长为32， 的周长比 的周长多4，那么 的长为 ．
【答案】6
【知识点】加减消元法、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形性质、解二元一次方程组，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据
平行四边形性质得到 ， ， ，再根据已知得到 ， ，
然后解方程组即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ 的周长为32，
∴ ，即 ；
∵ 的周长比 的周长多4，
∴ ，即 ，
由①②联立方程组，解得 ，
故答案为：6．
【变式训练】1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在 中， ， ， ，则
， ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
性质求解
【分析】作 于点 ，由平行四边形的性质得 ，由三角形内角和定理得 ，
由含 的直角三角形的性质得 ，所以 ，最后由勾股定理求得 的长度即可．
【详解】解：作 于点 ，则 ，
四边形 是平行四边形， ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知
识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形 为平行四边形， 的角平分线交 于点 ，
若 ， ，则 的长为 ．
【答案】【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解
答本题的关键．
证明 ， ，即可得出结论．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
3．（2025·江苏南京·一模）如图，在 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，交
的延长线于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质
及角平分线的定义可得 ，即得 ， ，进而即可求解，掌握
平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．题型04 利用平行四边形的性质求面积
例题：（浙江省温州新质联盟学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，在 中，
对角线 与 相交于点O， ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，过点 作 ，
易得 为等腰直角三角形， 为含30度角的直角三角形，进而求出 的长，得到 的长，
进而求出 的面积，根据 的面积为 的面积的2倍，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
过点 作 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故答案为： ．
【变式训练】1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，平行四边形 中，P是边 上一点，若 面积
是8，则平行四边形 面积是 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的面积，三角形的面积，过点 作 于点 ，由 面积是8，
得到 ，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图：
∵ 面积是8，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 面积是 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O，
过点O，交 于点F，交 于点E．若 ，点A到 的距离为4，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】15
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为
的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：15．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图， 是由 ， ， ， 无缝拼接而成，
， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】 /17.5
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段 的距离分别为 和 ，根据
已知面积和四边形面积公式求得 和 ，进一步求得 ，则 ，设
， ，则 ， ， ，结合 求得 ，则
即可求得．
【详解】解：设点A、点B到线段 的距离分别为 和 ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
那么， ，
设 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，则
，
故答案为： ．
题型05 利用平行四边形的性质求坐标
例题：（24-25八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 ， ， 的坐
标分别是 ， ， ，则顶点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，根据平行四边形的性质得出 ，
，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
【详解】解：∵平行四边形 的顶点A、B、D的坐标分别是 ， ， ，
∴ ， ，
∴点C的横坐标 ，纵坐标 点D的纵坐标 ，
即点C的坐标是 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知 中， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是关键．
根据题意，作图分析即可求解．【详解】解：如图所示，
∴点 ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 的顶点 ，点A，B关
于y轴对称，点D在y轴的正半轴上．若 ，则点B的坐标为 ，点C的坐标为
．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形变化——轴对称
【分析】此题考查了平行四边形的性质及坐标与图形，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平
行四边形的性质得到 ，利用等腰三角形的判定与性质求出 ，即可得到点C的坐
标．
【详解】解：如图，
的顶点 ，点A， 关于 轴对称，
，
，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ; ．
3．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，点C的坐标为 ，点B在x轴上，把线段 沿x轴
向右平移得到 ，若四边形 的面积为 ，则点A的坐标为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据平移的性质得出四边形 是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形
的面积求得 的长，即可求得A的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
【详解】解：∵线段 沿x轴向右平移得到 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，A和C的纵坐标相同，
∵四边形 的面积为 ，点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
题型06 利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中，点 是 的中点， 过点 ，下列
结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行
四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平
行四边形的性质可得 ， ， ， ，进而判断①；若 ，则
，显然与已知条件不符，可判断②；证明 ，得到 ， ，
可判断③；再证明 ，得到 ，可判断④．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
故①正确；
若 ，则 ，显然与已知条件不符，
与 不一定相等，
故②不正确；
，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，故③正确；
在 和 中，
，
，
，
，
，故④正确．故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在 中， ，F是 的中点，作
，垂足E在线段 上，连接 ， 给出下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出
．
由在平行四边形 中， ， 是 的中点，易得 ，继而证得 ，
可判断①；然后延长 ，交 延长线于 ，分别利用平行四边形的性质与判定得出 ，可
得 ，再证明 ，可判断②；由 ，可得 ，结合 ，则
，可判断③；设 ，则 ，再分别表示： ， ，从而可判断④．
【详解】解：① 是 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
， ，
；故①正确；
②如图，延长 ，交 延长线于 ，四边形 是平行四边形，
，
，
为 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，不一定与 相等,故②不正确；
③ ，
，
，
，故③错误；
④设 ，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④，共2个，
故答案为：B.
2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，
平分 ，分别交 ， 于点 ， ．连接 ， ， ，则下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中结论正确的是（ ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
性质求解
【分析】 先根据角平分线和平行得： ，则 ，由有一个角是60度的等腰三角
形是等边三角形得 是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得： ，最后由平
行线的性质即可得解； 先根据三角形中位线定理得： ，根据勾股定理计算
和 的长即可得解； 根据平行四边形的面积公式计算即可得解； 根据三角形中位线定理
即可得解．
【详解】解： 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
，
，，
在 中， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
在 中， ，
，
故 错误，不符合题意；
由 知： ，
，
故 正确，符合题意；
由 知： 是 的中位线，
，
，
，
故 正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、
三角形的中位线、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明 是等边
三角形是解决问题的关键．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图， 为平行四边形 的对角线， 于
点E， 于点F， 相交于点H，直线 交线段 的延长线于点G，下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理
解三角形、利用平行四边形的性质证明
【分析】根据“ ”可证明 ，得到 ， ，可对①进行判断；通过判断
为等腰直角三角形，得到 ，根据等角的余角相等得到 ，再根据平行四边形的
性质得到 ，则 ，于是可对②进行判断；因为 ，
，由 ，推出 ，可对③进行判断；接着由平行四边形的
性质得 ，则 ，可对④进行判断．
【详解】解：在 和 中，
，
，
，
，
，故①错误；
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，故②正确；
， ，
，
，故③错误；
， ，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟
练运用平行四边形的性质是本题的关键．
题型07 利用平行四边形的性质求折叠问题
例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点A落在
点E处， 交 于点F．若 ， ．则 的度数为 ．
【答案】112°
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，
先根据折叠的性质得 ，再根据平行四边形的性质得 ，可得
，即可得出 ，然后根据三角形内角和角定理得出答案.
【详解】解：根据折叠的性质得 ，
∵四边形 是平行四边形的性质，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【变式训练】
1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在平行四边形 中，点 分别为边 的中点，
将平行四边形 沿着 折叠，点 分别落在 处，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /57度
【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边对等角、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到 ，由折叠的性质 ， ，得出 ，求出
，得到 ，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
∵点 分别是 的中点，
，
由折叠可得： ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点E是
上的一点，点F是边 上一点，将平行四边形 沿 折叠，得到四边形 ，点A的对应点为点
C，点D的对应点为点G，则 的长度为 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】解法一：作 ，连接 ，设 ，则 ；推出 ，
； ；在 中，由勾股定理得
，求出 ；证明 ，那么 ，据此即可求解；
解法二：作 于 ，过 点作 于 ，由 角直角三角形的性质可求 ，则
，证明 ，那么 ，而 ，设 ，则 ，
则 ，由折叠可知， ，在 中，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：解法一：如图，作 ，连接 ，
设 ，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
∴ ；
由折叠可知： ；
在 中，
由勾股定理得 ，
解得 ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
由折叠可知， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
解法二：如图，作 于 ，过 点作 于 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
由折叠可知， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ;
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
由勾股定理得 ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
故答案为： .
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质， 角直角三角形的性质，勾股定理的应用，
作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线折叠得到
， 交 于点 ，连结 ，若 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、折叠问题
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，进而求出 ，由
折叠的性质得 ， ， ，求出 得
，求出 得 ，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿着 所在的直线折叠得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到 是解决本题的关键．
题型08 利用平行四边形的性质求动点问题
例题：（2025·甘肃白银·二模）如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发，沿折
线 匀速运动，回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与
的函数关系的大致图象，则四边形 的面积是（ ）
A．44 B．48 C．96 D．120
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据图像获取有用信息是解题的关键．结合图象可得，
，求出 ，再求出 边上的高，进而得出答案．
【详解】解：结合图象可得， ，
，
为等腰三角形，
边上的高
，
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ．动点 从点 出发，沿射线 以每秒 的速度运动．动点 同时从点 出发，
在线段 上以每秒 的速度向点 运动；当动点 到达点 时，动点 也同时停止运动．设点 的运
动时间为 秒，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， 的值为（ ）
A．2或 秒 B． 秒 C． 或 秒 D． 秒【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形 为平
行四边形时，②当四边形 为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方
程即可求解．
【详解】解：∵ ，动点 同时从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向终点 运动，
∴运动时间为 （秒），
， 的速度为每秒 ， 到达 的时间为 （秒），
当 在 点以及 点的左边时，即 时， ，
当 在 的右边时，即 时， ，
以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形 为平行四边形时， ， ，
∴ ，
解得： ；
②当四边形 为平行四边形时， ， ，
∴ ，
解得 ，
综合上述，当 或 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
2．（2025·黑龙江大庆·一模）如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发沿折线
匀速运动，回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与 的
函数关系的大致图象，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．平行四边形 的周长为42
D．当 时， 的面积为24【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息．
根据图象可直接判断A和B；由平行四边形的周长公式可判断C；由三线合一得 ，由勾股定
理求出 ，求出 ，进而求出 的面积可判断D．
【详解】解：当点P运动到点B处时， ，即 ，当点P运动到点D处时， ，所以
，故A不正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时， ，即 ，故B不正确，不符合题意；
∴平行四边形 的周长为 ，故C不正确，不符合题意；
当 时，点P在 中点处，如图，
此时 的面积是 面积的一半，
作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，故D正确，符合题意．
故选：D．
3．（24-25八年级下·北京·期中）如图， 中， ，两动点M、N同时从点B出发，点M在
边 上以 的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿 的路径匀速运动，到达点C
时停止运动． 的面积 与点N的运动时间 的关系图像如图所示．已知 ，则下列
说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是 ；
② 的长度为 ；
③a的值为8；
④当 时，t的值为 或9．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】`本题主要考查函数图象问题，由点M的速度和路程可知， 时，点M和点C重合，过点N作
于点E，求出 的长，进而求出 的长，得出N点的速度；由图可得当 时，点N和点A
重合，进而可求出 的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图可知，当
时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【详解】解：∵ ，点M的速度为 ，
∴当点M从点B到点C，用时 ，
当 时，过点N作 于点E，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴N点的运动速度是 ；故①正确；
由图可知，点N从B到A用时 ，
∴ ，故②正确；
∴ ，故③错误；
当点M未到点C时，过点N作 于点E，∴ ，
解得 ，负值舍去；
当点N在 上时，过点N作 交 延长线于点F，
此时 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时，t的值为 或9．故④正确；
故选：C．
题型09 利用平行四边形的性质证明
例题：（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，且
， ， ．
(1)求证： ；
(2)点 、点 分别是 和 的一点，连接 经过点 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断三边能否构成直角三角形、利用平行
四边形的性质证明
【分析】（1）证明 ， ，证明 ，可得 ，从而可得结
论；
（2）结合平行四边形的性质证明 即可；
【详解】（1）证明： 在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O， ， ，
， ．
，，即 ，
为直角三角形， ，
．
（2）证明：∵在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟记平
行四边形的性质是解本题的关键.
【变式训练】
1．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，在 中， ， ， 为垂足．
(1)求证 ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行四边形的性质证明三角形确定，根据平
行四边形的性质求角度；
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，再证明 即可；
（2）根据平行四边形的性质得出 ， ，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
．
（2）解： 四边形 是平行四边形，， ，
， ，
，
．
2．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 任意作直
线分别交 ， 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是
解题关键．
（1）利用平行四边形的性质，即可证明 ；
（2）利用全等三角形的性质，得出 ， ，进而即可求出四边形 的周长．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
， ，
∵ ， ，
， ， ，
四边形 的周长 ．
3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平行四边形 中，点E在边 上，连接 ， ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 、 交于点F， 的垂直平分线交 于G，连接 、 ．
求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据等边对等角证明、利用平行四边形的性质证明
【分析】（1）根据平行四边形以及等边对等角得到 ，而 ，即可证明；
（2）由 得到 ，由 的垂直平分线交 于 得到 ，则 ，而
，再由外角证明 ，即可证明全等；
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）证明：如图，∵由上知 ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 于 ，
∴ ，
∴ ，
由上得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，
等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
一、单选题
1．（24-25八年级下·广西河池·期中）在 中， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，得出 ，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∴ ，
故选：A．
2．（24-25八年级下·北京·期中）在 中， 与 的度数之比为1：3，则 等于（ ）A．45° B．50° C．130° D．135°
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】此题考查了平行四边形角的有关性质，“邻角互补，对角相等”，熟练掌握平行四边形的有关性
质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得： ， ，根据 求得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ ，
∵
设 ，则
∴ ，解得
∴
故答案为：A．
3．（24-25八年级下·重庆万州·期中）如图是小明用两个含 的全等直角三角形拼成的平行四边形，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．根据平行四边形的性质，得出 ， ，通过已知条件先得出 的长，由勾股
定理求出 ，最后求得 的长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
和 是两个含 的全等直角三角形， ，
，
，
，，
故选：C．
4．（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片 进行折叠，第一次折叠经过点A，使 的
两边重合，折痕交边 于点E，第二次折叠经过点B，使 的两边重合，折痕交边 于点F，如图是
一种折叠后的效果，当点 ， ， ， 相邻两点间的距离相等时，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
【答案】C
【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边
形的性质和等角对等边进行解答即可．
【详解】解：如图1，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 ， ， ， 相邻两点间的距离相等，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，
如图2，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 ， ， ， 相邻两点间的距离相等，∴ ，
由折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，
综上可知， 的长为2或4，
故选：C．
5．（2025·安徽阜阳·二模）如图， 是 的角平分线， 平分 交 于点 ， 是
的外角平分线，交 的延长线于点 ，且 ，连接 ．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质证明、根据平行线判定与性质证明、等边三角形
的判定和性质
【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到
即可判断B，再证明 是平行四边形即可判断C，最后证明 垂直平分 即可判断D，即
可得到答案．
【详解】解 平分 ， 平分 ，
， ，
，选项A正确，不符合
题意；
， 平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，，
，选项B正确，不符合题意；
， ，
四边形 是平行四边形．
， ，
由上面知： ，
， 均为等边三角形，
由三线合一易知 ， ，
在 中，由角平分线定义知 ， ，
，
易知 ，
，选项C错误，符合题意；
， 平分 ，
结合 易证 全等于 ，
易知 垂直平分 ，
，
又 ，
，选项D正确，不符合题意；
综上，故选C．
【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角
形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件．
6．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将 放置在第一象限，且
轴．直线 从原点出发沿 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 与直线在
轴上平移的距离 的函数图象如图2所示，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用平移的性质求
解
【分析】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握 时直线与 轴所夹锐角为 ．
通过图象中 可得直线运动到 三点时所移动距离，从而求出 长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．
【详解】解：由图象可知，直线经过 时移动距离为3，经过 时移动距离为7，经过 时移动距离为8，
，
如图，当直线经过点 时，交 于点 ，作 垂直于 于点 ，
由图2可知 ，
∵ 轴，直线
∴直线与 夹角为 ， ，
，
∴ 面积为 ．
故选：B．
二、填空题
7．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知 的周长为32，若 ，则 ．
【答案】10
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可．
由平行四边形的性质推出 ， ，得到 的周长 ，即可求出BC的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：10．
8．（24-25八年级下·上海·期中）在 中， 与 相交于点O，若 ， ，
．则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，含 角直角三角形的性质，解题关键是掌握数形
结合思想与方程思想的应用．
过点A作 于E，设 ，则 ， ，在直角三角形 中，利用
勾股定理可得 ，进而可求出a的值，由平行四边形的性质可知： 的面积 ，
即可求解．
【详解】解：过点A作 于E，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
在直角三角形 中，由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得： （负数已舍），
，
∴ 的面积 ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图，在 和 中， ，且
，则 的度数为 ．【答案】 /20度
【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据平行四边形对边平行
和平行线的性质求出 的度数，再根据周角的定义求出 的度数，据此根据等边对等角
和三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为； ．
10．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平行四边形 中，以 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 、 边于 、 两点；分别以点 、 为圆心，大于 的一半为半径画弧，两弧交于点 ；
画射线 交 于点 ， ， ，则平行四边形 的周长为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、角平分线的判定定理、作角平分线(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟
练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可知 平分 ，得到 ，根据平行四边形的
性质得到 ， ， ，得出 ，继而得到 ，得到
，设 ，则 ，结合 可列方程求出 ，即可求解．
【详解】解：由题意可得： 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，，
，
解得： ，
，
平行四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
11．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图所示，在 中进行折叠操作，使得点C恰好落在
边上的点 处．已知 ， ，那么 的度数为 °．
【答案】 /108度
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求出
，再利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，
四边形 是平行四边形，
，
，
由翻折变换的性质可知 ，
．
故答案为： ．
12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，
， ， ，点 从点 出发，沿 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动．连
接 并延长交 于点 ，设点 的运动时间为 秒，在点 的运动过程中，当 是等腰三角形时，
的值为 ．【答案】 或 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰梯形、等腰三角形的判定与性质、含 角直角三角形的性
质，正确分三种情况讨论是解题关键．
若 是等腰三角形，分两种情况，第一种 ，第二种 ，第三种 ，分别计算
即可求出点 的运动时间．
【详解】解：如图所示，作点 、 、 使得 ， ， ，
当点 分别运动到点 、 、 时， 是等腰三角形，
①当点 运动到点 ：
此时 ，
又 ，且 ，
四边形 为等腰梯形，
，
②当点 运动到点 ：
此时 ，
，
③当点 运动到点 ： ，
作 交 于点 ，
，
根据等腰三角形三线合一得：
，．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
13．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
(1)求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
（1）根据平行四边形周长公式计算即可；
（2）根据平行四边形的性质得到 ， ，得出 ，由 平分 得
到 ，继而得到 ，求出 ．
【详解】（1）解： 在 中， ， ，
的周长 ．
（2）解：在 中， ， ，
平分 ，
，
，
．
14．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 和 交于点O，点E、F分
别为 、 的中点，连接 、 ．
(1)求证： ；(2)若 ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用
勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，
掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）由平行四边形性质 ， ，再结合中点条件，利用“ ”即可证明．
（2）根据题意得出 为等腰三角形，由F是 的中点，可得 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点E，F分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，且 ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵点F是 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ．
15．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形 中， ，在 取一点E，使得
，连接 ．(1)用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线交 于点F，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作
法和结论）
(2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现 ，请你证明学习小组发现的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．
（1）根据作角平分线的基本作图画图；
（2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明．
【详解】（1）解：所作图形，如图：
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
∵在 中， ．
∴ ．
16．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，平行四边形 的对角线 和 相交于点O， 过点O且与边 、 分别相交于点E和点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)18
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明 ：
（1）证明 即可得证；
（2）根据 ，推出四边形 的周长等于 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵平行四边形 的对角线 和 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知 ， ， ，
∴ ，
∴四边形 的周长为
．
17．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，请仅用无刻度
直尺作图（保留作图痕迹，不写画法）．
①在图1中，请过点 作 的平行线交 于点 ．
②在图2中，请过点 作 的平行线交 于点 ．
【答案】①见解析；②见解析
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了限定工具作图，平行四边形的判定与性质：①连接 和 ，设交点为 ，延长 并延长交 于F，则F点为所作；
②连接 ，交 于点 ，延长 交 于H，连接 交于点G，作射线 交 于F，则F点
为所作．
【详解】解：①如图1，为所求；
②如图2，为所求．
18．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点Q从点A出发以 的速度向点D运动，点P从点B出发以 的速度向
点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为 ．
(1)直接写出： _______， ______；（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形 为平行四边形？
(3)若点P与点C不重合，且 ，当t为何值时， 是等腰三角形？
【答案】(1) ；
(2)当 时，四边形 是平行四边形；
(3)当 或 秒时， 是等腰三角形．
【知识点】列代数式、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了列代数式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关
键．
（1）由题意可知， ，则可用含 的式子表示出 ；
（2）根据四边形 是平行四边形，且 ，得到 ，则 ，求解即可；（3）分两种情况讨论：① ，② ，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形；
（3）解：由（1）知． ， ，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴①当 时，
∴点 在 的垂直平分线上，
，
，
，
②当 时，过点 作 于 ，如图：
，
， ，
，
∴四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ，，
，
，
∵点 在边 上，不和 重合，
∴此种情况符合题意，
综上， 或 秒时， 是等腰三角形．
19．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，平行四边形 ，对角线 交于点O， 的平分线
交 的延长线于点E，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，连接 ；
若 ，求平行四边形 的面积；
设 ，试求m与k满足的关系．
【答案】(1)详见解析
(2) ；
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定和性质、用
勾股定理解三角形
【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明；
（2）①由 ，得 为等边三角形．由 得点C是 的中点，即 ；
再由勾股定理求得 ，即可求得平行四边形的面积；
②易证 为等边三角形，再证明 ，则有 ，从而得
，由此即可求得m与k的关系．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 ，∴ ．
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：①∵ ，
∴ 为等边三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得： ，即 ，
∴ ．
∴平行四边形 的面积为 ．
②∵ 为等边三角形， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵
＝
，∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是关键．
20．（2025·吉林·一模）如图1， ，点 ，点 在 轴正半轴上，点 ， 在第一象限，且
， ， 的对角线 ．
(1)点 的坐标为 ；
(2)动点 从点 出发沿 的路线运动，在 上的速度为每秒 个单位长度，在 上的速度为
每秒 个单位长度，过点 作 轴的垂线交折线 于点 ，以 为直角边且 向右作等腰
直角三角形 ，设运动时间为 ．
①如图2，当等腰直角三角形 与 重叠部分为四边形时， 与 相交于点 ．则四边形
的形状为 ；
②线段 的长度为 ；（用含 的代数式表示）
③若设重叠部分的面积为 ，在运动过程中，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①平行四边形；② ；③
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】（1）延长 交 轴于点 ，根据平行四边形证明 和△ 是等腰直角三角形，得
， ， ，即可解答；
（2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得结论；
②分点 在 和 两种情况，当点 在 上时，如图1，先求得 的长，再由线段的差可得 的长；
当点 在 上时，先确定点 在 上运动 ，因此从 到 时间是 ，再与速度为每秒 个单位长度
相乘即可解答；
③分三种情况： 时，如图2，重叠部分是 ，根据三角形的中线平分三角形的面积即可解答；当 时，如图3，重叠部分是四边形 ，根据面积差计算即可；当 时，如图4，重叠部
分是 ，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：（1）如图1，延长 交 轴于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①四边形 的形状为平行四边形，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵四边形 是平行四边形，
故答案为：平行四边形；②存在两种情况：
当点 在 上时， ；
点 到达点 用时 ，
当点 在 上时， ，
综上，线段 的长度为 或 ；
故答案为： 或 ；
③分三种情况：
当 时，如图2，重叠部分是 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图3，重叠部分是四边形 ，同上可得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图4，重叠部分是 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
综上， 与 的函数关系式为： ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，
三角形的面积等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
