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2025 年高考考前信息必刷卷 01（北京卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
如第10题，与2025年八省联考的14题类似，凸显代数与集合的联系，加强学科知识的融合
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第7题，第8题，第14题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，故选：A.
2．已知 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 .故选：C.
3．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】圆 ，即 .
圆心 到直线 的距离 ，∴ .故选：B
4． 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题目可知 ， ，
令 ，解得 ，所以当 时为常数项，此时 ，故选：A
5．已知非零向量 ， ，则 是 成立的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】C
【解析】 ， 为非零向量，当 时，有 ，
则 ， ，
有 ，得 ，充分性成立；
当 时，有 ，即 ，
得 ，则有 ，必要性成立.
所以 是 充要条件.故选：C.
6．设函数 .若 ，且 的最小正周期大于 ，
则（ ）
A． . B．
C． D．【答案】C
【解析】由 的最小正周期大于 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
则 ，且 ，所以 ，即 ，
由 ，即 ，
可得 ， ，则 ， ，
且 ，可得 ， ，
所以 ， .故选：C．
7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为
，其中 为起始光功率（单位：W）， 为衰减系数， 为接收信号处与发射器间的距离（单
位：km）.已知距离发射器 处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由 km变到 km时，光
功率由 变到 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，则 ，
由 、 ，得 ，所以 .故选：A
8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如
“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面
的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵” ，其中
，若 ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取 中点 ，连结 ，
根据题意， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，因为 ，所以 ，
又平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，且
由题意可知 ，
，
则 ，即 为直角三角形，
，
设 到平面 的距离为 ，且 ，即 ，
，故选B
9．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ， ，
，
则 ，A选项错误.，B选项正确.
，即 ，D选项错误.
，C选项错误.
故选：B
10．已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记
作 ，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集 所表示的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，点集D所表示的图形如图， 是边长为4的正三角形，
其中 ， ， ， ， ，
， ，所以扇形 的面积为 ，
， ，
，
所以 的面积为 ，
又 ，
所以四边形 的面积为 ，
又四边形 的面积为 ，
点集 所表示的图形面积为：
.
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知抛物线： 的焦点到其准线的距离为2，则 ．
【答案】
【解析】由 得 ，则抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为 ，而 ，因此
，解得 ，所以 .
12．设 都是锐角，且 ，则 的取值范围是 .【答案】
【解析】 都是锐角，且 ，
，
，
即 的取值范围是 .
13．若直线 与双曲线 始终只有一个公共点，则 取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，消 可得 ，当 或 ，解得
或 ，
14．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底
圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为
96g，则此陀螺圆柱底面的面积 ．
【答案】15【解析】依题意，该陀螺的总体积为 ，
设圆柱底面圆半径为r，则 ，解得 ，
所以此陀螺圆柱底面的面积为 .
15．已知数列 的各项均为整数， ， ，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比
数列，则集合 中所有元素之和为 .
【答案】1023
【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为 ，从第11项起构成的等比数列的公比为 ，
由 ，解得 或 ，又数列 的各项均为整数，故 ，
所以 ，所以 ，
，所以 ，
故集合 中所有元素之和为 .
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）在 中， ， ，从① ；② ；③ 这三个
条件中任选一个作为题目的已知条件.
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解】（1）由题知，三角形为钝角三角形
选①，由余弦定理得： ，解得： ，
所以由正弦定理得： .
选②，因为 ，所以 ，所以
选③，由正弦定理得： ，
所以 ，所以
.（2）选①，因为 ， ，所以 的面积为：
选②，由正弦定理得： ，
.
选③，因为 ， ， ，
所以 .
17．（本小题满分13分）如图，已知等腰梯形 中， ， ，现以
为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，如图， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ．
因为 为 的中点，所以 ．又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 为 的中点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）由折叠知， ， ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
如图，过点 作 于点 ，取 的中点 ，连接 ，易知 ， ， 两两垂直．
以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图（2）的空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ，
得 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ,取 ，则 ， ，即 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ,
取 ，则 ， ，即 ．
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为0．
18．（本小题满分14分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，
三人得分（单位：分）情况统计如下：
场
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设 表示乙得分大于丙得分的场数，
求 的分布列和数学期望 ；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、
乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设 为甲获胜的场数， 为乙获胜的场数， 为丙获胜的场数，写出方差 ， ， 的大小关系.
【解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10
场.
设 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 .
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以 的所有可能取值为0，1，2.
， ， .
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，丙获胜的概率为 ，还需要进行6场比
赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
， ，
故 .19．（本小题满分15分）已知椭圆 ： 的右焦点 在直线 上， 分别
为 的左、右顶点，且 .
(1)求 的标准方程；
(2)已知 ，是否存在过点 的直线 交 于 ， 两点，使得直线 ， 的斜率之和等
于-1?若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设右焦点
直线 与 轴的交点为 ，所以椭圆 右焦点 的坐标为
故在椭圆 中 ，
由题意 ，结合 ，则
所以椭圆 的方程为：
（2）当直线 的斜率为0时，显然不满足条件
当直线 的倾斜角不为 时，设直线 的方程为： ，
由 ，可得
由题意
则由
化简可得 ，由 ，即
故存在满足条件的直线，直线 的方程为：
20．（本小题满分15分）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
(1)设函数 ，求函数 的单调性．
(2)证明： ．
参考数据： ．
【解】（1）根据题意，函数 的导函数 ，
而 ，因此 ，进而 ，其导函数 ，
当 时，显然有 ，当 时，有 ，
因此函数 在 和 上均单调递增．
（2）题中不等式即 ，
先证： ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，故 成立.
同理可利用导数证明： .
因为 ，
故 ，
因此命题得证．
21．（本小题满分15分）有穷数列 中，令
，当p=q时，规定 .
(1)已知数列 ，写出所有的有序数对 ，且 ，使得 ；(2)已知整数列 为偶数，若 ，满足：当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .求 的最小值；
(3)已知数列 满足 ，定义集合 .若
且为非空集合，求证： .
【解】（1） 为 时， ，
为 时， ，
为 时， ，
为 时， ，
故 ，且使得 的有序数对有 、 、 、 ；
（2）由题意可得 ， ，
又 为整数，故 ， ，
则 ，
同理可得 ，
即有 ，
同理可得，当 时，有 ，即当 时，有 ，
当 时， ，
故
；
（3）对于数列 ， ，不妨设 ，
①首先考虑 的情况，
由于 ， ，故 ，同理 ， ， ，
故 .
②再考虑 中有连续一段是连续的正整数的情况，
此时 ,
因为 ， ，
故这说明此连续的 项的和为负.
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，
再由①中结论，可得 .③若在①②中 ，由于 ，
此时去掉前 项，则可转化①②的情况，所以有 .
④若 ，则 ，
所以此时有 ，
综上，结论成立.
