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2025 年高考考前信息必刷卷 01（上海卷）
数 学
考情速递
高考·新考法：新增统计概率、空间向量、导数及其应用会以不同情景考查
高考·新情境：以前的19题实际应用题改在填空题考查，并扩大了考查范围
命题·大预测：集合、函数、不等式、三角函数与解三角形、统计与概率、空间向量立体几何等依然是基础
题中的热点，且在常考题型中会有创新，函数与三角函数依然是第18题的热点.选填压轴题：除了往年的
热点外，空间向量与立体几何模块，其他种数、个数类问题会有很大概率考查，如2023年高考填空压轴题.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合
则 .
【答案】
【分析】化简集合A，B，根据交集求解.
【解析】 ，
，
故答案为： .
2．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 ．【答案】
【分析】根据题意，求得 ，结合复数模的计算公式，即可求解.
【解析】由复数 ，可得 ，则 ，所以 .
故答案为： .
3．函数 的最小正周期为 ．
【答案】 /
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果.
【解析】 ，所以函数的周期 ，
故答案为： .
4．已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 ．
【答案】0.94
【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.
【解析】由正态分布的对称性得 .
故答案为：0.94.
5．在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边， ， ，面积为12，则 .
【答案】
【分析】结合三角形的面积公式求 ，再根据二倍角的余弦公式即可求解.
【解析】由 ，又 ， ，
则可得 ，
又 ，故答案为： .
6． （n为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为
．
【答案】20
【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出 ，然后进行计算即可．
【解析】 第三项与第五项的系数相等，
，得 ，
则 的展开式中的常数项为 ．
故答案为：20．
7．不等式 恒成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式得到函数的最值，即可得到答案.
【解析】 ,
即函数的最小值是 ，若不等式 恒成立，则 .
故答案为：
8．已知 为双曲线 的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，
，则C的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可得出 为等腰三角形，结合 求出 ，即可求得答案.
【解析】由题意知 ，而 ，结合双曲线的对称性可知 为等腰三角形，则 ，
故 ，结合 可得 ，
故C的渐近线方程为 ，
故答案为：
9．在 ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°， · ＝－1，若O是 ABC的重心，则 · ＝ .
△ △
【答案】5
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算、三角形重心性质即可求出.
【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴ .设C(a，0)．∵ · ＝－1，所以 ，解得a
＝4.
∵O是 ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以
△.
故答案为：5.
10．学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体 中挖去
一个四棱锥 ，其中 为长方体的中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点， ，
， 打印所用原料密度为 .不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
.
【答案】
【分析】根据几何体形状分别求出长方体体积和四棱锥 的体积，相减得出模型体积即可求得所
需原料的质量.
【解析】易知四棱锥 的底面积 ，
高为 ，
所以四棱锥 的体积为 ，
长方体 为 ，
因此该模型的体积为 ，
所以该模型所需原料的质量为 .
故答案为：11．设 是集合 ，且 (其中 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，
若 ，则 的最大值为 .
【答案】138
【分析】先观察到 时的所有项都小于 的任意一项，然后计算得到
，可知 ，即可得到结果.
【解析】解：记 中的项为 ，
当 时， ，1，2，…， ，
其中 时， 取最大值 ，
当 时， ，1，2，…， ，
其中 时， 取最小值 ，
显然 ，
即 时的所有项都小于 的任意一项，
故 从小到大排列顺序为 ， ， ， ， ， ，…，
由 ，得 ，
∴ ，
又 为数列的第 项，
∴ 为数列的第277项，
要使 ，即 ，
∴ ， ，
∴ 的最大值为138.故答案为：138.
【点睛】本题考查了指对数的大小比较，不等式的问题，考查了集合中元素的互异性，灵活程度很高.
12．若函数 的图像上点 与点 、点 与点 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图
像上的其它两点关于原点对称，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意将问题转化为 在 的图像关于原点对称后与 的图像有两个交点，即转化
为方程 在 上有两根，孤立参数为 在 上有两根，求导确定函数 的单调
性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数 的取值范围.
【解析】若 有两组点关于原点对称，则 在 的图像关于原点对称后与 的图像有两个
交点．
由 时， ；得其关于原点对称后的解析式为 ．
问题转化为 与 在 上有两个交点，即方程 有两根，
化简得 ，即 与 在 上有两个交点．
对于 ，求导 ，令 ，解得： ，
即：当 时， 单调递增；
令 ，解得： ．
即：当 时， 单调递减，
∴ 为其极大值点， ， 时， ；画出其大致图像：欲使 与 在 时有两个交点，则 ，即 ．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断.
【解析】 的解集是 ，反之不成立.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
14．设向量 ， ，其中 ，则下列判断错误的是
A．向量 与 轴正方向的夹角为定值（与 、 之值无关）
B． 的最大值为
C． 与 夹角的最大值为
D． 的最大值为l
【答案】B
【分析】在A中，取z轴的正方向向量 ，求出 与 的夹角即可判断命题正确；在B中，计算
，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出 与 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解析】解：由向量 ， ，其中 ，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量 ，
向量 与z轴正方向的夹角的余弦值：
，
∴向量 与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中， ，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此 的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得： ，
，
∴ 与 的夹角的最大值为 ，故C正确；
在D中， ，
∴ad−bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，
是中档题．
15．假定生男生女是等可能的，设事件 ：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件 家庭中最多有一
个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件 与事件 相互独立､②中的事件 与事件 相互独立
B．①中事件 与事件 不相互独立､②中的事件 与事件 相互独立C．①中事件 与事件 相互独立､②中的事件 与事件 不相互独立
D．①中事件 与事件 不相互独立､②中的事件 与事件 不相互独立
【答案】B
【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断.
【解析】若家庭中有两个小孩，样本空间为 (男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) ，共4种情况，
(男,女)，(女,男) (男,男)，(男,女)，(女,男) (男,女)，(女,男) ，
则 ， ， ，事件 与事件 不相互独立，AC错误；
若家庭中有三个小孩，样本空间为 (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女) ，共8种情况，
(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男) ，
(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男) ， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男) ，
， ， ，事件 与事件 相互独立，B正确，D错误.
故选：B
16．设集合 ，点P的坐标为 ，满足“对任意 ，都有
”的点P构成的图形为 ，满足“存在 ，使得
”的点P构成的图形为 ．对于下述两个结论：① 为正方形以及该正方形
内部区域；② 的面积大于32．以下说法正确的为（ ）．
A．①、②都正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确
【答案】C
【分析】先确定 所表达的意义，了解满足该条件的点 的轨迹，再求 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.
【解析】因为 ，表示除原点外的平面内的所有点.
，
所以 表示到直线 和 的距离之和不大于4的点.
如图：
易知直线 和 垂直，
则 ， .
当 时， .
因为 ，所以 .
因为 要求任意，所以 是以原点为圆心，半径为 的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），
因为 要求存在，所以 是以原点为圆心，半径在 范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除
外），故①不正确；
当 时，存在 使得 ，故②正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件 转化成 ，
借助点到直线的距离公式，明确 点坐标满足的条件.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．在直四棱柱 中， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 体积为36，求二面角 大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面 平面 ，再由面面
平行的性质定理，即可得证；
（2）先根据棱柱的体积公式求得 ，再利用二面角的定义，求解即可．
【解析】（1）由题意知， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
（2）由题意知，底面 为直角梯形，
所以梯形 的面积 ，
因为四棱柱 的体积为36，
所以 ，
过 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，
在 △ 中， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故二面角 的大小为 ．18．已知函数 ，其中 .
(1)求 在 上的解；
(2)已知 ，若关于 的方程 在 时有解，求实数
m的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据题意得方程，然后通过 的范围解方程即可；
（2）代入 ，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质
求值域即可.
【解析】（1）由已知 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，即 在 上的解为 或 ；
（2）由已知
，
则 在 时有解，即 在 时有解，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市
民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市
社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
合计
喜欢网上买
不喜欢网上买菜
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据 的 独立性检验，分析 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果
周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ，如果周一选每 平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为 ，求小张周二选择 平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量 ，并
记随机变量 ，求 、 的期望和方差.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
【答案】(1)有关
(2)
(3) ， ， ，
【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案；
（2）由题结合全概率公式可得答案；
（3）由题可得 ，后由期望与方差性质可得答案.
【解析】（1）假设 ：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由给定的 列联表，得： .
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 .
（2）设 表示周 在A平台买菜， 表示周 在B平台买菜，
由题可得 ，
由全概率公式，小张周二选择 平台买菜的概率为：；
（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为： .
从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数 服从二项分布： ，所以
， .
又 ，所以 ， .
20．如图， 是抛物线 ： 的焦点，过 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 在第一象
限，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 的右侧．记
， 的面积分别为 ， ．已知点 在抛物线 上．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 点纵坐标为 ，试用 表示点 的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)(3) 的最小值为 ，
【分析】（1）将点 的坐标代入 可求出 ，从而可得抛物线的方程，
（2）先求出直线 的方程为 ，代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系可求出点 的
坐标，再由重心 在 轴上结合重心坐标公式可求出点 的坐标，从而可求出点 的横坐标，
（3）求出直线 的方程，可求出 ，从而 ，令 ，
代入化简后利用基本不等式可求出其最小值和点 的坐标
【解析】（1）因为点 在抛物线 ： 上，
所以 ，得 ，
所以抛物线 的方程为 ，
（2）由 点纵坐标为 ，得 点横坐标为 ，设 ，重心 ，
因为直线 过 ，所以
所以直线 的方程为 ，即 ，
代入 ，得 ，
所以 ，得 ，所以 ，
因为 ， ，重心在 轴上，
所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以
即点 的横坐标为
（3）由（2）得 ， ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
因为 在点 的右侧，所以 ，
所以
，
令 ，则 ，，
当且仅当 ，即 取等号，
所以当 时， 取得最小值为 ，
此时 ，则 ，所以
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，第（3）问解题的关
键是表示出 后，利用换元法，令 ，将其转化为 ，
然后利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
21．已知关于的 函数 ， 与 在区间上恒有 ，则称 满足
性质.
(1)若 ， ， ， ，判断 是否满足 性质，并说明理由；
(2)若 ， ，且 ，求 的值并说明理由；
(3)若 ， ， ， ，试证： 是 满足
性质的必要条件.
【答案】(1)满足，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）结合题意，利用配方法与二次函数的性质，分别证明 ， 即可；
（2）先根据题意得到 是 的极小值点，从而求得 ，再进行检验即可；（3）构造函数 ，求得 的隐零点，结合题意得到 ， 与 ，
从而得证.
【解析】（1）满足，理由如下：
因为 ， ， ，
所以 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取到最小值0，故 .
又 ，
综上， 满足 性质.
（2） ，理由如下：
设 ，则 ，
由条件知 ，则 是 的极小值点，
所以 ，即 .
当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
所以 ，即 恒成立(当且仅当 时取等号)
因此 .
（3）设 ，由（2）所证的 (当且仅当 时取等号)知:
，
当 时取等号.
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以存在 使得 ，即 ，则 ，
又 ，则 ，
结合条件可得 ，所以 ，
设 ，则 ，
又由已知 ，则 是 的极小值点，
所以 ，即 ，
结合 ，可得 ，故 ，
所以 是 满足 性质的必要条件.
【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是构造函数 ，求得 的隐零点，从
而得到 的关系，由此得解.
