文档内容
专题突破卷 09 解三角形中三角形面积和周长（边）
的最值（范围）问题
题型一：三角形面积的最值
1．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，已知
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理和 得到 ，由辅助
角公式得到 ，求出 ；
（2）由基本不等式求出 ，得到面积的最大值.
【详解】（1） ，由正弦定理得，
其中 ，
故 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由辅助角公式得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
（2） ， ，
由余弦定理得 ，即 ，
由基本不等式得 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，解得 ，仅当 时取等，
故 的面积 ，最大值为 .
2．已知 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
(1)若满足 ，求证： ．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若在 中， ；
①BC边上的中线 ，求 的面积的最大值．
②如图所示 为等边三角形， ，求当c为多少时，DE取得最大值 ．
【答案】(1)证明见解析(2)① ；②
【分析】（1）根据三角恒等变换，再结合正弦定理角化边，即可求解；
（2）①由公式 两边平方，再结合基本不等式求 的最大值，即可求解；
②根据三角形的几何关系，设 ，则 ，在 和
中，利用正弦定理表示 和 ，即可得到 ，再根据三角恒等变换，以及辅助角公式，
即可求解.
【详解】（1）由已知得 ，
即
则 ，
．
得 ，由正弦定理得 ．
（2）①由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，当且仅当 时取等号，
则 ，当且仅当 时取等号，
则 的面积的最大值为 ．
② ， ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
得 ，
所以
，
其中 ，所以当 时，DE取得最大值，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以当 时，DE取得最大值 ．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3．在凸四边形 中，已知
(1)若 ，求 的值；
(2)求四边形 面积 的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由两次余弦定理得出 ，进而由和角公式得出 的值；
（2）由余弦定理得出 ，再由三角形面积公式结合三角恒等变换以及三角函数的性质求
解即可.
【详解】（1）由余弦定理可得 ，
，
则 .
（2）由余弦定理可得 ，且
，
当 ，即 时，四边形 的面积 取最大值.且为
4．已知函数 的最大值是4，函数 图象的
一条对称轴是 ，一个对称中心是 ．
(1)求 的解析式；
(2)已知 中， 是锐角，且 ， 边长为3，求 的面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角函数性质可确定解析式；
（2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值．
【详解】（1）设 的最小正周期为 ，
∵ 图象的一条对称轴是 ，一个对称中心是 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，则 ，
∵ 图象的一条对称轴为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又∵ 的最大值是4，
∴ ，则 ．
（2）∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，即 ，
在 中， ，
当且仅当 时取等号，则 ，
则 的面积为 ，
所以 的面积的最大值为 ．
5．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 的外接圆半径为1，求边长b的值；
(3)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果；
（2）利用正弦定理运算求解即可；
（3）根据题意利用基本不等式可得 ，结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 .
（2）由正弦定理可知： （ 为 的外接圆半径），所以 .
（3）由题意可知： ，且 ，即 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，
可得 ，
所以 的面积的最大值为 .
6．已知 的内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 最大，
．
(1)求 ；
(2)若 边上的高为4，求 面积的最小值．
【答案】(1) (2)16
【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得 角；
（2）由面积建立 的关系，利用基本不等式求得 的最小值，得面积最小值．也可用
角表示出边 ，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
．
．因为 最大，所以 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！从而 ，
即 ，所以 ，即 或 （舍）
从而 ．
（2）法一：设 面积为 ， ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 ， 面积的最小值为16．
法二：由 边上的高为4，可得 ，即 ，
同理 ，
，
当且仅当 即 时取等号．
面积的最小值为16．
7．在 中， 分别是角 的对边， ．
(1)求角 的大小及 外接圆的半径 的值；
(2)若 是 的内角平分线，当 面积最大时，求 的长．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）利用辅助角公式和三角形角的范围得出 ，再根据正弦定理得到三角
形外接圆半径；
（2）根据余弦定理和基本不等式的 ，此时 面积最大，再根据角的关系和正弦定理计算得出结果；
【详解】（1）由 得 ，则 ，
由正弦定理得
（2）在 中，由余弦定理得
则 ，即 ，
，
当且仅当 时， ，
．
此时， ．
在 中， ，
由正弦定理得 ．
8．在 中，已知 ， ， ， 为线段BC上一个动点．
(1)若AD为 的角平分线，求线段AD的长；
(2)将 折起到 的位置，记二面角 的大小为 ．
（i）若 ，且AD为 的角平分线，求三棱锥 外接球的面积；
（ii）若 ，求三棱锥 外接球的面积最小值．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii） .
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合三角形面积公式求解即得.
（2）（i）由（1）的结论，利用正弦定理求出 外接圆直径，结合余弦定理及
球的截面小圆性质求出球半径即得；（ii）设 ，利用余弦定理求出 ，再利用（i）
中的相关信息及结论代入 求解即得.
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理得
，
由AD为 的角平分线，得 ，
而 ，解得 ， ，
在 中， ，所以 ．
（2）（i）在 中，由（1）知 ，解得 ，
为AD中点，设 外接圆为 ，半径为 ， ， ，
由 ，解得 ，
，在 中， ，解得 ，
设 外接圆为 ，半径为 ， ， ，
由 ，解得 ， ，平面 ，则 平面 ， ，
令三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ， 平面 ，
而平面 平面 ，则 ，又 ，
平面 ，于是 平面 ，从而点 共面，
显然 ，OT为四边形 的外接圆直径，同时也为 外接
圆直径，
而 ， ，
三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，
由 ，得 ，
所以三棱锥 外接球表面积为 ．
（ii）由 为线段BC上一个动点，设 ，显然 不能与点 重合，即 ，
由（1）解得 ， ， ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由（i）知， 为AD中点， 外接圆为 ，半径为 ， ，
由 ，解得 ， ，
外接圆为 ，半径为 ， ，由 ，解得 ，
，令三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，
，
当 时， ，
三棱锥 外接球表面积为 ，当 时， ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
9．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，其面积记为 ，且满足
(1)求角 ；
(2) 为 边上一点， ，且 求 的最小值.(3)圆 是 外接圆， 是圆 外一点， ， 分别切圆 于点 ， ，若 ，
求 的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由三角形的面积公式及余弦定理，辅助角公式可得 的值，再由角
的范围，可得角 的大小；
（2）由题意可得 为角平分线，再由等面积法可得 ，由基本不等式可得
的范围，进而求出三角形的面积的最小值；
（3）由正弦定理可得三角形外接圆的半径，再由向量的运算及基本不等式可得 的
最小值．
【详解】（1）由 及 ，
可得 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
即 ；
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
且 与 互为补角，可得 ，
即 ，又 ，且 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 为 的角平分线，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，解得 ，当且仅当 时取得等号，
即 的最小值为 ，
所以 ；
即 的面积的最小值为 ；
（3）设圆 半径为 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
10．如图，在平面内，四边形 满足 ， 点在 的两侧， ， ，
为正三角形，设 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 变化时，求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)√3(2)
【分析】（1）在 中，由余弦定理可得 的值；
（2）由余弦定理可得 的表达式，进而求出正三角形 的面积的表达式，进而求出
四边形 的面积的表达式，由辅助角公式及 的范围，可得四边形面积的范围．
【详解】（1）因为 ， ， ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理可得： .
（2）由余弦定理可得 ，
因为 为正三角形，所以 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故当 时，四边形 面积的最大值为 .
题型二：三角形面积的取值范围
11．在① ；②； ③ ；这三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中 为 的面积）．
问题：在 中，角 的对边分别为 ，满足：__________．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)任选一条件，都有 ；(2)
【分析】（1）选①，由面积公式、向量数量积可得答案；选②，由正弦定理、两角和的正弦展开式可得答案；选③，由正弦定理、余弦定理可得答案；
（2）令 ，在 中由正弦定理得求出 ，再由三
角形的面积公式、三角函数的选择可得答案.
【详解】（1）选①，由已知得： ，
所以， ，
所以， ， ，
若 ，则 ， ，
所以 ， ，
即： ；
选②，由正弦定理得： ，
所以，
，
所以， ，又因为 ，
所以， ，
所以， ． ，
因为 ，所以 ；
选③，由正弦定理得： ，即： ．
得： ．
由余弦定理得： ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又因为 ，所以 ；
（2）由题可得： ，则 ．
令 ，在 中由正弦定理得：
，
所以， ，
所以， ．
又因为 ，
所以， ，
所以， ．
即： ．
12．请在①向量 ， ，且 ；②
这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_________．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) (2)(2√3,2+√3]
【分析】（1）若选①由向量共线的坐标表示得到 ，再由正弦定
理将边化角，利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得 ，再利用三角形面积公式及
和差角的正弦化简，借助三角函数性质求出范围.
【详解】（1）若选①向量 ， ，且 ，
则 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ；
若选② ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理 ，又 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，又 ，由正弦定理 ，
所以 ， ，
所以 的面积
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
由 为锐角三角形，而 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，
所以 面积的取值范围是(2√3,2+√3].
13．已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 ，
，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值；
(3)若 ，求 的周长的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）依题意可得 ，根据数量积的坐标表示得到 ，再
由正弦定理将边化角，即可得解；
（2）由余弦定理及基本不等式求出 的最大值，再由面积公式计算可得；
（3）结合（2）的结论求出 的范围，即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，且 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，又B∈(0,π)，所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ， ，
由余弦定理 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 的面积的最大值为 ；
（3）由（2）可知 ，
则 ，又 ，
所以 ，即 ，显然 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 的周长的取值范围为 .
14．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；
（2）由正弦定理得 ， ，代入三角形面积公式化简得
，结合角 的范围求出答案.
【详解】（1）由正弦定理得， ，
所以 ，
即 ，
化简得： ，即 ，
又 ，所以 .
（2）由正弦定理得： ，
所以 ， ，
所以
，因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
15．已知 中，角 的对边分别为 ， .
(1) 是边 上的中线， ，且 ，求 的长度.
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）由正弦定理求出 ，对 两边平方求出 中，再由余弦定理
可得答案；
（2） ，根据 为锐角三角形求出 的范围，再由 的
范围可得答案.
【详解】（1） ，
由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，解得 ，
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以 ，
，
又因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得：
，
所以 ，即 ；
（2）由题设
，
因为 为锐角三角形，所以
，从而 ，
可得 ，所以 ，
则面积的取值范围是 .
16．如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域 为书籍摆放区，沿
着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域 为阅读区，
， m.
(1)求两区域边界 的长度；
(2)区域 为锐角三角形.①若 ，求 面积的最大值；
②若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) .(2)① ；②
【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可；
（2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将 表示出
来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）（1）在 中, ,
所以 ，
因为 ,
所以
即 是直角三角形,
所以
（2）①在 中, 由余弦定理知,
所以
即 ，当且仅当 时，等号成立,
所以 面积
故 面积的最大值为 .
②在 中, 由正弦定理知
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以
因为 为锐角三角形,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 面积
故 面积的取值范围为
17．已知 ， ， 分别为 三个内角A， ， 的对边， ．
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得 ，利用三角恒等变换分析可得 ，即可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理可得 ， ，利用正弦定理边化角，结合正弦
函数可得 ，即可得结果.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
代入整理得 ，
且 ，则 ，
可得 ，整理得 ，
由B∈(0,π)可知 ，则 ，解得 ，
可知 ，所以 ．
（2）因为 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ， ，
则 ，
可得
，
因为 为锐角三角形，则 ，解得 ，
则 ，可得 ，
则 ，可知 ，
所以 ．
18．从① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个
条件分别作答，按第一个解答计分．
(1)求角C的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围；
(3)若 ， 的内心为I，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求角 ，选②，由正弦定理化
边为角，结合三角恒等变换求角 ；（2）由条件，结合三角形面积公式可得 ，根据正弦定理可得 ，结合内
角和关系可得 ，结合条件确定 的范围，由此求结论；
（2）先求出 ，在 中，通过设 ，利用正弦定理求出三边得出三角形周
长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围.
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ，
则由余弦定理可得， ，又 ，
所以 ．
选择条件②， ，
于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，则 ，
即 ，
因为 ，因此 ，
即 ，又 ，
所以 ．
（2）由三角形面积公式可得，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！的面积 ，又 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
所以 的面积的取值范围为 .
（3）如图，由（1）知， ，有 ，
因为 的内心为 ，所以 ，于是 ．
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ， ，所以 的周长为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 .
19．记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得 ，结合 为锐角三角形，
求得 ，进而求得 ，即可求解.
【详解】（1）方法一：由余弦定理，得 ，解得 .
又 ，所以由正弦定理，得 .
又 为锐角三角形，所以 .
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！方法二：由题意知， .
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .
（2）由正弦定理，得
；
因为 为锐角三角形，所以 ，
解得 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
故 面积的取值范围为 .
20． 的内角 的对边分别为 已知 .
(1)若 的周长等于3，求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ；
①求 ；
②求 面积的取值范围.
【答案】(1) (2)① ；②【分析】（1）利用余弦定理求出 的关系，再结合三角形的周长即可得解；
（2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角 的范围，再
利用正弦定理求出边 ，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）由余弦定理及已知条件得， ，
又因为 的周长等于3，
所以 ，得 。
联立方程组 ，
解得 ；
（2）①根据题意 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
②因为 是锐角三角形，
由①知 得到 ，
故 ，解得 ，
由正弦定理 ，得 ，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，所以 ，
所以
，
又因 ，
故 ，
所以 ，
故 的取值范围是 .
题型三： 三角形周长的最值
21．在 中，内角 所对的边分别为 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最小值.
【答案】(1) (2)6
【分析】（1）根据正弦定理以及三角形内角之间的关系，利用三角恒等变换计算可得
；
（2）由三角形面积公式和基本不等式计算可得结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ；即 ，
所以 ；
所以
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ，即可得 ．
由余弦定理得 ，
所以 ．
所以当且仅当 时，等号成立，
此时 的周长最小，且最小值为6．
22．如图，在 中， ．
(1)求 的长；
(2)已知点D在平面 内，且 ，求四边形 的周长的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理解方程可得；
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）由 已知，问题转化为求 的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角
互补求出 ， 再在 中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值.
【详解】（1）在 中， ，
由余弦定理得， ，即 ，
化简得 ，解得 （舍），或 ，
故 的长为 ；
（2）已知点D在平面 内，且 ，
则 四点共圆， ，
则 ，
在 中，由余弦定理得， ，
则 ，
， ，
解得 ，当且仅当 时等号成立.
即 的最大值为 ，
又 ，故四边形周长的最大值为 .
23．在① ，② ，③ ，这三个
条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.
(1)求角B；
(2)若 ，求 周长的最小值.
【答案】(1) .(2)6【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；
（2）由余弦定理可得 ，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小
值，再利用面积公式求出面积
【详解】（1）选① ，
由正弦定理可得 ，即得 ，
即有 ，由于 ，可得 ，即 .
选② ，
由正弦定理可得 ，
因为 ， ，所以 ，即 .
由于 ，可得 .
选③ ，
由正弦定理和诱导公式可得 ，即为 ，
由余弦定理可得 . 由于 ，可得 .
（2）由（1）知 ，由余弦定理可得 ，
即为 ，而 ，即 .
若 ，则 ，可得 （当且仅当 时取得等号），
则 ，所以 周长的最小值为6.
24．已知 中，角 所对的边分别是 ，其中， ．
(1)求 的外接圆半径；
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)求 周长的最大值．
【答案】(1)3(2) ．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用基本不等式及三角形的周长公式即可求解.
【详解】（1）依题意， 解得 ，
故 的外接圆半径 ．
（2）由（1）知， ，
由余弦定理， ，
因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
所以 周长的最大值为 ．
25．在 中， 为角 对应的边， 为 的面积.且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径的最大值.【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据 ，可得 ，再根据余弦定理将 用 表
示，再化简，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）设 内切圆的半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
当且仅当 时取等号，
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
即 内切圆半径的最大值为 .
26．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_______.从条件①、条件
②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
条件①： ；条件②： .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）若选①，由正弦定理得 ，再利用余弦定理即可求解；若选②，
由正弦定理得 ，再结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）由三角形的面积公式得 ，再在 中由余弦定理，结合基本不等式求解即
可.
【详解】（1）若选①：由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
若选②：由正弦定理得 ，
所以 ，
即 ，
又 ，有 ，所以 ，
由 ，得 ；（2） ，又 ，
所以 ，
在 中由余弦定理
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
27．在锐角 中，已知 ．
(1)求 ；
(2)求 周长的最大值．
【答案】(1) (2)6
【分析】（1）根据二倍角公式及已知条件直接求解即可.
（2）解法一：利用正弦定理将周长表示为某一个角的三角函数形式，再利用三角函数的有
界性进而求解；解法二：利用余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为△ 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
（2）解法一：由正弦定理可得 ，
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以
=
，
在锐角△ 中，因为
解得 ，即
所以当 ，即 时， 取最大值，
此时 .
解法二：由余弦定理可得 ，．
代入得 ，即 ，
因为 ,所以 ，
即 ，解得 ,
当且仅当 时等号成立，
所以 .
28．在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)点 是 上的一点， ，且 ，求 周长的最小值.【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B;
（2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可.
【详解】（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得 ，而
，
故 ，
则 ；
（2）设 ，设 ，则 ，
在 中， ，即
在 中， ，即
周长 .
令 ，则
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！.
即周长最小值为 .
29．定义函数 的“源向量”为 ，非零向量
的“伴随函数”为 ，其中 为坐标原点.
(1)若向量 的“伴随函数”为 ，求向量 ；
(2)在 中，角 的对边分别为 ，若函数 的“源向量”为
，且已知 ， ；
（ⅰ）求 周长的最大值；
（ⅱ）求 的最大值.
【答案】(1) (2)(i) (ii)
【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”概念将 化为
形式求解即可.
（2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可
（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可
【详解】（1）因为
所以
（2）（ⅰ）由于函数ℎ(x)的“源向量为 ，所以
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以
在 中， ，由余弦定理得：
即
又由基本不等式得：
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，
所以周长的最大值为
（ⅱ） ，
又 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 的最大值为 .
30．在 中， .
(1)求 ；
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理 ，
， .
（2）因为 ，
即 ，
，当且仅当 时取等号，
，即 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
周长 ，
即 周长的最大值为
题型四：三角形周长的取值范围
31．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2)【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简已知等式可得 ，即可求得答案；
（2）利用正弦定理可得三角形周长的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ,
则 ，
则 ，而 ，
故 ，即 ，
故 ，而 ， ，
故 ；
（2）由 ，结合正弦定理得 ，
则 ，
故
，
而 ，故 ，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故 的范围为 ，
即 周长的取值范围为 .
32．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ， ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）先用正弦定理边化角，再由两角和正弦公式即可进一步求出角B.
（2）先由 确定角B，然后用正弦定理边化角得 ，再利用
和三角恒等变换公式化为一角一函数，接着利用三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）由正弦定理和 得：
，
故 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 或 .
（2）若 ，则 ,
所以由（1） ，又 ，
所以由正弦定理 得 ，
所以，
又由上 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 周长的取值范围为(2,3).
33．在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边 及角 得
， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得.
【详解】（1）由正弦定理，得 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，则 ，
，则 ；
（2）由（1）及正弦定理可知， ，
，
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的周长l的取值范围为 ．
34．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B；
(2)若 为锐角三角形， ，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角
恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ．
因为D是线段AC的中点，所以 ，
所以 ，由正弦定理得 ，所以 ， ，
所以
,
又 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ，
即 ，则 ，所以 ，
即 ，则BD的长的取值范围是 ．
35．锐角 中角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将 化为正
弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理 可得 ，又 ，则 ；
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）由 ，则 、 ，
则
，
由 为锐角三角形，可得 ，解得 ，
则 ，则 ，
故 .
36．在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且 ．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 ，得 ，
再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得 的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出 ，再根据 的关系结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ，而 ，所以 或 ，
所以 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，
，
则 ，
又由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
37．已知 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足 .请
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！回答下列问题:
(1)证明: 为等腰三角形;
(2)若 的外接圆直径为1，试求 周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理可得 ，因此可证得该三角形为等腰三角形；
（2）由（1）可得角 的范围，由正弦定理可得 ， ， 的表达式，进而求出周长的表达
式，利用导数求周长的取值范围．
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，
在三角形中， ，
所以 ，又因为 均为三角形的内角，即 ，
即证得 为等腰三角形；
（2）由（1）可得 ，
由正弦定理可得 ，而 ，
所 ， ， ，
所以 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在定义域内单调递增，
当 时， ， 在定义域内单调递减．
所以 ，
， ，所以 ．所以， 周长的取值范围是 ．
38．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ．
(1)求内角 的大小；
(2)角 的平分线 与边 交于点 ， ，若 ，求边 的值；
(3)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1) ；(2)3；(3) .
【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即可求出角 的大小.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求出 ，再由余弦定理求解即得.
（3）利用正弦定理将 表示为 的函数，再利用三角变换求出 即得.
【详解】（1）在 中，由 ，得 ，
即 ，整理得 ，
又 ，因此 ，而 ，所以 .
（2）由角 的平分线 与边 交于点 ，得 ，
显然 ，即 ，又 ，
整理得 ，在而 ，解得 ， ，
由余弦定理得 ，
所以 .
（3）由（1）知 ，则 ，
由正弦定理得 ，得 ，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则
，
由 ，得 ， ，
则 ，即 ， ，
所以 的周长的取值范围是 .
39．已知 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， 为 的中点，求中线 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可；
（2）由向量数量积的运算律可得 ，再利用余弦定理和正弦定理化简
，结合锐角三角形条件即可求解.
【详解】（1）因为 是锐角三角形 的三个内角，所以 ， ，
根据正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，则
，
整理得 ，即 ，又 ，所以 ，即 .
（2）因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，所以
，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以中线 的取值范围是 .
40．如图，已知 是边长为 的正三角形，点 在边 上，且 ，点 为线
段 上一点.
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 的最小值；
(3)求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算，即可求解；
（2）首先用基底向量 表示向量 和 ，再结合数量积的运算律表示为函数求最
值问题，即可求解；
（3）首先在△QPC中，设 ， ， ，再根据正弦定理，利用
三角函数表示 的周长，结合三角函数恒等变换以及函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意 ，即 ，故 ，因为
为线段 上一点，
设 ，
又 ， ，
即 ，又 不共线，所以 ，解得 ，所以 ；
（2）因为 ，
由（1）知 ， ，
，
所以
，
设 ，
当 时， ，
所以 的最小值为 ；
（3）在 中， ， ，
在 中，设 ， ， ，
在 中， ，即， ， ， ，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在 中， ，即 ，
，
所以 的周长 ．
代入上式得： ．
令 ．
，而 ．
在 中， ， ， ， ，
， ，即 ，
又 ．
，设 ，则 ，
即 ， ，得 ，即 ，
，设 ，则 ，
即 ， ，得 ，即 ，，
，
所以 ，
因此 的周长的取值范围是 ．
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求B；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）运用正弦定理即可求出B；
（2）先求出b，在运用余弦定理和基本不等式即可.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ．所以 ；
（2）因为 外接圆的周长为 ，所以 外接圆的直径为 ，
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由正弦定理得 ，则 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，所以 ，则 ．
故 周长的取值范围为 ；
综上， ， 周长的取值范围为 .
2．如图，在平面四边形 中，
(1)若 与 交于点 ，且 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据余弦定理可得 ，即可利用等面积法求解 ,进而由勾股定理即
可求解，
（2）由基本不等式即可求解.
【详解】（1） 中,由余弦定理得 ,
所以
因为 ， ，所以由 可知, ,
所以
（2）因为 ,所以 ,
,故 ，
当且仅当 时等号成立，故周长的最大值为
3．如图，在 中， ， ， ，P为 内一点，
．
(1)若 ，求PA；
(2)（i）若 ，求 ．
（ii）求 的取值范围．
【答案】(1) (2)（i） ,（ii）
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】（1）在 中运用余弦定理可解；
（2）（i）设 ，由已知得 ，在 中，由正弦定理可解.（ii）设
，则 ,运用锐角三角函数将 转化为关于 的正弦型函数，求
值域即可.
【详解】（1）由已知易得 ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，故 .
（2）（i）设 ，由已知得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
化简得 ，所以 ，即 .
（ii）设 ，则 .
根据题意知道 .
则 .
由于 ，则 .则 .
则 .则 的取值范围 .
4．在① ；② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的横
线上，并加以解答，在 ，角 的对边分别是 ，边长 ， 为 的
面积，若______（填条件序号）
(1)求角 的大小；
(2)若 为 内一点且 ，求 长度最大值；
(3)若 为锐角三角形，求 的内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)选择见解析， (2) (3)
【分析】（1）选①，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理即可得出答案；选②，利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式求得 ，即可得出答案；
（2）根据条件得到 是 的重心，利用向量的中线公式及余弦定理得到 ，
即可求解；
（3）利用面积公式得到 ，利用（2）中结果 ，得到 ，
再利用正弦定求出 的取值范围，即可求解.
【详解】（1）选①，因为 ，
所以 ，即 ，得到 ，
所以 ，又 ，
所以 .
选②，因为 ，所以 ，得到 ，
则 ，所以 ，
由 ，则 ，
所以 ，所以 .
（2）如图，设 是 中点，因为 ，所以 ，
则 三点共线，即 在 的中线上，同理可得 在 的中线上，所以 是
的重心，
又 ，得到
，
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理得， ，所以 ，得到 ，当且仅当
时取等号，
所以 ，得到 ，
所以 ，即 长度最大值为 .
（3）设 的内切圆半径 ，
因为 ，得到 ，
由（2）知 ，得到 ，所以 ，
由正弦定理知 ，又 ，
所以
，
又 为锐角三角形，所以 ，得到 ，所以 ，
所以 ，得到 ，即 ，
所以 的内切圆半径的取值范围为 .
5．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．(1)若 ， ， 成等差数列，求 的面积；
(2)若 ， ， 成等比数列，求当 取得最大值时， 的周长．
【答案】(1) (2)3
【分析】（1）由正弦定理边化角得 ，由 ， ， 成等差数列求出 ，然后由
三角形的面积公式求解即可；
（2）由 ， ， 成等比数列，得 ，然后由余弦定理结合重要不等式求解当 取得最
大值时， ，求解周长即可.
【详解】（1）由 及正弦定理，
得 ，
则 ，解得 ．
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
则 ，所以 ．
故 的面积 ．
（2）因为 ， ， 成等比数列，所以 ，结合（1）有 ．
由余弦定理可知 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 ，故 的周长为3．
6．已知 、 、 分别为 内角 的对边，已知 且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的值；
(3)求 周长的取值范围．
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】(1) (2)2(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解；
（2）由面积公式得 ，再根据余弦定理求 的值；
（3）根据 ， ，将周长化为三角函数求最值．
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得
，
所以 ，
，则 ，所以 ，即 ，
，则 ，故 ，因此， ．
（2）由三角形的面积公式可得 ，
，由余弦定理可得：
，
即
因此 ．
（3）由正弦定理可得 ，
故 ，
所以 ，
所以
，
，所以 ，则 ，所以 ，所以，
因此， 的周长的取值范围是 ．
7．如图，在平面四边形 中， ， ， ， .
(1)证明： ；
(2)求 面积的最大值；
(3)设 为线段 的中点，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）在 中，利用正弦定理求出 的值，进而可求出 的值，即可证
得结论成立；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，再结合三角形的面积公式可求
得 面积的最大值；
（3）设 ，利用正弦定理可得出 ， ，
再利用余弦定理可得出 ，结合余弦型函数的基本性质可得出 的取值范
围.
【详解】（1）解：由题知，在 中，由正弦定理得
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）解：在 中， ，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由余弦定理知： ，
所以 ，所以 ，
解得 ，等号当仅当 时取等号，
所以， .
（3）解：在 中，设 ，则 ，则 ，
由正弦定理知： ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理知 ，
所以
，
所以 ，等号当仅当 时，即当 时取等号，所以 的最大值等于 .
8．在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）对等式两边同时乘以 可得 ，正弦定理结合两角
和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出 ，表示出 面积结合三角函数的性质即可得
出答案．
【详解】（1）由已知条件得 ，
由正弦定理得 ，
即 ．
因为在 中， ，
所以 ．
又 是锐角，所以 ．
（2）由正弦定理得 ，
则 ，
所以
．
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
所以 面积的取值范围为 ．
9．已知在 ，角 所对的边分别是 ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角得到 ，知值由范围求角即可；
（2）由（1） ，已知 ，由一组对边角已知可得 ，借助这一常数利用正弦定理
化边为角，再由三角恒等变换化简面积表达式求解最值.
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理可得 ，
整理可得 ，又 ，所以 ．
（2）因为 ，所以由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以又因为 ，可得 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立），
可得 ，
由 ， ,
即 面积的取值范围是 ．
10．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角之间互化，再根据三角恒等变化化简求值；
（2）利用三角形面积公式得到 ，从而利用基本不等式求得 ，由此可
得 面积的最小值.
【详解】（1）由正弦定理可得， ,
所以 ，即 ，
因为 是 的内角，所以 ，
74
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！得 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ， 平分 ，所以 ，又 ，
则由 ，得 ，
所以 ，
又 ，则 ，得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
故 最小值为 .
