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第 02 讲 平行四边形的判定(6 类热点题型讲练)
1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点)
知识点01 平行四边形的判定定理
【知识点】
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且
AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的.
题型01 判断能否构成平行四边形
【例题】（23-24八年级下·广东珠海·阶段练习）如图，四边形 中，对角线 、 相交于点 ，
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，下列四个
选项中不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·河北石家庄·一模）如图， 已知线段 和射线 ， 且 ， 在射线 上找一点
C， 使得四边形 是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （ ）
A．过点D作 与 交于点C
B．在 下方 作 与 交于点C， 使
C．在 上截取 ， 使 ， 连接
D．以点D为圆心， 长为半径画弧，与 交于点C，连接
题型02 添一个条件成为平行四边形
【例题】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在四边形 中， ，请添加一个条件： ，使四边形 成为平行四边形．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形 中， ，请再添加一个条件，使四边
形 是平行四边形．添加的条件是 ．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形 中， 是边 上一点，连
接 并延长，与 的延长线相交于点 ．请你再添加一个条件： ，使四边形 是平行四边形
（写出一种情况即可）．
题型03 证明四边形是平行四边形
【例题】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在 中，E、F为对角线 上两点，
．求证：四边形 是平行四边形．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形 对角线交于点O，且O为 中点，
， ，求证：四边形 是平行四边形．2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ， 分别交 ，
于点 ， ．求证：四边形 是平行四边形．
题型04 利用平行四边形的判定和性质求解
【例题】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，点E在
上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， 平分 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在 中， ， 于点D，延长 到点E，使
，过点E作 交 的延长线于点F，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，直接写出 的长．
2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将 的 边延长至点 ，使 ，连
接 ， 是 边的中点，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
题型05 利用平行四边形的判定和性质证明
【例题】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，
F在同一直线上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．【变式训练】
1．（2024·广东江门·一模）如图， ，E、F分别是边 上一点，且 ，直线 分别
交 延长线、 延长线于O、H、G．
(1)求证： ．
(2)分别连接 ，试判断 与 的关系，并证明．
2．（2024·贵州·一模）如图， 中， ，点 是 边上一点，且 ，点 是
延长线上一点，且 ，点 在 上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求四边形 的周长；
(3)过点 作 交 于点 ，判断 和 的大小关系并说明理由．
题型06 平行四边形的判定和性质的应用
【例题】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边 中， 、 两点分别在边 、上， ，以 为边作等边 ，连接 ， ， ．
问题探究：
(1)求证： 为等边三角形；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)若 ，求四边形 的面积．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，在 中， ， 为 边上一点（ ），过
点 ， 分别作射线 的垂线，垂足分别为点 ， ．点 在 的延长线上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， 的周长为24，求 的长．
2．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在 中， 于点 ．
(1)尺规作图：作线段 ，使 交 于点 ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接 ， ，求证：四边形 是平行四边形；
(3)连接 ，若 ， ， ，则 ______．3．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图： 是边长为6的等边三角形，P是 边上一动点．由点
A向点C运动（P与点 不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向 延长线方向运动（点Q
不与点B重合），过点P作 于点E，连接 交 于点D．
(1)若设 的长为x，则 ， ．
(2)当 时，求 的长；
(3)过点Q作 交 延长线于点F，则 有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点 在运动过程中，线段 的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段 的长；如果变化，请
说明理由．
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ，分别以点A，C为圆心， 长为半径
画弧，两弧在直线 上方交于点D，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形 中， ， ，E、F是对角线上的两点，如果再添加一个条件，使 ，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，点 是 内的一点，过点 作直线 、
分别平行于 、 ，与 的边分别交于 、 、 、 ．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
4．（2023·贵州铜仁·三模）如图，平行四边形 中以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于
，分别以点 为圆心大于 长为半作弧，两弧交于点 ，作 交 于点 ，连接 ，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中 是 的
中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的
速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为（ ）秒
时，以点 为顶点的四边形是平行四边形
A．1 B． C．1或 D． 或2
二、填空题6．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在 中，A、C分别为边 、 上的点，请在目
前图形中添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
7．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知一副直角三角板如图放置，点C在ED的延长线上，
， ， ， ，若 ，则DC的长为 ．
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ．则四边形 的面积是 ．
9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，连接 ，过点A作 交 的延
长线于点E，过点E作 交 的延长线于点F，若 ，则 ．
10．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ，点E为 的
中点，点F为边 上的一个动点，将三角形沿 折叠，点A的对应点为 ，当以E，F， ，C为顶点
的四边形是平行四边形时，线段 的长为 ．三、解答题
11．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 相交于点 ，点 ， 分别为 ，
的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 的面积为 ，直接写出四边形 的面积．
12．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图： ， 和 均为直线 同侧的等边三角
形，点P在 内．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 中， ， ， ，求四边形 的面积．
13．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ，
分别交 ， 于点 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
14．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在 中，点 为 中点，延长 相交于点
，连结 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)连结 ，若 ，求 的长度．
15．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形 中， ，F为 上一点， 与
交于点E， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
16．（2024九年级下·浙江·专题练习）在 中， ， 是斜边 上的一点，作
，垂足为 ，延长 到 ，连接 ，使 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)连接 ，若 平分 ， ， ，求四边形 的面积．
17．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形 中， ，E为 中点，延长
到点F，使 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)若 ， ， ，求四边形 的面积．
18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，四边形 为平行四边形，点P是 边上
一点，连接 、 ，且 和 分别平分 和 ．(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，如果 ，求 的周长．
(3)如图3，点E、F在线段 上，连接 、 ，若 ，求 的长
度．
