文档内容
绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 02（北京专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：如第9题，第10题新文化题与立体几何和数列相结合，体现新动向
高考·新考法：如第21题考查数列新定义，提升学子的理解和变通能力
高考·新情境：如第14题，18题涉足生活情境，借助实际生活考查函数及统计与概率
命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了北京高考教考衔接的理念和特点。测
试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基
础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，又 ，所以 ，
故选：A．
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】复数 对应的点的坐标是 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D．
3．已知单位向量 和 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：B
4．下列函数中，是偶函数且在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因 ，则函数 为偶函数，
且 显然 在(0,+∞)上先减后增，故A错误；
对于B，因 ，则函数 为偶函数，且 ，
显然函数 在(0,+∞)上为增函数，故B错误；
2 / 22对于C，函数 的定义域为(0,+∞)，故 是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，因 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，即函数 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减,即D正确.
故选：D.
5．在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C．16 D．144
【答案】C
【详解】 ，其展开式通项公式为 ， ，
所以所求 项的系数为 ，
故选： C．
6．已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若 ，则 的面积
为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为抛物线 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
所以 ，故 ，
不妨设 在第一象限，故 ，
所以 .故选：C.
7．已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
、 ，则 ，所以， ，
所以， ，故 .
故选：C.
8．已知直线 与圆 ，则“ ，直线 与圆 有公共点”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】易知圆 的圆心为 ，半径为 ，
当 ，直线 与圆 有公共点时， 恒成立，即 恒成立，
则 且 ，解得 ，即 或 （舍去）
所以“ ，直线 与圆 有公共点”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先
河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是 ，内口长 ，宽 ，高
（忽略壁的厚度，取圆周率 ），若手柄的底面半径为 ，体积为 ，则铜方升的容积
约为（小数点后保留一位有效数字）（ ）
4 / 22A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意手柄的底面半径为 ，体积为 ，则手柄的底面积为 ，
所以手柄的长度为 ，
所以长方体的内口长 ，
所以升体的容积为 ，
即铜方升的容积约为 .
故选：A
10． 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项和，则下列说法正
确的是（ ）
A．对任意 ， ，如果 ，那么
B．存在 ， ，满足 ，且
C．对任意 ， ，如果 ，那么
D．存在 ， ，满足 ，且
【答案】C
【详解】对于A： 是首项为 ，公差为 ，则满足 ，
但不满足 ，故A错误；
对于B：若 ，则可得 或 或 或 ，
不妨取 ，由等差数列的前 项和公式可得 ，
所以 ，故B错误；对于C：若 ，则 或 或 或 ，
显然公比 ，由等比数列前 项和公式可得 ，
故 ，所以 必为偶数，可得 ，所以 ，故C正确；
对于D： ，则等比数列 的公比为 ，则 ，故 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】考查等比数列，等差数列的 项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建,
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，若 ，则 .
【答案】 或
【详解】因为 且 ，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案为： 或
12．已知双曲线 ，则 的离心率为 ；以 的一个焦点为圆心，且与双曲线 的渐
近线相切的圆的方程为 .（写出一个即可）
【答案】 或（ ）
【详解】 的离心率为 ，又渐近线为 ，即 ，
6 / 22故焦点 与 到 的距离均为 ，
则以 的一个焦点为圆心，且与双曲线 的渐近线相切的圆的方程为 或 ，
故答案为： ； 或（ ）
13．已知 ， ，若对任意实数x都有 恒成立，则满足条件的一组有
序数对 为 .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】 ，若对任意实数x都有 恒成立，
则 ，或 ，
由 ，得 ，
因为 ，令 ，得 ，
由 ，得 ，
因为 ，令 ，得 ，
所以满足条件的一组有序数对 为 或 .
故答案为： （答案不唯一）
14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 商品获利8元．现计划在“五一”期间对 商品进行广告促销，假设售出 商品的件数 （单位：万件）与广告费用 （单位：万元）符合函数模型 ．
若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 应投入 万元．
【答案】
【详解】设李明获得的利润为 万元，则 ，
则
，
当且仅当 ，因为 ，即当 时，等号成立.
故答案为： .
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
【答案】①③
【详解】函数 ，定义域 .
由于 知其为偶函数.
8 / 22， 令 ， 与 同正负.
.
对于①，当 ， ，则 单调递增，
则 ，故存在 ， ，
即存在 ，使得 .故①正确.
对于②，与①同理，当 ， ，则 单调递减，
则 ，故 ， ，即 ， 单调递减.
任意 ， ，故②错误.
对于③，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑 即可.
令 ，则 ，即 在 上单调递减，
故 ，即 ，故 ，
故存在常数 ，使得 ，故③正确.
对于④，将 代入 ，得 ，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要
考虑 即可.
由①②知， ，单调递减， ，单调递减， ，单调递增.一直往复下去. 图象如下.
则 与 不能有无数个交点，即 与 不能有无穷多个公共点.故④错误.
综上所得，只有①③正确.
故答案为：①③.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）如图所示，在四棱锥 中， ， ， ．
(1)若 平面 ，证明： 平面 ；
(2)若 底面 ， ，二面角 的正弦值为 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）∵ 底面 ， 底面 ，
∴ ， ，又 ，
以点 为原点，以 所在的直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系如图
所示：
10 / 22令 ，则 ，
，则 ，
，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵二面角 的正弦值为 ，则余弦值为 ，
又二面角为锐角，∴ ，
解得 ，所以 .17．（14分）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；
条件②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1(2)
【详解】（1）由题意可知：
，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，
因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值3，即 .
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，
12 / 22由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
即 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
14 / 22所以 的取值范围为 .
18．（13分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、
困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计
他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学
“很有帮助”的概率；
(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，
“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为 ，其中年龄在40岁以
下（含40岁）教师得分的平均值记为 ，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为 ，请直接写出
的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)140(2) (3)
【详解】（1）根据表格中数据，完善表格，
可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为 ，
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为 ；
（2）男女比例为 ，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为 ，
女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为 ，
抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，
则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ，
1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ，
故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ；
（3） ， ，
，
因为 ，所以 .
19．（15分）已知椭圆 ， 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 和 ，离心率为
，过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．若直线 垂直于 ，则 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与坐标轴不垂直，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否过定点，并说明理由．
【答案】(1) (2) ，理由见详解.
【详解】（1）由题意可知 ，
因为离心率为 ，
所以 ，
所以 ，故 是正三角形，如图所示：
16 / 22若直线 ，则直线 垂直平分线段 ，
所以 ，
由于 的周长为 ，故 的周长为 ，
由定义可知： ，
所以 的周长为 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以椭圆 的方程： .
（2）由题意可设直线 的方程为 ， ，则 ，如图所示：
可得直线 的方程为： ，
因为 ，
将其代入直线 方程，可得 ，可整理得： ，
联立方程 得 ，
则 ，
所以 ，即 ，
将其代入 式中，可得直线 方程为： ，
可见直线 过定点 ，
所以直线 过定点，坐标为 .
20．（15分）设函数 ．
(1)若m＝－1，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②当 时，求证： .
(2)若函数 在区间 上存在唯一零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)① ；②证明见解析
(2)
【详解】（1）①当 时， ，可得 ，
则 ，
18 / 22可得曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
②令 ，
则 ，
当 时，可得 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
即当 时， .
（2）由函数 ，可得 ，
令 ，
当 时， ，即 在区间(0,1)上单调递增．
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间(0,1)上没有零点，不符合题意；
当 时，函数 的图像开口向上，且对称轴为直线 ，
由 ，解得 ，
当 时， 在区间(0,1)上恒成立，
即 在区间(0,1)上单调递减．
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间(0,1)上没有零点，不符合题意．
综上可得， ，
设 使得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
因为 ，要使得函数 在区间 上存在唯一零点，
则满足 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 ．
21．（15分）给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 ， 表示以 为
首项的递增子列的最大长度， 表示以 为首项的递减子列的最大长度.
(1)若 ， ， ， ， ，求 和 ；
(2)求证： ， ；
(3)求 的最小值.
【答案】(1) ， (2)证明见解析
(3)当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .
【详解】（1）以 为首项的最长递增子列是 ，以 为首项的最长递减子列是 和 .
所以 ， .
（2）对 ，由于 是 的一个排列，故 .
若 ，则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，
得到一个以 为首项的更长的递增子列，所以 ；
而每个以 为首项的递减子列都不包含 ，且 ，
20 / 22故可将 替换为 ，得到一个长度相同的递减子列，所以 .
这意味着 ；
若 ，同理有 ， ，故 .
总之有 ，从而 和 不能同时为零，
故 .
（3）根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零，故 .
情况一：当 为偶数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
故此时 .
结合以上两方面，知 的最小值是 .
情况二：当 为奇数时，设 ，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .故此时 .
结合以上两方面，知 的最小值是 .
综上，当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .
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