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专题 6.6 构造中位线、辅助线
1．如图，在 中，已知 ， ， 平分 ， 于点 ，
为 中点，连接 ，则 的长是
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【解答】解：延长 交 于 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，
故选： ．2．如图．在 中， ， ， 是边 的中点， 是边 上一点．
若 平分 的周长，则 的长为
A．1 B． C． D．
【解答】解：延长 至 ，使 ，连接 ，作 于 ，
平分 的周长，
，又 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
故选： ．3．如图，四边形 中， ， ， 、 分别是 、 的中点，则线段
的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
、 分别是 、 的中点，
，
同理可得， ，
在 中， ，即 ，
当点 在 上时， ，
，
故选： ．4．如图，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ，
上的动点（含端点，但点 不与点 重合），点 ， 分别是线段 ， 的中点，
则线段 长度的最大值为
A．2 B． C．1 D．
【解答】解： 点 ， 分别是线段 ， 的中点，
， ，
，
最大时， 最大，
与 重合时 最大，
此时 ，
的最大值为1．
故选： ．
5．如图，已知四边形 中， 是 边上的一个动点， 是 边上的一个定点， ，
分别是 ， 的中点，当点 在 上从 向 逐渐移动时，下列结论成立的是A．线段 的长逐渐增大 B．线段 的长逐渐减少
C．线段 的长保持不变 D．线段 的长先增大后减小
【解答】解：连接 ，
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
是 边上的一个定点，
的长是不变的，
当点 在 上从 向 逐渐移动时，线段 的长保持不变，
故选： ．
6．如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ， 分别是 ，
的中点，若 ，则 的长是
A．2 B． C． D．
【解答】解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 ，， 分别是 ， 的中点，
， ，
同理： ， ， ， ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
平行四边形 为菱形，
， ， ，
，
菱形 为正方形，
，
故选： ．
7．如图， 是 的中线， 是 的中点， 是 延长线与 的交点，若
，则
A． B． C．1 D．
【解答】解：取 的中点 ，连接 ，
， ，， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
8．如图，在 中， ， ， ， 分别是角平分线和中线，过点 作
于点 ，连接 ，则线段 的长为
A．1 B．2 C．4 D．
【解答】解：延长 交 于 ，
为 的角平分线， ，
是等腰三角形，
， ，，
为 的中线，
是 的中位线，
，
故选： ．
9．如图， 中， ， 为 的外角平分线，且 于点 ， 为
的中点，若 ，则 的长为
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：延长 、 交于点 ，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
故选： ．10．如图， 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作
于 ，连接 ，则线段 的长为
A． B．2 C． D．3
【解答】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，交 的延长线于 ，
，
， ，
在 和 中，，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
又 ，
，
方法二、延长 交 于 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，， ，
，
故选： ．
11．如图，四边形 中， ， 分别是边 ， 的中点，则 ， 和 的关
系是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
， 分别是边 ， 的中点，
， 分别是 和 的中位线，
， ，
在 中，由三角形三边关系得 ，即 ，
，
当 时，点 、 、 在同一条直线上，
，
所以四边形 中， ， 分别是边 ， 的中点，则 ， 和 的关系是
．
故选： ．
12．如图，在 中，点 是 边上的中点， 平分 ， 于点 ，若， ，则 的长为
A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，延长 交 于 ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 是 的边 的中点，
是 的中位线，
，
，即 ．
．
故选： ．
13．如图， 中， ， ， 和 分别是 的一条角平分线和中线，
过点 作 于点 ，连接 ，则线段 的长为A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
【解答】解：延长 交 于 ，
为 的角平分线， ，
是等腰三角形，
，
，
， ，
为 的中线，
是 的中位线，
，
，
．
．
故选： ．
二．解答题（共7小题）
14．已知：如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ， 、
分别是 、 的中点， 分别交 、 于点 、 ．求证： ．
【解答】解：取 边的中点 ，连接 ， ，
、 分别是 、 的中点，
， ，同理： ， ，
，
，
，
同理， ，
．
15．如图， 是 的中线， 是 的中点， 是 延长线与 的交点，求证：
．
【解答】证明：如图，过 作 ，则 ，
是 的中线，
为 中点，
为 中点，
，
为 中点，
，
在 和 中，，
，
，
．
16．如图，已知四边形 的对角线 与 相交于点 ，且 ， 、 分别
是 、 的中点， 分别交 、 于点 、 ．你能说出 与 的大小关
系并加以证明吗？
【解答】解：相等．理由如下：
取 的中点 ，连接 ， ，
、 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
，
同理可得， ，
，
．
，
又 ， ，，
．
17．如图，在四边形 中， 、 分别是 、 的中点，连接 并延长，分别交
的延长线于点 、 ， ，求证： ．
【解答】证明：连接 ，取 的中点 ，连接 、 ．
点 、 分别为 、 的中点，
为 的中位线，
；同理可证： ；
为 的中位线，
，
；同理可证： ；
，
，
，
．
18．如图，在 中， 是角平分线， 是中线， 于点 ．若 ，
，试判断 、 之间的位置关系，并求 的长．【解答】解：延长 交 于 ，如图所示：
是 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
则 ．
又 是 的中线，
，
是 的中位线，
．
19．如图，已知 中， 是高， 平分 ， 于 ， ．求
证： ．
【解答】证明：延长 交 于 ，，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．在 中，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】解：（1）延长 交 于 ，
平分 ， 于点 ，
， ，
在 和 中，，
．
，
点 是 的中点，
，
是 的中位线．
；
（2） ，
，
是 的中位线．
，
故 的长为1．
