专题6.4非坐标系的平行四边形存在性问题（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 6.4 非坐标系的平行四边形存在性问题 1．如图所示，在四边形 中， ， ， ，点 从点 向 点 以 的速度运动，点 从点 出发以 的速度在 间往返运动，两个点同 时出发，当点 到达点 时停止（同时点 也停止）． （1）设当 ， 两点同时出发 秒后， 的长为 ，请写出 与 之间的函数关系式； （2）线段 将四边形 截成两个四边形，分别为四边形 和四边形 ， 为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【解答】解：（1） 点 从点 向点 以 的速度运动， 点 到达点 的时间 ， 当 时， ， 当 时， ； （2）当 时，若四边形 是平行四边形，则 ， ， ， 若四边形 是平行四边形，则 ， ，， 当 时，若四边形 是平行四边形，则 ， ， （不合题意舍去）， 若四边形 是平行四边形，则 ， ， ， 综上所述： 的值为 或 或 ． 2．如图，在 中， 是 边的中线， 是 上一点，且满足 ，连接 与 相交于点 ．若 为线段 上一动点，试分析当点 在何位置时，四边形 为平行四边形？ 【解答】解：点 为线段 的中点时，四边形 为平行四边形，理由如下： 是 边的中线， ， 点 为线段 的中点， 是 的中位线， ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形．3．如图，四边形 中， ， ， ，点 自点 向 以 的速度运动，到 点即停止．点 自点 向 以 的速度运动，到 点即停 止，则当 ， 同时出发，设运动时间为 ． （1）当 为何值时，四边形 为平行四边形？ （2）当 为何值时，四边形 为平行四边形？ 【解答】解：（1）根据题意有， ， ， ， ， ， 当 时，四边形 是平行四边形， ， 解得： ， 运动 时，四边形 是平行四边形； （2）由 ， ， ， ，， 当 ，且 时， ，即 ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， 解得： ， 即当 时，四边形 是平行四边形． 4．如图，在四边形 中， ， ，垂足分别为点 ， ． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四边形，你添加 的条件是 ； （2）添加了条件后，证明四边形 为平行四边形． 【解答】解：（1）添加条件为： ， 故答案为： ； （2）证明： ， ， ， ， 四边形 为平行四边形． 5． 中， ， ， ， 为斜边 上一动点，连接 ， 为 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）连接 ，求点 运动至何处时， ？并求此时四边形 的周长．【解答】（1）证明： 为 的中点， ， ， 四边形 为平行四边形； （2）解：点 运动至 的中点时， ，理由如下： 由（1）得：四边形 为平行四边形， ， ， 点 是 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 是 的中点， ， ， 四边形 的周长 ． 6．已知在 中，动点 在 边上，以每秒 的速度从点 向点 运动． （1）如图1，在运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数． （2）在（1）的条件下，若 ，求 的面积． （3）如图2，另一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动， ， 两点同时出发，当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ， 求当运动时间为多少秒时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形．【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2） 四边形 是平行四边形， ， 是等边三角形， 三边上的高相等，且等于 ， ； （3） 四边形 是平行四边形， ， ， 若以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形，则 ， 设运动时间为 秒， ①当 时， ， ， ， 解得： （不合题意舍去）；②当 时， ， ， ， 解得： ； ③当 时， ， ， ， 解得： ； ④当 时， ， ， ， 解得： ； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是 平行四边形． 7．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，按折线 方向以 的速度运动，动点 从点 出发，按折线 方向以 的速度运动． 点 在线段 上，且 ，若 、 两点同时从点 出发，到第一次相遇时停止 运动． （1）求经过几秒钟 、 两点停止运动？ （2）求点 、 、 、 构成平行四边形时， 、 两点运动的时间； （3）设运动时间为 ，用含字母 的代数式表示 的面积 ． 【解答】解：（1） 矩形 中， ， ， 、 两点同时从点 出发，到第一次相遇时共运动了： ， 答：经过6 两点相遇．（2）由题意知，当点 在 边上运动，点 在 边上运动时，点 、 、 、 才 可能组成平行四边形， 设经过 秒，四点可组成平行四边形， ①当构成 时， ， 解得 ； ②当构成 时， ， 解得 ； 答：当点 、 、 、 构成平行四边形时， 、 两点运动的时间为 或 ． （ 3 ） 如 图 （ 1 ） ， 当 时 ， ； 如图（2），当 时， ； 如图（3），当 时， ； 如图（4），当 时， ． 8．如图， 中， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 与 的延长线相交于点 ． （1）若 为 中点，求证： ；（2）若 ， ， ，当点 在线段 上运动时， 的长度是否改变？ 若不变，求 ；若改变，请说明理由； （3）在（2）的条件下， 为直线 上的一点，设 ，若 、 、 、 四点构 成一个平行四边形，请用含 的代数式表示 ． 【解答】（1）证明：如图1中， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ． （2）解：结论： 的长度不变． ． 理由：如图2中，取 的中点 ，连接 ， ．， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． （3）解：如图3中，当点 在线段 上时，作 于 ． 在 中， ， ， ， ， ．当点 在 的延长线上时，同法可得 ， 综上所述， 的长为 或 ． 9．如图，等边 的边长为8，动点 从点 出发，沿 的方向以每秒 3个单位长度的速度运动，动点 从点 出发，沿 的方向以每秒2个单位 长度的速度运动． （1）若动点 、 同时出发，经过几秒第一次相遇？ （2）若动点 、 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在 的 边上是否存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 求此时运动的时间 及点 的具体位置；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 第一次相遇时间 （秒 ； 答：若动点 、 同时出发，经过 秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点 在线段 上，点 在 上时：四边形 为平行四边形， 为等边三角形， 和 是等边三角形， ， ， ， 此时 ； 如图3，当点 在线段 上，点 在 上时： 同理 和 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时 ． 如图4，当点 在线段 上，点 在 上时，同理 和 是等边三角形 ． ． （不合题意，舍去）． 综上所述：运动了 或 时， 、 、 、 四点能够成平行四边形，此时点 在 上，且 或 ． 10．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．动 点 从点 出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 从点 出发， 在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动，点 ， 分别从点 ， 同时出发， 当点 运动到点 时，点 随之停止运动．设运动的时间为 （秒 ． （1）若四边形 为平行四边形，求运动时间 ． （2）当 为何值时，三角形 是以 或 为底边的等腰三角形？【解答】解：（1） 四边形 为平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得 ； （2）如图，过 作 于 ， 当 为顶角时， ， ， ， ， 依据 有： ， 解得 ； 当 为顶角时， ， 由 有： ， 解得 ， 综上， 或 时，符合题意．