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专题 6.4 非坐标系的平行四边形存在性问题
1．如图所示，在四边形 中， ， ， ，点 从点 向
点 以 的速度运动，点 从点 出发以 的速度在 间往返运动，两个点同
时出发，当点 到达点 时停止（同时点 也停止）．
（1）设当 ， 两点同时出发 秒后， 的长为 ，请写出 与 之间的函数关系式；
（2）线段 将四边形 截成两个四边形，分别为四边形 和四边形 ，
为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？2．如图，在 中， 是 边的中线， 是 上一点，且满足 ，连接
与 相交于点 ．若 为线段 上一动点，试分析当点 在何位置时，四边形
为平行四边形？3．如图，四边形 中， ， ， ，点 自点 向 以
的速度运动，到 点即停止．点 自点 向 以 的速度运动，到 点即停
止，则当 ， 同时出发，设运动时间为 ．
（1）当 为何值时，四边形 为平行四边形？
（2）当 为何值时，四边形 为平行四边形？4．如图，在四边形 中， ， ，垂足分别为点 ， ．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四边形，你添加
的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形 为平行四边形．5． 中， ， ， ， 为斜边 上一动点，连接 ，
为 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）连接 ，求点 运动至何处时， ？并求此时四边形 的周长．6．已知在 中，动点 在 边上，以每秒 的速度从点 向点 运动．
（1）如图1，在运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数．
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的面积．
（3）如图2，另一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，
， 两点同时出发，当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ，
求当运动时间为多少秒时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形．7．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，按折线
方向以 的速度运动，动点 从点 出发，按折线 方向以 的速度运动．
点 在线段 上，且 ，若 、 两点同时从点 出发，到第一次相遇时停止
运动．
（1）求经过几秒钟 、 两点停止运动？
（2）求点 、 、 、 构成平行四边形时， 、 两点运动的时间；
（3）设运动时间为 ，用含字母 的代数式表示 的面积 ．8．如图， 中， 为 边上的一个动点（不与 、 重合），过点 作直线
的垂线，垂足为 ， 与 的延长线相交于点 ．
（1）若 为 中点，求证： ；
（2）若 ， ， ，当点 在线段 上运动时， 的长度是否改变？
若不变，求 ；若改变，请说明理由；
（3）在（2）的条件下， 为直线 上的一点，设 ，若 、 、 、 四点构
成一个平行四边形，请用含 的代数式表示 ．9．如图，等边 的边长为8，动点 从点 出发，沿 的方向以每秒
3个单位长度的速度运动，动点 从点 出发，沿 的方向以每秒2个单位
长度的速度运动．
（1）若动点 、 同时出发，经过几秒第一次相遇？
（2）若动点 、 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在 的
边上是否存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求此时运动的时间 及点 的具体位置；若不存在，请说明理由．10．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．动
点 从点 出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 从点 出发，
在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动，点 ， 分别从点 ， 同时出发，
当点 运动到点 时，点 随之停止运动．设运动的时间为 （秒 ．
（1）若四边形 为平行四边形，求运动时间 ．
（2）当 为何值时，三角形 是以 或 为底边的等腰三角形？
