文档内容
2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 11 三角形的中位线
一．选择题
1．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，
则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【思路引导】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝ BC＝6，AF＝FH，再证
△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．
【完整解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，∴DF＝ BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
2．（2021春•红塔区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC、AB的中点，点F是BC延长线上一点，
∠A＝35°，∠AED＝30°，则∠ACF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．85°
【思路引导】由三角形中位线定理得出DE∥BC，再由平行线的性质得∠B＝∠AED＝30°，然后由三角
形的外角性质即可求解．
【完整解答】解：∵D，E分别是AC、AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠AED＝30°，
∴∠ACF＝∠A+∠B＝35°+30°＝65°，
故选：B．
3．（2021春•木兰县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形
AEDF的周长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【思路引导】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得 DE＝
AF＝ AC，DF＝AE＝ AB，再根据四边形的周长的定义计算即可解答．
【完整解答】解：∵在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE＝AF＝ AC＝2，DF＝AE＝ AB＝3，∴四边形AEDF的周长是（2+3）×2＝10．
故选：D．
4．（2021春•南充期末）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF
的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
【思路引导】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝ AB，再利用三角形中位线定理可
得DE＝4，进而可得答案．
【完整解答】解：如图，
∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝ AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故选：B．
5．（2021春•清河县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD
＝8，则HE等于（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【思路引导】利用三角形中位线定理知DF＝ AC；然后在直角三角形AHC中根据“直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半”即可将所求线段EH与已知线段DF联系起来了．
【完整解答】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝ AC（三角形中位线定理）；
又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，
∴EH＝ AC，
∴EH＝DF＝8．
故选：C．
6．（2021春•金牛区校级期末）如图，DE是三角形ABC的中位线，点F在DE上，∠AFB＝90°，若AB＝
6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．1
【思路引导】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【完整解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝ AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：B．
7．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
【思路引导】根据三角形中位线定理得到PE＝ AD，PF＝ BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、
三角形内角和定理计算即可．
【完整解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝ AD，
同理，PF＝ BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝ ×（180°﹣∠EPF）＝ ×（180°﹣140°）＝20°，
故选：D．
8．（2021春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为
BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是
（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【思路引导】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据三角形中位线定理和矩形的判定和性质
解答即可．
【完整解答】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝ CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝ BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴ GB＝ CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
二．填空题
9．（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝ 8c m ．
【思路引导】根据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【完整解答】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，
∴DF＝ AC＝ ×6＝3（cm），
∵EF＝1cm，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），
故答案为：8cm．
10．（2021秋•金山区校级月考）如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么 ＝ ．
【思路引导】取BF的中点G，连接CG，证CG是△BDF的中位线，得CG∥DF，CG＝ DF，再证EF是
△ACG的中位线，得EF＝ CG，则EF＝ DF，得ED＝3EF，即可求解．
【完整解答】解：取BF的中点G，连接CG，如图所示：
∵C是BD的中点，
∴CG是△BDF的中位线，
∴CG∥DF，CG＝ DF，∵E是AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线，
∴EF＝ CG，
∴EF＝ DF，
即DF＝4EF，
∴ED＝3EF，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
11．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点
G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为 ．
【思路引导】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．
【完整解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，
∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EM＝ AB＝2，MF＝ DC＝3，∵MF∥DC，
∴∠BFM＝∠BCD，
∵∠FGC+∠GCF＝∠BFH＝∠BFM+∠EFM，
∴∠FGC＝∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM＝∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF＝ ，
故答案为： ．
12．（2021春•樊城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．若DE是△ABC的中位线，
延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为 4 ．
【思路引导】根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理得到DE＝ BC＝1.5，DE∥BC，根据角平分
线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到EF＝EC＝2.5，结合图形计算，得到答案．
【完整解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得到：AC＝ ＝
＝5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝1.5，DE∥BC，EC＝ AC＝2.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，∴∠ECF＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2.5，
∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，
故答案是：4．
13．（2021春•醴陵市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一
点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是 3 ．
【思路引导】利用三角形中位线定理得到DE＝ BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
DF＝ AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【完整解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝ BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝ AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
14．（2020春•姑苏区期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂
足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．【思路引导】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根
据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【完整解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝ DE＝ ．
故答案是： ．
15．（2019•铁西区二模）如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝
CE＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
【思路引导】如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．首先证明CH＝
EC，∠ECH＝120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．【完整解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，
∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD＝CH，DN＝NH，
∵BD＝EC＝2，
∴EC＝CH＝2，
∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，
∴∠ECH＝120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝ ，
∴EH＝2EJ＝2 ，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝ EH＝ ．
故答案为 ．
16．（2021春•梁溪区期末）△ABC中，M、N分别为AB、AC的中点，若MN＝3，则BC＝ 6 ．
【思路引导】证明MN是△ABC的中位线，再由三角形中位线定理解答即可，
【完整解答】解：∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2×3＝6．
故答案为：6．17．（2021春•鼓楼区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB
边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
【思路引导】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的
面积求出CM，再求出答案即可．
【完整解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝ CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5，
∵S ＝ ＝ ，
△ABC
∴CM＝ ，
∴DE＝ ＝ ，
故答案为： ．
三．解答题18．（2013秋•高港区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、
F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
【思路引导】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角
形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对
等边即可证得．
【完整解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝ BD，
同理：ME∥AC，ME＝ AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
19．（2021•山西模拟）如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝90°，试判
断DF与AB的位置关系，并说明理由．【思路引导】首先证明△AGF≌△ACF，则GF＝CF，所以DF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定
理即可求解．
【完整解答】解：DF∥AB．理由如下：
如图，延长CF交AB于点G，
∵AE是角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴GF＝CF，
即点F是GC的中点，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF∥AB．
20．（2021 春•榆阳区期末）如图，点 D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作
CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．【思路引导】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中
位线定理即可求解．
【完整解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴EF∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE＝ BC＝ ．
21．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是
AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
【思路引导】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【完整解答】解：相等．理由如下：
取AD的中点G，连接MG，NG，
∵G、N分别为AD、CD的中点，
∴GN是△ACD的中位线，
∴GN＝ AC，
同理可得，GM＝ BD，
∵AC＝BD，
∴GN＝GM＝ AC＝ BD．
∴∠GMN＝∠GNM，
又∵MG∥OE，NG∥OF，
∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，
∴OE＝OF．
22．（2020春•扶风县期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF．
求证：BF＝DC．
【思路引导】连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是平行四边形，
进而可得CD＝BF．
【完整解答】证明：连接DB，CF，∵DE是△ABC的中位线，
∴CE＝BE，
∵EF＝ED，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∴CD＝BF．
23．（2021春•崇川区校级月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．
【思路引导】（1）延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，得到BD＝HD，根据三角形中位线定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到AH＝AB＝4，求出CH，根据三角形中位线定理计算即可．
【完整解答】（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝ CH＝1．24．（2020春•洪泽区期中）如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且BD是△ABC的角平分线．求证：
BE＝AF．
【思路引导】连接DE，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形ADEF是平行四边形，
得到AF＝DE，证明BE＝DE，等量代换即可．
【完整解答】证明：连接DE，
∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点．
∴DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝AF．
25．（2017春•天宁区校级月考）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
【思路引导】连接OA，根据三角形中位线定理解答．
【完整解答】解：EF＝DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF＝ OA，EF∥OA，
同理，DG＝ OA，DG∥OA，
∴EF＝DG，EF∥DG．
26．（2017•昌江区校级模拟）如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝CD，F是AD的中点，M为BC的中
点，连接MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．
【思路引导】连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，易证MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位
线，进而可证明MO∥AC，OF∥AB，再证明∠AEF＝∠AFE，由此可得AE＝AF，最后根据等腰三角形的性
质即可证明AG⊥ME．
【完整解答】证明：
连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，∵F是AD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，
∴MO＝ CD，FO＝ AB，MO∥AC，OF∥AB，
∵AB＝CD，
∴MO＝FO，
∴∠OFM＝∠OMF，
∵OF∥AB，
∴∠OFM＝∠AEF，
∵OM∥AC，
∴∠OMF＝∠CFM＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵G为EF的中点，
∴AG⊥ME．
27．（2017春•宁河县期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的
中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠PFE的度数．
【思路引导】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．
【完整解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝ BC，PE＝ AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°．
28．（2017春•老河口市期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连
接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线
于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
【思路引导】（1）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理得到EH∥AB，EH＝
AB，根据平行线的性质证明；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据勾股定理、平行线的性质计算．
【完整解答】（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝ AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝ CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝ AB，FH＝ CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴ ．
