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北师大版八年级下册数学期末检测提升 A 卷
（范围：全册，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．一个多边形的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数， 边形的内角和为 ( 且
为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答．
【详解】解： 不能被 整除，一个多边形的内角和不可能是 ．
故选：D．
2．下列剪纸中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋
转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
据此即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排
除法求解．【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意
B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
C. ，是因式分解，故此选项符合题意；
D. ，右边的因式 不是整式，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号
的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可．
【详解】解：A、若 ，则 ，本选项不符合题意；
B、若 ，当 时，则 ，本选项不符合题意；
C、若 ，当 时，则 ，本选项不符合题意；
D、若 ， ，则 ，本选项符合题意；
故选：D．
5．如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋
转可得： ，由垂直可得 ，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由旋转可得： ，
于点 ，，
，
故选：C．
6．下列说法中，错误的是（ ）
A．不论 为何值，分式 总有意义
B．当 时，分式 的值为1
C．若分式 的值为零，则
D．把分式 中 的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式的求值、分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据
分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴不论 为何值，分式 总有意义，说法正确，故选项不符合题意；
B、当 时，分式 ，说法正确，故选项不符合题意；
C、分式 的值为零，
∴ 且 ，
∴ ，说法正确，故选项不符合题意；
D、分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，得到 ，
∴把分式 中 的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意；
故选：D．
7．如图，一次函数 与 （m，n为常数， ）的图象相交于点 ，则关于x的不
等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．
根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解： 一次函数 与 的图象相交于点 ，
不等式 的解集为 ，
在数轴上表示如下：
故选：C．
8．若关于x的方程 的解为正数，则m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由 ，
去分母得： ，
解得： 且 ，
∵关于 的方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴m的值可以为3，
故选：C．9．如图， 中， ，分别以顶点A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别相
交于点M和点N，作直线 分别与 ， 交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别
交 ， 于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作
射线 ，若射线 恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ）
A． B． 垂直平分线段
C． D．
【答案】C
【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，
灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知 垂直平分线段 、 平分 ，进而证
明 可判定A选项；再说明 可得 垂直平分线段 可判定B选项；根
据直角三角形的性质可得 可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选
项；．
【详解】解：由作图可知 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项不符合题意，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分线段 ，故B选项不符合题意，
∵ ，
∴ ，故C选项符合题意，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故D选项不符合题意，
故选：C．
10．如图，在正六边形 中， 是对角线 上的两点．添加下列条件中的一个：① ；
② ；③ ；④ ．能使四边形 是平行四边形的条件的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边
形的判定是解题的关键．①连接 交 于点 ，证出 由对角线互相平分的四边形是平行四边
形可得出结论；②证明 由全等三角形的性质得出 ，根据一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明 与 全等，则可得出结论；④证明
，得出 ，根据 得出 ，根据一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形可得出结论．
【详解】解：连接 交 于点 ，
① 正六边形 ，
，
和 是等边三角形，
， ，
又 ，，
四边形 是平行四边形，故①符合题意；
② ， ，
，
，
又 ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故②符合题意；
③ ， ， ，
与 不一定全等，不能得出四边形 是平行四边形，故③不符合题意；
④ ， ， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故④符合题意，
则符合题意得有3个，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若分式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分母不等于 列式解
答即可求解．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
，
故答案为： ．
12．若多项式 因式分解的结果为 ，则 ．
【答案】
【知识点】已知因式分解的结果求参数【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得 ，根据多项
式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案．
【详解】解：∵多项式 因式分解的结果为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图所示，准备在楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价为100元，楼梯宽5米，其侧面如
图所示，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】
【知识点】利用平移解决实际问题
【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握图形平移的性质是解题的关键．本题根据平移的性质，计
算出地毯的面积即可解决问题．
【详解】解：由题意可得，
地毯的面积为： ，
所以地毯的价钱为： （元）．
故答案为： ．
14．如图，在 中， 的平分线 交 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得
，连接 ，则 的值是 ．
【答案】 /
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
证明 ，推出 ，再利用三角形中位线定理求解．
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．关于 的不等式组 有且只有四个整数解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查求含参数的不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式组，不等式组的整数解：是解
题关键．
求出原不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于a的不等式组，解不等式组确定出a的范
围即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，∴不等式组的解集为： ，
∵不等式组只有4个整数解，
为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．如图，在 中， ， ，点D为 边上一点且不与A、B重合，将 沿
翻折得到 ，直线 与直线 相交于点 ，若 ，当 为等腰三角形时， ．
（用 的代数式表示）
【答案】 或 或
【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边对等角、折叠问题
【分析】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．分①点 在 上；②点 在 延长线上两种情况讨论，画出示意图，根据翻折和等腰三角形的
性质、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：①当点 在 上，如图1，
由翻折的性质得， ， ，
，
，即 ，
，
当 时，则 ，
，
，；
当 时， ，
，
，
；
②当点 在 延长线上，如图2，
由翻折的性质得， ， ，
，
，
，
又 为等腰三角形，
，
，
，
；
综上所述， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．（1）因式分解：（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、求不等式组的解集
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
（2）根据解不等式组的基本步骤解答即可．
本题考查了因式分解，解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
由①得： ；
由②得：
不等式组的解集为 ．
18．先化简，再求值： ．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ； ，原式 ； ，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有
意义的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
∵ ，
∴时，原式 ；当 时，原式 ．
∴
19．如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点， 的每个顶点都在格
点上．
(1)将 向左平移6个单位长度，得到 ，画出 ．
(2)在平面直角坐标系中， 与 关于原点O成中心对称，请画出 ．
(3)请在x轴上找一点P，使 的长度最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，中心对称变换，轴对称的性质，准确作图是
解题的关键．
（1）根据点的平移即可得到图形；
（2）画出A、B、C关于原点的对称点连接即可；
（3）作C点关于x轴的对称点 ，连接 交 轴于点P即可．
【详解】（1）解：由图可知 ， ， ，
根据向左平移6个单位可得 ， ， ，
连接起来即可，如图所示；（2）解：A，B，C关于原点的对称点为 ， ， ，把三点连接起来即可，如
图所示；
（3）解：作C关于x轴的对称点 ，连接 ，与x轴交于点P，即为所求，如图所示：
则 ，
∴ ，
∵ 三点共线，
∴此时， 最短．20．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
．．．
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________；
(2)写出你猜想的第 个等式：___________（用含 的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式混合运算，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为 ，
分子是 ，第二项是 ，等式右边为 ．根据分式加减运算法则和分式混合运算
法则进行验证即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为： ；
（2）解： ，证明： 左边 ，
右边 ，
左边 右边，即等式成立．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（提公因式）
（提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
（运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)已知 ，求式子 的值；
(2)已知 为等腰 的三边长，且满足 ，求等腰 的周长．
【答案】(1)
(2)等腰 的周长为32或34．
【知识点】因式分解的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新
分组后进行因式分解．
（1）分组，利用提公因式法分解得到 ，再求得 ，整体代入求解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得 ， ，再根据等腰三角形的性
质即可求解．
【详解】（1）解：
，
∵ ， ，
∴ ，∴原式 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 ， ， ，符合三角形的定义，
∴ 的周长为 ；
当 ， ， ，符合三角形的定义，
∴ 的周长为 ；
∴等腰 的周长为32或34．
22．把两个等腰直角 和 按如图①所示的位置摆放， ，将 绕点A按逆时针方向
旋转，如图②，连接 ，设旋转角为 ．
(1)求证： ；
(2)如图③，若点D在线段 上，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)7．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据等腰三角形的定义，结合 ，即可得证；
（2）同（1）得到 ，证明 为直角三角形，勾股定理求出 的长，线段的和差，求
出 的长即可．
【详解】（1）证明： ， 都是等腰直角三角形，
， ， ，
则
，
；
（2）解： 是等腰直角三角形，
，，
同（1）可得 ．
， ，
∴ ，
在 中， ， ，
，
．
23．2024年12月26日，中国人工智能公司发布 模型，引发了科技行业高度关注．某校积极
响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，
A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B
型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型
数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台
时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等
式和一次函数，是解题的关键：
（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型
的数量相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出
的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可．
人模型单价为300元．
【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为 元．
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元；
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人 台．
根据题意，得 ，
解得 ．设共花费w元，则 ，
∵ ，
∴w随m的减小而减小，
∵ ，
∴当 时，w值最小．
，
(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．综合与实践
【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形 中， ， 相交于点O， ， ，
求证： ．
【变式探究】（2）如图2，在 中， ， ，在 的右侧作等边 ，取
的中点F，连接 ．
①求证： 是 的垂直平分线；
②若 ，求 的长．
【拓展提高】（3）如图3，在 中， ， ，D为 上的任意一点，将 绕
点A逆时针旋转得到线段 ，旋转角为 ．取 的中点P，连接 ，猜想 与 的数量关系，并给
予证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3） ．理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的
求解问题、根据旋转的性质求解
【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ，证出 ，得出 ，则可得出
结论；
（2）①延长 至 ，使 ，连接 ， ，证出 ，则 ，由等边三
角形的性质可得出结论；
②证出 ，则可得出答案；（3）延长 至 ，使 ，连接 ， ，同（2）可知 是 的中位线，得出
，证出 ，得出 ，
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
；
（2）①证明：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
垂直平分 ，
，
为 的中点， ，
，
，
，
，
，
是 的垂直平分线；
②解：由①知 是 的中位线，，
，
；
（3）解： ．
理由：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
同（2）可知 是 的中位线，
，
同（2）可知 ， ，
，
，
将 绕点 逆时针旋转得到线段 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三
角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片 中，已知
， ， 的面积为120．点 为 边上任意一点，将 沿 折叠，点 的对
应点为 ．(1)如图1，若点 恰好落在 上时，求证：四边形 为平行四边形．
(2)如图2，若 时，连接 ，并延长交 于点 ．求线段 的长．
(3)改变 点的位置，将 沿 折叠，连接 ，当 为直角三角形时，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到 ，推出 ，即可
证明四边形 是平行四边形；
（2）延长 交 于点H，由折叠的性质先证明 是等腰三角形，得到 ，根据
平行四边形的性质得到 ，易证利 是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出
，进而得到 ，利用勾股定理即可解答．
（3）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，延长 交 于点H，
由折叠的性质可得： ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ，， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当 时，延长 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
②当 时，如图，设 与 交于点 ，作 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，
熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
