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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 讲 基本不等式（精讲）
题型目录一览
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤基本不等式及其应用
⑥利用基本不等式解决实际问题
⑦利用基本不等式证明
一、知识点梳理
1.基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
R a2 +b2 ≥2ab a=b
基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.（2）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
3.常见求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号成立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,00，2a+b=4，则下列说法中正确的有（ ）
A． 有最小值 B．a2+b2有最小值
C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln2
【答案】BC
【分析】根据基本不等式、配方法，结合指数运算、对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】因为实数a，b>0，2a+b=4，
所以有
，
当且仅当 时取等号，即当 时取等号，
故选项A不正确；
因为2a+b=4，
所以 ，当 时，a2+b2有最小值 ，故选项B正确；
，当且仅当 时取等号，即 时取等号，故选项C正确；
因为实数a，b>0，2a+b=4，
所以 ，
当 ， 时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，
故选：BC
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A选项对 直接利用基本不等式即可得证；对于B选项对 利用基本不等式可
得 ，由此即可判断；对于C选项由题意可知 ，构造函数
，易证函数 在 上单调递增，则可得 ；对于D选项易证
即可得 ， ，则 .
【详解】对于A选项：因为 ， ，所以 ，当且仅当 “
”，即 “ ”时，等号成立，正确；
对于B选项：因为 ， ，所以 ，当且仅当 “ ”，即 “
”时，等号成立，所以 ，错误；
对于C选项：因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
记 ，
则 ，易知 在 上单调递减，且 ，
所以当 时 ，即函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，
即 ，所以 ，正确；
对于D选项：记 ，
则 恒成立，且 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
即当 时， ，即 ，
因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 ，
又 ，即 ，
则 ，
所以 ，正确；
故选：ACD
三、填空题
5．（2020·江苏·统考高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
6．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数 ， 满足 ，则 的最大值为
__________．
【答案】
【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由 ，得 ，
则 ，解得 ，
则 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .
故答案为： .
7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用等式 求解 ，代入 计算，结合基本不等式，即可求得 的最小值.
【详解】因为 ，解得： ，
则
当且仅当 ， 时，“=”成立
故答案为： .题型四 “ 1 ” 的代换求最值
策略方法
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，
凑的过程中要特别注意等价变形．
1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2．注意验证取得条件．
【典例1】已知函数 恒过定点 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知 ，
则 ，
当且仅当 ， 时，
的最小值为 ，
故选:A．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得 ，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可
求解.【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为6.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则
的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答
案.
【详解】对 求导得 ，
由 得 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号．故选：D．
3．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知 ， ，且 ，那么 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4【答案】C
【分析】由题意可得 ，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为 ， ， ，
则
.
当且仅当 即 时取等.
故选：C.
二、多选题
4．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知 ，且 ，若不等式 恒成立，
则 的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】BCD
【分析】根据题意和基本不等式，求得 ，由 恒成立，得到 ，结合选项，即可求解.
【详解】由 ，且 ，
可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
又因为不等式 恒成立，所以 ，
结合选项，可得选项B、C、D符合题意.
故选：BCD.5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）下列能使式子 最小
值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由 得出 ，结合不等式“1”的妙用，即可求出 的最小值为1，判
断出A正确；由 得 ，代入 ，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设
，则 ，即可判断出C错误；由 ，设 ， ，
，代入 化简，结合 的范围，即可得出当 即 时，取得最小值1，即可
判断D正确．
【详解】对于A：当 ，则 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对于B：由 得， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，故最小值为 ，故B错误；
对于C：假设 ，则 ，故C错误；
对于D： ，，且 ，
即 ，
，
由 得， ，
设 ， ，即 ， ，
，
，即 ，
则
， ， ，
当 ，即 ， 时，取得最小值1，故D正确，
故选：AD．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，则
的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据向量运算可得 ，再由均值不等式求解即可.【详解】 ， ， ，
，即 ，
由 ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在点 处的切线过点 ，则
的最小值为__________.
【答案】12
【分析】根据导数的几何意义求得函数 在点 处的切线方程，可推出 ，将
化为 ，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数 可得 ，
则 ，
故函数 在点 处的切线方程为 ，即 ，
则由题意可得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 取等号，
即 的最小值为12，
故答案为：128．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知 ，则 的最小值是______．
【答案】
【分析】变形条件等式得 ，然后展开，利用基本不等式求最
小值.
【详解】 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
的最小值是 .
故答案为： .
9．（2023·陕西渭南·统考二模）设 ，若 ，则 的最小值是___________.
【答案】 /
【分析】利用基本不等式中“1”的代换法求最小值．
【详解】∵ ，若 ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，又 ，即 ， 时等号成立，
故答案为： ．
题型 五 基本不等式及其应用
策略方法熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成
立进行验证.
【典例1】已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由均值定理即可求得 的最小值.
【详解】 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模）数学试题）已知 ， ，且
，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得 ，运用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】∵ ，
∴ ，即：
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
即： ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为16.
故选：C.
2．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）若 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据基本不等式推出 ，进而根据不等式可得 ，即可得出答案.
【详解】由已知可得 .
因为 ， ，由基本不等式知 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 的最小值为2.
故选：D.
3．（广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（理）试题）若 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C【分析】利用基本不等式即可求出最值.
【详解】 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
4．（江西省南昌市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知x，y为正实数，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定义判断即可．
【详解】当 时，取 ，则 ，
所以“ ”不是“ ”的充分条件；
当 时，得 ，即 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（安徽省安庆市2023届高三模拟考试（二模）数学试题）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ，
且 ，则夹角 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积运算律及题设可得 ，注意等号成立条件，结合已知不等条件求 范围，即可得最小值.
【详解】由 有 ，即 ，
前一个等号成立条件为 ，整理得 .
由于 ，所以 ，于是夹角为 的最小值为 .故选：C
二、多选题
6．（湖北省孝感市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题）下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果 ，那么 的最小值是2
B．如果 ， ， ，那么 的最大值为3
C．函数 的最小值为2
D．如果 ， ，且 ，那么 的最小值为2
【答案】BD
【分析】对A. 如果 ，那么 ，命题不成立；
对B.使用基本不等式得 即可得 的最大值；
对C. 函数 ，当且仅当 时取等号，此时 无解；
对D.根据题意构造 ，将“1”替换为 ，代入用基本不等式求解.
【详解】对于A： 如果 ，那么 ，最小值是2不成立；
对于B：如果 ， ， ，
则 ，整理得 ，
所以 ，当且仅当 时取得最大值，所以 的最大值为3，故B正确；对于C：函数 ，当且仅当 时取等号，此时 无解，不能取
得最小值2，故C错误；
对于D：如果 ， ，且 ，
那么
，当且仅当 时取得最小值，故D正确.
故选：BD
7．（重庆市第八中学2023届高三适应性月考（六）数学试题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得 ， ，进而根据 即可求解A,根据基本不等式即可判断
BC,根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】由 得 ， ，由于 ，所以 ，
所以 ，因此 且 ，故A正确，
，当 时， ，由于 ，当且仅当 时，等号成立，故
，当 时， ，所以 ，故B正确，，当且仅当
时取等号，故 ，所以C错误，
，当且仅当 取等号，又 ，所以
或者 等号成立，
故选：ABD
三、填空题
8．（吉林省延边州2023届高三统考二模数学试题）设 ， ，若 ，则 取最小值时
a的值为______．
【答案】
【分析】根据题意可得 、 ，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.
【详解】由 ， ，得 ，
由 ，得 ，
∴ ，
当且仅当 即 ， 时等号成立.
故当 ， 时 取得最小值16.
故答案为： .
9．（山西大学附属中学校2023届高三上学期12月（总第六次）模块诊断数学试题）已知各项为正的数列
的前 项和为 ，满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】2【分析】根据 ，可得 时， ，求得 的表达式，即可求得 ，代入
化简，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】各项为正的数列 ， ，
时， ，
即 ，化为： ，
， ，又 ，解得 ，
数列 是等差数列，首项为1，公差为2． ，
，
，
当且仅当 时取等号， 的最小值为2,
故答案为：2．
10．（安徽省阜阳市临泉第一中学2022-2023学年高三上学期1月期末理科数学试题）已知椭圆 C的焦点
为 为 C 上一点满足 ，则C 的离心率取值范围是________．
【答案】
【分析】设 ， ，利用余弦定理可得 ，再结合基本不等式推出
，即可求得答案.
【详解】设椭圆C的方程为 ，
设 ， ，则 ，在 中， ，有 ,
得 ，即 ，
故 ，因为 ，即 ，当且仅当 时取等号，
故 ，即 ，故 ，
解得 ，由 ，所以C的离心率取值范围是 ，
故答案为：
11．（山东省齐鲁名校2022-2023学年高三下学期3月大联考数学试题）已知 ，且
，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题可知 ，
故 ，
则 ，当且仅当 ， 时等号成立，
故 的最小值为 ．
故答案为： .
题型 六 利用基本不等式解决实际问题
策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)
＝x＋(a＞0)的单调性．
【典例1】2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫
博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔 图》，该绢本设色画纵约
176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏
视角 最大，小南离墙距离S应为（ ）
A．11 cm B．8 cm C．11 cm D．44 cm
【答案】A
【分析】由题意可得只需要 最大，设小南眼睛所在的位置为点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为
，求出 ， ，设 ， ，则 ， ， ，代入
，利用基本不等式，求解即可.
【详解】由题意可得 为锐角，故要使得 最大，只需要 最大，设小南眼睛所在的位置为点 ，过点
作直线 的垂线，垂足为 ，如图，依题意得：
， ， ，设 ， ，则 ，
， ，
故
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故使观赏视角 最大，小南离墙距离S应为 .
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管
理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意可得该设备年平均费用 ，结合基本不等式分析运算.
【详解】由题意可得：该设备年平均费用 ，
∵ ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测
COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具
有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为
，其中 为传感器在静水中行进的速度(单位： )， 为行进的时间(单位： )， 为常数，如果
待测量的河道的水流速度为 ，则该传感器在水中逆流行进 消耗的能量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】（1）由已知条件可求出该传感器在水中逆流行进 所用的时间 ，则所消耗的能
量 ，法一：将原式变形得到 ，利用基本不等式的方法求出最小值；
法二：对原式求导，分析函数的单调性，可求出最值.
【详解】由题意，该传感器在水中逆流行进 所用的时间 ，则所消耗的能量
.
方法一：
，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 取得最小
值120 .
方法二：
，求导得 ，令 ，得 ，当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以当 时， 取
得最小值，为 .
故选：B.【点睛】本题考查函数模型的应用.
关键点点睛：函数模型的关键是建立变量之间的关系，从而建立正确的解析式，进而寻找求最值的方法.
3．（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话
亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，
其中 ， ，曲线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积
为 ，周长为 ，则 的最大值为（ ）．（本题中取 进行计算）
A．6 B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】根据面积和周长的计算,可得 ,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】圆弧的半径为 ，则 ， ．
所以周长 ，面积 ．
所以
．
当且仅当 ， 时等号成立．
故选：B
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 的矩形空地，
并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 ，各试验区之间也
空0.5 .则每块试验区的面积的最大值为___________ .【答案】6
【分析】设矩形空地的长为 m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即
可求出结果.
【详解】设矩形空地的长为 m，则宽为 m，
依题意可得，试验区的总面积 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为 .
故答案为：6
5．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现
第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企
业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的
固定成本为200万元，每生产 万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时， ；
当产量不小于50万件时， .每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A
产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
【答案】1000
【分析】依题意求得利润 ，借助导数和基本不等式可求得最大值.
【详解】由题意得，销售收入为 万元，
当产量不足50万件时，利润 ；当产量不小于50万件时，利润 .
所以利润
因为当 时， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时， ，当且仅当 时取等号.
又 ，故当 时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
三、解答题
6．（2023·全国·高三阶段练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届
进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲
企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生
产x千台空调，需另投入资金R万元，且 .经测算，当生产10千台空调时
需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)
(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
【分析】（1）由题意可知 时，R=4000，代入函数中可求出 ，然后由年利润等于销售总额减去投入
资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，
（2）分别当 和 求出函数的最大值，比较即可得答案
【详解】（1）由题意知，当 时， ，所以a=300.
当 时， ；
当 时， .
所以 ，
（2）当 时， ，所以当 时，W有最大值，最大值为8740；
当 时， ，
当且仅当 ，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为 ，
所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民
的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已
知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产
品 万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为 万元，且(1)求月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数关系式（利润 销售收入一成本）；
(2)当月产量 为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.
【答案】(1)
(2)当月产量 万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为 万元，
【分析】（1）由题意列式求解，
（2）由二次函数性质与基本不等式求解，
【详解】（1）由题意得 ，
，
当 时， ，
当 时，
故
（2）当 时， 在 时最大，最大值 ，
当 时，由基本不等式得 ，
当且仅当 即 时等号成立，
故 在 时最大，最大值 ，
综上，当月产量 万件时，该公司可获得最大利润，月利润最大值为 万元，
题型 七 利用基本不等式证明
策略方法
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.【典例1】9．已知 是正实数.
(1)若 ，证明： ；
(2)证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先将 变形成 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
（2）由 都是正实数，三次利用基本不等式，再相加整理即得.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号；
，当且仅当 时取等号；
，当且仅当 时取等号；
上述三式相加可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 .
【题型训练】一、解答题
1．（2020·全国·统考高考真题）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：由 结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设 ，因为 ，所以
，则 ．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为 ，则 ， ．
［方法二］：消元法
由 得 ，则
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知 ，又
，故结论得证．
方式2：因为 ，所以
．
即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法四］：
因为 ，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设 则 .
［方法五］：利用函数的性质
方式1： ，令 ，
二次函数对应的图像开口向下，又 ，所以 ，
判别式 ，无根，
所以 ，即 ．
方式2：设 ，
则 有a，b，c三个零点，若 ，
则 为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以 ．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设 ，因为 ，所以 ，
则 ．故原不等式成立．
［方法二］：不妨设 ，因为 ，所以 ，且
则关于x的方程 有两根，其判别式 ，即 ．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设 ，则 ，关于c的方程有解，
判别式 ，则 ．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设 ，不妨令 ，则 ，又
，矛盾，故假设不成立．即 ，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本
题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放
缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元
二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
2．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知a，b，c都是正数，且 ，
证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式 证明即可；
（2）变形 ，然后根据不等式 证明即可.
【详解】（1）因为 ， ， ，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
（2）因为 ， ， ，
，当且仅当 ，即 时等
号成立．
则 ，所以 ．
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知 都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)先用基本不等式，再将 代入即可证明；
(2)将 乘以 ，利用柯西不等式进行化简，再将 代入即可证明.
【详解】（1）证明：因为 都是正数， ，所以 ，
由基本不等式可得： ，
当且仅当 ，即 时取等，故 成立；（2）证明：因为 ，所以 ，
由柯西不等式可得：
，
即
当且仅当 ，即 时取等，
因为 都是正数，所以有 ，
将 代入有 得证.
4．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ， ，求证： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）采用三角换元法可将 化为 ，由正弦型函数值域可求得结果；
（2）利用基本不等式可求得 ，由此可整理证得结果.
【详解】（1） ， 可设 ， ， ，
（其中 ， ），
，即 的取值范围为 ；（2） ， ， ， ，（当且仅当 ， 时取
等号），
，
即 ， .
