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第 04 讲 不等式及性质
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒ac；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c； a > b ， c > d ⇒ a ＋ c > b ＋ d ；
(4)可乘性： a > b ， c >0 ⇒ ac > bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0b>0,0.
(4)0b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
1、【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除
B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选C．
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且 ， ，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
不等号方向不变，则 ，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若， ，则 ，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，
， ，C选项错误；
对于D选项，因为 ， ，所以无法判断 与 大小，D选项错误.
2、（2022·江苏南京·模拟预测）设 、 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，取 ， ，则 ，A错误；
对于B，取 ， ，则 ，B错误；
对于C，取 ， ，则 ，C错误；
对于D，因 ，则 ，即 ，D正确．
故选：D
3、若a>1，m＝log (a2＋1)，n＝log (a＋1)，p＝log (2a)，则m，n，p的大小关系是( )
a a a
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
【答案】 B
【解析】由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，
即2a>a＋1，
∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝log x在定义域上单调递增，
a
∴m>p>n.
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数 ，那么下列不等式中一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对选项A，设 ， ， ，满足 ，此时不满足 ，故A错误；
对选项B，因为 ，且 ，所以 ，故B正确.
对选项C，设 ， ， ，满足 ，
此时 ， ，不满足 ，故C错误；
对选项D，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若 ，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B选项，因为函数 在R上单调递增，所以 ，故B正确；
对于C选项，当 时， 不成立，故C不正确；
对于D选项，当 ， 时， ，故D不正确,
故选:AB.
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 ， 的符号不能确定，
当 时， ，故A错误，
因为 ， ，所以 ，故B正确，因为 ，所以 ，故C正确，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故D错误，
故选：BC
变式2、（多选题）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 则
【答案】BC
【解析】
若 ， ，则 ，故A错；
若 ， ，则 ，化简得 ，故B对；
若 ，则 ，又 ，则 ，故C对；
若 ， ， ， ，则 ， ， ，故D错；
故选：BC．
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．C． D． 的最小值为4
【答案】BC
【解析】
对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 即 时取等
号，因为 ，所以取不到等号，所以 的最小值不为4，所以D错误，
故选：BC
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成
立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p q和q p是否成立，要注意特殊值
法的应用；
⇒ ⇒
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的
方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a，a∈(0，1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是________；
1 2 1 2 1 2
【答案】 M>N
【解析】 M－N＝aa －(a ＋a －1)＝aa －a －a ＋1＝(a －1)(a －1).因为a∈(0，1)，a∈(0，1)，所以a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1－1<0，a－1<0，所以(a－1)(a－1)>0，即M－N>0，所以M>N.
2 1 2
(2) 若a＝，b＝，则a______b；(填“＞”或“＜”)
【答案】 ＜
【解析】 易知a，b都是正数，
＝＝log 9＞1，所以b＞a.
8
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与的大小．
【解析】 a＋2－＝＝.
因为a2＋a＋1＝＋>0，
所以当a>1时，a＋2>；
当a<1时，a＋2<.
变式1、已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
【答案】 M>N
【解析】
方法一 M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
变式2、设a>b>0，试比较与的大小．
解法一(作差法)：
－＝
＝ ．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以 >0，所以>．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以>0，>0．所以＝ ＝＝1＋>1．
所以>．
方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1 ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引
入对不等式的发展影响深远．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，故A正确；
若 ， ，满足 ，但此时 ，故B错；
因为 ，由不等式的可开方性，可得 ，故C正确；
因为函数 为增函数，由 可得 ，故D正确.
故选：B.
3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)
若a>b>0，则一下几个不等式中正确的是（ ）
A. B. lg > C. D. 2 - >
【答案】BCD【解析】A.因为 ， ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. ， ，所以 ，所以 ，故正确.
故选：BCD.
4、（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）（多选题）已知a，b，c均为非零实数，且 ，则下列不等式中，
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，取特殊值 ，满足 ，但 ，故A不正确；
对于B，因为a，b，c均为非零实数，且 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，取特殊值 ，满足非零实数 ，此时
，但 ，故C不正确；
对于D，因为a，b，c均为非零实数，且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：BD.
5、（2022·广东佛山·模拟预测）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】AD
【解析】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B. 当 时， ，故错误；
C.当 时， 故错误；
D. ，因为 ， ， ，所以 ，故正确；
故选：AD
6、（2022·广东·华南师大附中三模）（多选题）如果a
