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专题 38 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.事件的独立性：事件的独立性是指两个或多个事件之间没有关联，即它们的发生互不影响。
通常，如果两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称它们是相互独立的;
2.相互独立事件：两个或多个事件之间没有关联，即它们的发生互不影响;
3.条件概率：条件概率是指在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通常，如果事件A和
事件B满足P(A|B)>0，则称A在B的条件下发生;条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B);
4.全概率公式：全概率公式是指对于一组互斥完备事件群，某个事件发生的概率可以分解成
若干个事件发生的概率的加权和。通常，如果事件是互斥完备事件群中的某个事件，则对于
任一事件E，有全概率公式：P(E)=∑P(E|A)P(A)，其中A为所有可能的事件;
5.事件的相互独立性、条件概率和全概率公式是概率论中的重要概念，它们在解决概率问题
时具有广泛应用。需要注意在解决具体问题时，要根据题目的特点灵活运用这些概念和公式;
【备考策略】1.了解两个随机事件独立性的含义,会利用独立性计算概率;
2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率;
3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率;
4.会利用全概率公式计算概率;
【命题预测】1.事件的相互独立性：这个概念通常会出现在对概率模型的理解和构建中;
2.条件概率：这个概念在许多实际问题中有着广泛的应用;
3.全概率公式：这个公式在求解某些概率问题时非常有用;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】知识讲解
一、事件的相互独立性
1.定义
设 , 为两个事件,如果 P ( A ) P ( B ) ,那么称事件 与事件 相互独立.
2.性质
(1)若事件 与 相互独立,则 P ( B ) , P ( A ) , P ( A ) · P ( B ) .
(2)如果事件 与 相互独立,那么 与 , 与 , 与 也都相互独立.
二、条件概率与全概率公式
1.条件概率
(1)条件概率
一般地,设 , 为两个随机事件,且 ,我们称 为在事件 发生的条件下,事件
发生的条件概率,简称条件概率.
(2)概率的乘法公式
由条件概率的定义,对任意两个事件 与 ,若 ,则 P ( A ) P ( B|A ) .我们称上式为概率的乘
法公式.
(3)条件概率的性质
设 ,则
① 1 ;
②若 与 是两个互斥事件,则 P ( B|A ) + P ( C|A ) ;
③设B和 互为对立事件,则 (B| )= 1 - P ( B|A ) .
2.全概率公式
一般地,设 , ,…, 是一组两两互斥的事件, ,且 , ,则对任意
的事件 ,有 .
我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
贝叶斯公式
设 , ,…, 是一组两两互斥的事件, ,且 , ,则对任意事
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】件 , ,有 ,其中 .
在贝叶斯公式中, 和 分别称为 先验 概率和 后验 概率.
求相互独立事件同时发生的概率的策略
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示;
(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立或者是相互独立),列出关系式;
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算;
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的
事件的概率.
条件概率的求法
1.定义法:先求 和 ,再由 求 .
2.基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 包含的基本事件数 ,再求事件 所包含的基本
事件数 ,得 .
应用全概率公式求概率的步骤
(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的 的一个划分 ;
(2)用 来表示待求的事件;
(3)代入全概率公式求解.
是在没有进一步信息(不知道事件 是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性
大小的认识,当有了新的信息(知道事件 发生)时,人们对诸事件发生可能性大小 有了新的估计,贝
叶斯公式从数量上刻画了这种变化.
考点一、相互独立事件的概率
1．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件 为
“第一次记录的数字为奇数”，事件 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与事件 是对立事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A，事件 与事件 是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，对于事件 与事件 ， ,事件 与事件 是相互独立事件,故B错误；
对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有 种，
其中，事件 发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有 种，所以 ，
因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D，事件 表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故 ，故
D错误.
2．（2023届山东省模拟数学试题）已知事件A、B满足 ， ，则（ ）
A． B．
C．事件 相互独立 D．事件 互斥
【答案】C
【分析】利用对立事件概率求法得 ，结合已知即独立事件的充要条件 判断
C，由于 未知其它选项无法判断.
【详解】由题设 ，
所以 ，即 相互独立，同一试验中不互斥，
而 未知，无法确定 、 .
3．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，
并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次
向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则 ，
A不正确；
事件B含有的基本事件有8个： ，
其中事件 发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个， ，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
1．若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴事件 与 相互独立、事件 与 不互斥，故不对立.
2．（2023届山东省模拟数学试题）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3
个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用 分别表示甲袋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A． 两两不互斥 B．
C． 与B是相互独立事件 D．
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定
义判断，对于D，由 求解
【详解】对于A，由题意可知 ， ， 不可能同时发生，
所以 ， ， 两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得 ，
所以 ，所以B正确；
对于C，因为 ， ，
，
所以 ，所以 与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
3．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、
大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰
球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事
件 “甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件 “甲乙两人所选课程完全不同”，事件 “甲乙两
人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A、B，再根据古典概型的概率公式求出 、 、
、 、 ，根据相互独立事件的定义判断C、D；
【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故 与 互斥不对立， 与 不互斥，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
且 ， ，
所以 ， ，
即 与 相互独立， 与 不相互独立.
考点二 、 条件概率
1．（2023届浙江省十校联盟联考数学试题）已知随机事件A，B， ， ， ，则
.
【答案】
【分析】首先求出 ，则 ，则 ，最后利用对立事件的求法即可得到答案.
【详解】依题意得 ，所以
故 ，所以 .
2．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的乘法公式计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试数学试题）某人连续两次对同一目标进行射击，
若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为 ，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率
为 ，已知第一次击中目标的概率为 ，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出事件，利用全概率公式计算出 ，再利用条件概率
公式计算出答案.
【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，
则 ， ， ，所以 ，
故 ，
则 .
4．已知 ， ，则 .
【答案】 /
【分析】由条件概率公式求解，
【详解】由题意得 ，而 ，得 ，
而 ，解得 .
1．（2023届江苏省模拟数学试题）已知 ， 为两个随机事件， ， ，
， ，则 （ ）
A．0.1 B． C．0.33 D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。
【详解】 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，解得 .
2．已知 ， 分别为随机事件A，B的对立事件， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】C
【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可
得到答案；
【详解】对A， ，故A错误；
对B，若A，B对立，则 ，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则 ，故D错误；
3．（2023届上海市模拟数学试题）据调查，某地市民大约有0.03%的人患某种疾病，该地大约有0.1%的
市民有超过20年的时间有某种不良饮食习惯，这些人患这种疾病的人约为10%. 现从饮食不良习惯不超过
20年的市民中随机抽取1名市民，则他患此疾病的概率约为 %（精确到0.01）.
【答案】0.02%
【分析】由条件概率及乘法公式计算即可.
【详解】事件 为不良习惯不超过20年，则 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以
.
4．（2023届湖南省新高考教学教研联盟联考数学试题）人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%
是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是 ．（用分数表示）
【答案】
【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有 ，即可得答案.
【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则
，不吸烟者中患肺癌的概率为 .
又由全概率公式有 ，
则 ，解得 ．
考点 三 、全概率公式的应用
1．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个
红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件 表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件 表示从甲箱中随机取出一白球放入乙
箱中，设事件 表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
2．（2023届广东省模拟数学试题）在 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人
患了流感，假设这三个地区的人口数之比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者
的概率为（ ）
A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15
【答案】B
【分析】由题意可知，分别求出此人来自 三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可
求得此人是流感患者的概率.
【详解】设事件 为“此人是流感患者”，事件 分别表示此人来自 三个地区，
由已知可得 ，
，
由全概率公式得
3．（2023年辽宁省模拟数学试题）盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察
其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】从盒中任取1球，是红球记为 ，黑球记为 ，白球记为 ，
则 ， ， 彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B，
则 ， ， ， ， ， ，
.
4．（2023年山东省模拟数学试题）已知P（B）=0.3， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得 ，即可求解 .
【详解】由全概率公式可得：
可得 ，解得： .
则 .
1．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣
传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众
的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊
断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068
【答案】D
【分析】应用全概率公式 求解即可.
【详解】设随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性为事件A,
设随机抽取一人实际患病为事件B, 随机抽取一人非患为事件 ，
则 .
2．（2023届吉林省联合模拟考试数学试题）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，
松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 ，夏季来
的概率是 ，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查
干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三
国”景点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概
率公式即可求解.
【详解】设事件 “冬季去吉林旅游”，事件 “夏季去吉林旅游”，事件 “去了一眼望三国”，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
在冬季去了“一眼望三国”的概率 ，
在夏季去了“一眼望三国”的概率 ，
所以去了“一眼望三国”的概率 .
3．（2023届广东省模拟数学试题）某批产品来自 ， 两条生产线， 生产线占 ，次品率为4%；
生产线占 ，次品率为 ，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自 生产线的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.
【详解】因为抽到的次品可能来自于 ， 两条生产线，设 “抽到的产品来自 生产线”，
“抽到的产品来自 生产线”， “抽到的一件产品是次品”，
则 ，
由全概率公式得 ，
所以它来自 生产线的概率是 .
4．设验血诊䉼某种疾病的误诊率为 ，即若用 表示验血为阳性， 表示受验者患病，则
，若已知受检人群中有 患此病，即 ，则一个验血为阳性的人确
患此病的概率为 .
【答案】
【分析】结合条件概率的计算公式，得到 ，即可求解.
【详解】由题意，结合条件概率的计算公式，可得：
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于
7”，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为 .
2．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，
且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3
局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为 ，
∴所求概率为 .
3．抛掷两枚均匀的硬币，出现恰好有一枚硬币正面向上的概率记为 ；有四个阄，其中只有一个代表奖
品，四个人按序依次抓阄决定奖品的归属，第三个人中奖的概率记为 ．则 与 满足（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【分析】抛硬币利用列举法可求得 ，因为只有一个奖品，第三个人中奖时，前两人均没有中奖，由此可
求出 ，进而可得答案
【详解】解：设两枚硬币分别为A，B，则可能出现的情况只有4种：
AB都是正面；AB都是反面；A正面B反面；A反面B正面，
所以 ，四个人按序依次抓阄，则第三个人中奖的概率 ，
所以 .
4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令 “玩手机时间超过 的学生”， “玩手机时间不超过 的学生”， “任意调查一
人，此人近视”，
则 ，且 互斥， ， ，
依题意， ，解得 ，
所以所求近视的概率为 .
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件 与 的
和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
5．（2023届福建省教学质量检测数学试题）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医
用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，
50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
【答案】D
【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.
【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，
记事件 分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则 ，且
两两互斥，
所以 ，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件 为“选到绑带式口罩”，则
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为 .
6．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球
投进则后一球投进的概率为 ；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为 .若他第 球投进的概率为 ，
则他第 球投进的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】记事件 为“第 球投进”，事件 为“第 球投进”，由全概率公式可求得结果.
【详解】记事件 为“第 球投进”，事件 为“第 球投进”，
， ， ，
由全概率公式可得 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第 球与第 球投进
与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.
7．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时
投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响．则投篮结
束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互
斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.
【详解】设 ， 分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则 ， ，（ ，2），记
“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．
则
8．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋
不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧增智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含
着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三
局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为 ，且各局比赛的胜负互不影响，则在
不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】甲以 获胜为事件 ，甲以 胜为事件 ，则 ， 互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出
在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．
【详解】解：甲以 获胜为事件 ，甲以 胜为事件 ，则 ， 互斥，
且 ， ，
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： .
9．2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业
取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试
验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务
则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，
每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】加法公式计算作答.
【详解】试验任务成功的事件 是甲成功的事件 ，甲不成功乙成功的事件 ，甲乙都不成功丙成立
的事件 的和，
事件 ， ， 互斥， ， ， ，
所以试验任务成功的概率 .
10．（2023届陕西省模拟理科数学试题）某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率
为 ，乙队和丙队答对该题的概率都是 .若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞
赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
.
11．设P(A|B)＝P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可求出 ，再由 即可求出.
【详解】 ，
由 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023届浙江省模拟数学试题）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的
出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分
别为 ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 ，结果这一天他迟到了，在此条
件下，他自驾去上班的概率是 ．
【答案】
【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件
D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案；
法2：直接在迟到的前提下计算概率 .
【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，
事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
则 ；
，
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是
，
法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率 ．
13．加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 ,且各道工序互不影响,
则加工出来的零件的次品率为 .
【答案】
【详解】解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】加工出来的零件的次品率 .
14．已知随机事件 ， 有概率 ， ，条件概率 ，则 .
【答案】0.82
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】∵ ，∴ ， .
由乘法公式得 .
∴ .
15．（2023届上海市模拟数学试题）设 表示事件 发生的概率，若
，则 .
【答案】
【分析】根据题意分别求出 、 进而利用 即可求出结果.
【详解】因为 ，
，
则
.
16．（2023届山西省模拟数学试题）在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设
“试验结果为阳性”， “试验者患有此癌症”，据临床统计显示 ， ．已知
某地人群中患有此种癌症的概率为 ，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有
此种癌症的概率为 ．
【答案】
【分析】根据已知得出 ， 与 ，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意可得：
， ， ，
，
.
17．（2023届安徽省模拟考试（二模）数学试题）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占
45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概
率为2.95%，则推测丙车间的次品率为 .
【答案】5%
【分析】令A表示“取到的是一件次品”， ， ， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，
设 ，由全概率公式即可求解.
【详解】解：令A表示“取到的是一件次品”， ， ， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生
产的，显然 是样本空间S的一个划分，且有 ， ， .由于
， ，设 ，
由全概率公式得：
，
而 ，故 .
18．甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2
个红球、3个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一出一个球；若硬币反
面向上，从乙箱中随机摸出一个球.则摸到红球的概率为 .
【答案】 /
【分析】先分别求甲乙两箱摸到红球的概率，进一步求摸到红球的概率.
【详解】甲箱摸到红球的概率 ，乙箱摸到红球的概率 ；
硬币正面向上时的概率 ，硬币正面向下时的概率 ，
故摸到红球的概率为 .
19．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】子跳到第n站的概率为 ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰
子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站
（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为 ．
【答案】 /0.75 ； ；
【分析】根据题意找出 与 的关系即可求解.
【详解】由题 ，因为 ，故 ，由 ，所
以 ，累加可得：
．
故答案为： ； .
20．已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取
一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为 ．
【答案】 /0.5
【分析】利用独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解.
【详解】若选到第一层，则选到数学书的概率为 ，
若选到第二层，则选到数学书的概率为 ，
故随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为 .
21．（2023年浙江省模拟数学试题）甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红
球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出
一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为 .
【答案】
【分析】记从乙盒中取出的是红球为事件 ，从甲盒中取出的球为红球为事件 ，取出白球为事件 ，由
已知可得出 的值，然后根据全概率公式，即可得出答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】记从乙盒中取出的是红球为事件 ，从甲盒中取出的球为红球为事件 ，取出白球为事件 ，
由已知可得， ， ， ， ，
根据全概率公式可得，
.
【能力提升】
1．（2023届江西省联合考试数学（理）试题）一袋中有大小相同的 个白球和 个红球，现从中任意取出
个球，记事件 “ 个球中至少有一个白球”，事件 “ 个球中至少有一个红球”，事件 “ 个球
中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ）
A．事件 与事件 不为互斥事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，取出的 个球的可能情况为： 个红球； 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个白
球，进而依次分析事件 、事件 、事件 ，及其概率，再讨论各选项即可得答案.
【详解】根据题意，取出的 个球的可能情况为： 个红球； 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个白
球.
故事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个白球，且 ；
事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球； 个红球，且 ；
事件 包含： 个红球 个白球； 个红球 个白球，且 .
所以， ， ，
因为 ，则事件 与事件 不为互斥事件，A选项正确；
，故事件 与事件 不是相互独立事件，B正确；
，故D错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故C正确；
2．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的
球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有 ．
①A与C互斥；② ；③A与D相互独立；④B与C相互独立．
【答案】①③
【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件 和事件 的样本点，可求得 ， ，易知
， ，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.
【详解】因为 与 不可能同时发生，所以 与 互斥，故①正确；
包含： ， ， ， ， ，共5个基本事件， 包含： ， ， ， ，
， ，共6个基本事件，
故 ， ， ， ，
则 ，故③正确；
，故④错误；
，故②错误；
3．（2023届浙江省适应性考试（三模）数学试题）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件
“第 次命中目标” ， ， ， ，则
.
【答案】
【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.
【详解】由题意， ， ，
则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
则 ；
4．（2023年云南省模拟数学试题）流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感
大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒
的试验具有如下的效果：若以 表示事件“试验反应为阳性”，以 表示事件“被诊断者患有甲型流感”，
则有 ， ．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为 ，
即 ，则 ．
【答案】
【分析】求出 ， ， ， ，由条件概率公式和全概率公式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ，
．
5．（2023年湖北省联考数学试题）2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、
丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A
表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙
派往贾努布体育馆”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】D
【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B
同时发生的情况数，得到 ，判断出A错误，
同理可得B错误；
利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.
【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有 种方法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有
种，
若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有 种，共有
种，
∴ ，
同理 ，
若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有 种，
∴ ，故事件A与B不相互独立，A错误；
同理可得， ，
若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有 种，
若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有 种情况，
综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有 种，
故 ，B错误；
，D正确；
事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有
种，
若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有 种，共有
种，
∴ ，
若事件A，C同时发生，
若丙丁2人都去往体育馆③，有 种，
若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有 种情况，
综上：事件A，C同时发的情况有 种，
∴ ， ，C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一
天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为
0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
【答案】A
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将
样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”， “第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则 ，且 与 互斥，
根据题意得： ， ， ，
则 .
7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小
质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐中取出的球是红球，白球
和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个
数是（ ）
①事件 与 相互独立；
② ， ， 是两两互斥的事件；
③ ；
④ ；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先判断出 ， ， 是两两互斥的事件，且不满足 ，①错误，②正确，
用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然， ， ， 是两两互斥的事件，且
， ，而 ，①错误，②正确；
， ，所以 ，③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
8．（2023届安徽省联考数学试题）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3
个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 和 表示由甲口袋取出的球是
红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下
列结论中正确的是（ ）
A． B．事件 与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据题意求出 ，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出 ，得到 ，判断事件事件 与事件B不相互独
立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得 ，所以A错误；
因为 ，
，所以
，即 ，
故事件事件 与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
9．（2023届江西省模拟考试数学（理）试题）三个元件 ， ， 独立正常工作的概率分别是 ， ，
，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 ， ， 中（一盒接一个元件），各
种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据题意可知电路正常工作的条件为 正常工作， ， 中至少有一个正常工作，然后利用独立
事件乘法公式分类讨论 ， ， 接入的元件不同的情况下电路正常工作的概率，结合 ， ， 的大小
关系判断最大概率.
【详解】由题意，元件 ， ， 不正常工作的概率分别为 ， ，
电路正常工作的条件为 正常工作， ， 中至少有一个正常工作，
（1）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是 ；
（2）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是 ；
（3）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是
因为 ，
所以 ，
所以此电路正常工作的最大概率是 .
10．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学试题（理科））甲罐中有5个红球，2个白
球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐
取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关
【答案】②④
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出 事件发生的条件下
B事件发生的概率，即可判断②；然后由 ，判断①和⑤；再比较
的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件 不可能同时发生，则 是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得 ，故②正确；
,①⑤错；
因为 ，所以事件B与事件A 不独立，③错；综上选②④
1
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大
小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 ， 和 表示由甲箱中取出的球是红球，
白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确
的序号是 .
①事件 ， 相互独立；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】③④⑤
【分析】首先判断出 ， 和 是两两互斥事件，再判断 与 是否相等，可确定①；
求出 可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.
【详解】依题意， ， 和 是两两互斥事件，
， ，
又 ， ①②错误；
又 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，③④正确；
，⑤正确；
故答案为：③④⑤.
12．某商场经销A，B两种生活消耗品，顾客每次必买且只买其中一种，经过统计分析发现:顾客第一次购
买时购买A的概率为 .前一次购买A的顾客下一次购买A的概率为 ，前一次购买B的顾客下一次购买A
的概率为 那么某顾客第 次来购买时购买A产品的概率为 .
【答案】
【分析】设第 次来购买时购买A产品的概率为 ，根据题设有 ，应用构造法及等比
数列的定义判断数列 为等比数列，进而写出 通项公式即可.
【详解】设某顾客第 次来购买时购买A产品的概率为 ，
由题意 ，则 ，而 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，故 .
13．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也
为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为 ．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为
．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可.
【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，
显然A，A 为样本空间的一个完备事件组，
1 2
且已知P（A）＝p，P（A|A）＝p，P（ ）＝1﹣p，P（A| ） ．
1 2 1 2
由全概率公式得，P（A）＝P（A）P（A|A）+P（ ）P（A| ） （1+p）．
2 1 2 1 2
由贝叶斯公式得，P（A|A） ．
1 2
14．（2023届山西省联考数学试题）有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不
影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为
， ， ，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ．
【答案】
【分析】若AB同时亮，则可能闭合甲开关或不闭合甲开关且同时闭合乙，丙开关.
若A亮，则闭合甲或者丙开关.则所求概率为AB同时亮概率与A亮概率之商.
【详解】设事件M为A灯亮，事件N为B灯亮，事件X为开关甲闭合，事件Y为开关乙闭合，事件Z为开
关丙闭合，则所求概率为 .
其中 ，
，
所以 .
15．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在 传 ， 又传 ， 又传 的传染现象，那么 ， ，
就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染
的概率分别为 ， ， ．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有 名第一代传播者，
名第二代传播者， 名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的 个人中的一个有所接触，则被感染
的概率为 ．
【答案】0.81/
【分析】设事件 “小明与第一代传播者接触”，事件 “小明与第二代传播者接触”，事件 “小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】明与第三代传播者接触”，事件 “小明被感染”，则 ， ， ，
， ， ，根据全概率公式计算可得答案.
【详解】设事件 “小明与第一代传播者接触”，
事件 “小明与第二代传播者接触”，
事件 “小明与第三代传播者接触”，
事件 “小明被感染”，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以所求概率为0.81．
【真题感知】
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相
互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两
盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；
该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者
进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
2．（2020年天津市高考数学试题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．
【答案】 / ；
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落
入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制
（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主
客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队
以4∶1获胜的概率是 ．
【答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．
题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的
全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
4．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））.明天上午李明要参加奥运志愿者活
动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概
率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .
【答案】0.98
【详解】设甲闹钟准时响为事件A，乙闹钟准时响为事件B，则两个闹钟没有一个准时响为事件 ，事件
A与事件B相互独立，得 ， ，
．两个闹钟至少有一个准时响与事件
对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
