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专题 11 三角形中位线及多边形
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重难突破
知识点一 三角形中位线
1、三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形的中位线是线段，不会射线，也不是直线；
（2）一个三角形的中位线共有三条，并且这三条中位线把原三角形分成全等的四个小三角新，这些三角
形的周长是原三角形周长的一半.
（3）中位线与中线不同，中位线是连接两个中点，中线是连接一个中点和一个顶点；
（4）三角形中位线定理的特点：一个条件两个结论。一个结论是中位线与第三边的位置关系（平行），
另一个结论是中位线与第三边的数量关系（一半），可根据具体情况，按需要选用。2、用法
证明一线段是另一线段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边形的对角线；③
利用三角形中位线定理。
典例1
（2020春•锦江区校级期中）如图，在 中， 是 上一点， ， ，垂足为点 ，
是 的中点，若 ，则 的长为
A．8 B．10 C．5 D．4
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
故选： ．
典例2
（2020春•龙泉驿区期末）如图， 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，
与 交于点 ，则 与 的面积之比是
A． B． C． D．
【解答】解： 点 ， 分别是边 ， 的中点，
， ，
，
．故选： ．
知识点二 多边形的内角和与外角和
1．多边形内角和公式：
边形的内角和是 ．
注意：
（1）n边形的内角和与边数有关，边数增加一条，内角和增加180°；
（2）利用公式，已知n边形的边数可求内角和，同样已知内角和也可求边数；
（3）正n边形的每个内角都相等，都等于 ．
2．多边形外角及外角和：
（1）多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；
（2）在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；
（3）多边形的外角和等于 ．
注意：
（1）正n边形的外角和与边数无关，总等于360°；
（2）正n边形的每个外角都相等，都等于 ．
典例1
（2021春•龙泉驿区期中）若一个正多边形的一个内角为 ，则这个图形为正 边形．
A．七 B．八 C．九 D．十
【解答】解：设这个正多边形的边数为 ，
，
．
故选： ．典例2
（2021春•金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为
A． B． C． D．
【解答】解：正多边形的边数为： ，
则这个多边形是正八边形，
所以该正多边形的内角和为 ．
故选： ．
典例3
（2019秋•五常市期末）若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【解答】解： 多边形从每一个顶点出发都有6条对角线，
多边形的边数为 ，
这个多边形是九边形．
故选： ．
巩固训练
一、单选题（共6小题）
1．（2020•双流区模拟）如图， ， 分别是 的边 ， 上的中点，若 ，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解： ， 分别是 ， 上的中点，
是 的中位线，
，
故选： ．
2．（2020春•温江区校级期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【解答】解：设这个多边形的边数为 ，依题意得，
解得 ，
这个多边形是十二边形，
故选： ．
3．（2020春•温江区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 5个三角形，则这个
多边形的内角和为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
答：这个多边形的内角和为 ．
故选： ．
4．（2020秋•临沭县期中）已知正多边形的一个外角等于 ，则这个正多边形的内角和的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
5．（2021春•深圳期末）如图，在 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，延长
至 ，使 ，若 ，则 的长是
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解： ， ，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，， ， ，
，
．
故选： ．
6．（2021春•莆田期末）如图，在 中， 、 是角平分线， 于点 ， 于点
． 的周长为30， ．则 的长是
A．15 B．9 C．6 D．3
【解答】证明： 的周长为30， ．
．
延长 、 分别交 于点 、 ．如图所示：
为 的角平分线，
，
，
， ，
，
，
，
同理 ， ，
为 的中位线， ，
．
故选： ．二、填空题（共5小题）
7．（2020春•青白江区期末）如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，若 的长是3，
则 的长为 ．
【解答】解： 点 ， 分别是边 ， 的中点，
，
故答案为：6．
8．（2020 春•成都期末）如图，在 中，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，已知
，则 的度数为 ．
【解答】解： ， ，
，
，
． ，
，
，
故答案为 ．
9．（2020春•金牛区期末）如图， 为 的中位线，点 在 上，且 为直角，若 ．，则 的长为 ．
【解答】解： 为 的中位线，
，
，
，
点 是 的中点， ，
，
故答案为：12．
10．（2020•郫都区模拟）如图，跷跷板 的支柱 经过它的中点 ，且垂直于地面 ，垂足为 ，
，当它的一端 着地时，另一端 离地面的高度 为 ．
【解答】解： 跷跷板 的支柱 经过它的中点 ， 、 都与地面垂直，
是 的中位线，
．
故答案为 ．
11．（2021•都江堰市模拟）如图，在正五边形 中， 是边 的延长线，连接 ，则
的度数是 度．
【解答】解： 五边形 是正五边形，， ，
，
，
故答案为：144．
三、解答题（共2小题）
12．（2021春•皇姑区校级月考）如图，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，过点
作 ，交 的延长线于点 ，若 ，求 的长．
【解答】解： 、 分别是 的边 、 的中点，
为 的中位线，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
．13．（2020春•牡丹区期末）在 中， 是 边上一点，线段 垂直 的平分线于 点，点
为 边的中点，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：在 和 中，
，
， ，
， ，
；
（2）解：在 中， ，
，
由（1）得， ，
．
