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专题 6.2 证明综合
1．如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，点 ， 分别为 、
的中点，延长 至点 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明： 平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，
，
又 点 ， 分别为 、 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
；
（2）四边形 是矩形；
理由： ，
， ，
又 ，
，
，
，
，四边形 是平行四边形，
， ，
，
又 是 的中点，
，
，
四边形 是矩形．
2．如图，在平行四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交 的延长线
于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，判断四边形 是什么特殊四边形？证明你的结论．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
，
， ，
是 边的中点，
，
在 与 中，
，，
；
（2）四边形 是矩形，理由如下：
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形 是矩形．
3．如图，平行四边形 对角线交于点 ， 、 分别是线段 、 上的点，并且
．
（1）如图1，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，若 、 分别是线段 、 上的中点，在不添加辅助线的条件下，直接
写出所有面积等于四边形 面积的三角形．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形， 、 分别是线段 、 上的中点，
由（1）可得四边形 是平行四边形，的面积 的面积 的面积 的面积 四边形 面积的三角
形．
4．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于 点， 于 点，
于 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的面积．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
，
于 点， 于 ，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 中， ，在 中， ，
即 ，
解得： ，
， ，
的面积 ．
5．如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接 并延长，交 延长线
于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，请判断并证明四边形 的形状．
【解答】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
又 为 的中点，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：四边形 是菱形；
证明： ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，，
平分 ，
，
，
，
四边形 是菱形．
6．如图，在四边形 中， ，对角线 、 交于点 ，且 ，过
点 作 ，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形；
（2）解：设 ，则 ，
由（1）得：四边形 为平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得： ，
即 ．
7．如图，在四边形 中， ， 分别是 ， 的中点．
（1）若 ， ， ， ，求 的长；
（2）若 ，求证： ．
【解答】（1）解：如图，取 的中点 ，连接 、 ．
， 分别是 、 的中点， ， ，
，且 ， 且 ．
又 ， ，
， ，
，
在直角 中，由勾股定理得到： ，
即 ；
（2）证明：如图，取 的中点 ，连接 、 ．
， 分别是 、 的中点，
，且 ， 且 ．
， ，
，
，，
，
，
．
8．在 中， 、 分别是 ， 边上的点，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，若 平分 ， ， ， ，求 的长．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，平分 ，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
是直角三角形，
，
，
在 中， ．
9．如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，延长 到点 ，使
，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ， ，若 ，求 的周长．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，，
， ，
，
的周长 ．
10．如图，平行四边形 中， ， ，分别在边 、 上的点 与
点 关于 对称，连接 、 、 、 ．
（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）求证： ．
【解答】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
四边形 是平行四边形，
，
，
点 与点 关于 对称，
， ， ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）证明： ， ，
，
，
，，
，
是等边三角形，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
又 ，
，
，
，
．
11．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ，点 在线段 上，
且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 分别是 ， 的中点，且 ，
①求证： 是等腰三角形；
②当 时，求 的面积．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，， ， ，
，
，
，
，
是 中点，
，
；
（2）①证明： ，
是等腰三角形，
是 中点，
，
，
为 中点，
，
四边形 是平行四边形，
，
、 分别是 、 的中点，
，
是等腰三角形；
②解：由①得 ，
，
，
是 的中点，
，
设 ，则 ，
，在 中， ，
，
即 ，
解得 ，
， ，
．
12．已知，如图，在平行四边形 中，延长 到点 、延长 到点 ，使得
，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ．求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
又 ，
，
；
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，
又 ，
，
四边形 是平行四边形，
．13．如图，在 中， 、 分别为 、 边上两点， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长；
（2）如图2， ， ，若 为 上一点，且 ，求证：
．
【解答】（1）解：在 中， ， ，
，
平分 ，
，
，
， ，
，
；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
，，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
即 ．
14．在 中， 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）点 是 上一点，连接 交 于点 ，且 ．若 ， ，
求 的长．
【解答】证明：（1） 四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
是 的中点，
，
在 和 中，，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
15．如图，在 中， ， 的平分线 ， 分别与线段 交于点 ，
， 与 交于点 ．
（1）求证： ， ．
（2）若 ， ， ，求 和 的长度．
【解答】（1）证明：在平行四边形 中， ，
，， 分别是 ， 的平分线，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
又 ，
，
，
同理可得 ，
；
（2）解：过点 作 交 于 ，交 于点 ，
， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
由（1）得 ，
，
，
．
16．如图，在 中， ，若 为 中点， 为 的中点．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的值．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，若 为 中点，
， ，
，
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：由（1）知 ，
同理 ，
，
，
，，
，
为 中点， 为 的中点，
，
，
的值为16．
