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专题 1.4 找规律
1．如图，已知 是等边三角形，点 ， ， ， 在同一直线上，且 ，
，则 1 5 ．
【解答】解： 是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
．
故答案为：15．
2．如图，在射线 ， 上分别截取 ，连接 ，在 ， 上分别截取
，连接 ， ，按此规律作下去，若 ，则 等于
A． 度 B． 度 C． 度 D． 度
【解答】解： ， ，
，同理 ， ，
，
，
故选： ．
3．如图，已知 ，在射线 、 上分别取点 、 ，使 ，连接 ，
在 、 上分别取点 、 ，使 ，连接 ， ，按此规律下去，记
， ， ， ，则 ．（用
含 的式子表示）
【解答】解：设 ，
则 ， ，
，
设 ，
则 ①， ②，
① ②得： ，
，．
故答案为： ．
4．在如图①所示的钢架 中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，
只能摆放7根，且 ．为了进一步加固该钢架，自点 开始自右
向左再焊上等长的钢条，如图②，且 ，则 的度数是
A．不存在的 B． C． D．
【解答】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
在△ 中， ，
即 ，
解得 ，即 ．
故选： ．
5．如图，已知： ，点 、 、 在射线 上，点 、 、 在射线
上，△ 、△ 、△ 均为等边三角形，若 ，则 的边长
为
A． B． C． D．
【解答】解： △ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，， ，
， ，
， ，
，
，
，
以此类推： ， ，△ 是直角三角形，
，
．
故选： ．
6．如图，已知： ，点 、 、 在射线 上，点 、 、 在射线
上，△ 、△ 、△ 均为等边三角形，若 ，则△
的边长为 6 4 ．
【解答】解：如图， △ 是等边三角形，， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
△ 、△ 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ， ，
，
故答案为：64．
7．如图， 中， ， ，以边 为腰作第一个 ，且
， ； 以 边 为 腰 再 作 第 二 个 △ ， 且 ，； ；按此规律所作的第 个三角形的腰长为 （用含 的式子表
示）
【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示．
， ，
， ，
， ，
．
同理，可得： ， ， ，
第 个三角形的腰长 ．
故答案为： ．
8．如图（1），△ 是边长为1的等边三角形；如图（2），取 的中点 ，画等边三角形 ，连接 ；如图（3），取 的中点 ；画等边三角形 ，连接
；如图（4），取 的中点 ，画等边三角形 ，连接 ，则 的长
为 ．若按照这种规律一直画下去，则 的长为 （用含 的式子表示）
【解答】解：如图（2），
过点 作 于点 ，
△ 是边长为1的等边三角形， 是 的中点，
．
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
同理可得， ， ，．
故答案为： ， ．
9．如图， 是边长为2的等边三角形．取 边中点 ，作 ， ，得
到四边形 ，它的面积记作 ；取 中点 ，作 ， ，得到四边
形 ，它的面积记作 ．照此规律作下去，则 ．
【解答】解： 是边长为2的等边三角形，
的高 ，
、 是 的中位线，
，
；
同理可得， ；；
．
故答案为 ．
10．如图，在标有刻度的直线 上，从点 开始，以 为边长画正三角形，
记为第1个正三角形；以 为边长画正三角形，记为第 2个正三角形；
以 为边长画正三角形，记为第 3个正三角形；以 为边长画正三
角形，记为第4个正三角形， 按此规律，继续画正三角形，则第 个正三
角形的面积为 ．
【解答】解： 第1个正三角形的边长为1， ，
第2个正三角形的边长为2， ，
第3个正三角形的边长为4， ，
第4个正三角形的边长为8， ，
第 个正三角形的边长为 ，第 个正三角形的面积为： ．
故答案为 ．
11．如图所示，已知等边三角形 的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三
角形镶嵌而成的四边形的周长是 201 0 ．
【解答】解：一个等边三角形的周长是： ；
第二个图形的周长是 ，
第三个图形的周长是 ；
第四个图形的周长是 ；
则第2008个图形的周长是： ．
故答案为：2010．
12．如图所示，正△ 的边长为64，以它的高 为边长向右侧作正△ ，再以
高 为边长向右侧作正△ ， ，按此规律下去，则第6个正△ 的边长为
A． B． C．27 D．【解答】解： 等边三角形 的边长为64， ，
， ，
根据勾股定理得： ，
，
根据勾股定理得： ，
同理： ，
，
当 时， ．
故选： ．
13．观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么 2020这个数在第 67 4 个三角
形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．
【解答】解： ， ，
这个数在第674个三角形上，且所在的位置与1所在的位置相同，
这个数在第674个三角形的上顶点处．
故答案为：674；上．
14．有一边长为 的等边 的场地，一个机器人从边 上点 出发，先由点 沿
平行于 的方向运动到 边上的点 ，再由 沿平行于 方向运动到 边上的点 ，
又由点 沿平行于 方向运动到 边上的点 ， ，一直按上述规律运动下去，则机器人至少要运动 3 0 或 6 0 才能回到点 ．
【解答】解：（1）当点 为 中点时，
与 重合，
此时机器人走的路程为三角形三条中位线的和，
即 ；
（2）当点 不为 中点时，
由机器人走的规律可知： ， ， ，
， ，
即 与 重合，
机器人经过6次转向就回到了点
，
则机器人至少要运动 或 回到点 ．
故答案为：30或60．
15．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即 ．若 个相同规格的等臂圆规的两脚
依次摆放在同一条直线上如图 2 所示，其张角度数变化如下： ，， ， ， ．，根据上述规律请你写出
．（用含 的代数式表示）
【解答】解：由张角度数变化可知顶角 ，
则 ．
故答案为： ．
