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专题 2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】..................................................................................................................2
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】..................................................................................................................4
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】..................................................................................................................5
【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】.........................................................................................................6
【题型5 指对幂函数的单调性问题】......................................................................................................................8
【题型6 指对幂比较大小】....................................................................................................................................10
【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】...................................................................12
【题型8 反函数及其应用】....................................................................................................................................14
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】.......................................................................................................16
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考
常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的
性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比
较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数
型函数、对数型函数进行变形处理.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是 ( ∈R)，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+ )上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1.指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须
同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2.对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数
的积、商、幂再运算.
(3)指对互化： (a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应
注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、
单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问
题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小关系；三是复合函数的构成，即
它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】
【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】解：因为a−1−a1=4，
所以a−2+a2=(a−1−a1
)
2+2=42+2=18.
故选：D．
1 1
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m, + =2，则m的值为（ ）
a 2b
A．36 B．6 C．√6 D．√4 6
【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【解答过程】∵3a=4b=m>0，
∴a=log m,b=log m，
3 4
1 1 1
∴ + =log 3+ log 4=log 6=2，
a 2b m 2 m m
∴m2=6，即m=√6或m=−√6（舍去）
故选：C.
【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：
(1) ( 2 7) 0.5 +0.1−2+ ( 2 10)− 3 2 −3π0+ 37 ；
9 27 48
1
(2)log 3⋅log 4+(lg5) 2+lg5⋅lg20+ lg16−2log 2 3 .
2 3 2
【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【解答过程】（1） ( 2 7) 0.5 +0.1−2+ ( 2 10)− 3 2 −3π0+ 37 = (25) 1 2+102+ (27) 3 2 −3+ 37
9 27 48 9 64 48
5 9 37
= +100+ −3+ =3+97=100.
3 16 48
1 lg3 lg4
（2）log 3⋅log 4+(lg5) 2+lg5⋅lg20+ lg16−2log 2 3 = ⋅ +lg5⋅(lg5+lg20)+2lg2−3
2 3 2 lg2 lg3
=2+lg5⋅lg100+2lg2−3=2+2(lg5+lg2)−3=2+2−3=1.
【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：
(√32×√3) 6+(√2√2)
4
3−4×
(16)− 1
2−√4 2×80.25−(−2023) 0；
49(x)
（2）已知lgx+lg y=2lg(x−2y)，求log 的值.
√2 y
【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；
x (x)
（2）解对数方程求出 ，即可得出log 的值.
y √2 y
【解答过程】（1）由题意，
(√32×√3) 6+(√2√2)
4
3−4×
(16)− 1
2−√4 2×80.25−(−2023) 0
49
4
√ 3 3 7 1 3× 1
=22×33+( 22) −4× −24×2 4−1
4
=108+2−7−2−1
=100
（2）由题意，
在lgx+lg y=2lg(x−2y)中，
¿，xy=(x−2y) 2化简得x2−5xy+4 y2=0，
(x) 2 (x) x
两边同除y2得 −5 +4=0，解得： =4或1（舍），
y y y
(x)
∴log =log 4=4.
√2 y √2
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
x
A．y=lnx B．y=log x2 C．y=log D．y=log x−2022
2 a9 2
【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.
【解答过程】形如y=log x(a＞0,a≠1)的函数叫作对数函数，它的定义域是(0,+∞)，
a
对于A，y=lnx=log x满足，故A正确；
e
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A.
【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，则α=（ ）
1
A． B．1 C．2 D．3
2【解题思路】根据题意可得3α=9，求解即可.
【解答过程】因为幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，所以3α=9，解得α=2.
故选：C.
【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数y=(a2−5a+7)ax+6−2a是指数函数，则有（ ）
A．a=2或a=3 B．a=3
C．a=2 D．a>2，且a≠3
【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.
【解答过程】由指数函数的概念，得a2−5a+7=1且6−2a=0，解得a=3．
故选：B.
【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数f(x)=(a2−3a+3)log x是对数函数，则a的值是（ ）
a
A．1或2 B．1
C．2 D．a>0且a≠1
【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【解答过程】∵函数f(x)=(a2−3a+3)log x是对数函数，
a
∴a2−3a+3=1，a>0且a≠1，
解得a=1或a=2，∴a=2，
故选：C．
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】
√2x−4
【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−5
A．(−∞,2] B．(−∞,5)∪(5,+∞)
C．[2,+∞] D．[2,5)∪(5,+∞)
√2x−4
【解题思路】函数f (x)= 的定义域满足¿，解得答案.
x−5
√2x−4
【解答过程】函数f (x)= 的定义域满足¿，解得x≥2且x≠5.
x−5
故选：D.
( 1)
【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点 2, ，则（ ）
4
A．f(x)为减函数 B．f(x)的值域为(0,+∞)C．f(x)为奇函数 D．f(x)的定义域为R
【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.
【解答过程】解：设f(x)=xα，将 ( 2, 1) 代入，得2α= 1 ，解得α=−2，
4 4
故f(x)=x−2，易知f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，且值域为(0,+∞)，故A选项错
误，B选项正确；
f(x)=x−2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=(−x) −2=x−2=f(x)，为偶函数，
C，D选项错误；
故选：B．
【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
1
A．y=lnx B．y=ex C．y=x3 D．y=
x
【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【解答过程】A. 函数y=lnx的定义域为(0,+∞)，值域为R；
B. 函数y=ex的定义域为R，值域为(0,+∞)；
C. 函数y=x3的定义域为R，值域为R；
1
D. 函数y= 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}，
x
故选：C.
【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数f (x)=¿则函数f (x)值域是（ ）
A．(−∞,2] B．(−2,2]
C．(1,4] D．(−∞,4]
【解题思路】结合分段函数的单调性来求得f (x)的值域.
1
【解答过程】当x⩽1时，y=3x−2单调递增，值域为(−2,1]；当10,a≠1)的图象如
a
图，则下列结论成立的是（ ）A．a>1,c>1 B．a>1,01 D．00=log 1，所以01 D．m，n是偶数，且 >1
n n
【解题思路】根据图象得到函数的奇偶性及(0,+∞)上单调递增，结合m、n∈N*且互质，从而得到答案.
m
【解答过程】由图象可看出 y=xn为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，
m
故 ∈(0,1)且m为偶数，又m、n∈N*且互质，故n是奇数.
n
故选：B.
2|x|
【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数f (x)= ，则函数f (x)的图象的可能是（ ）
ex−e−xA． B．
C． D．
【解题思路】分析函数f (x)的定义域、奇偶性及其在x>0时，f (x)的符号，结合排除法可得出合适的选项.
2|x|
【解答过程】对于函数f (x)= ，有ex−e−x≠0，解得x≠0，
ex−e−x
所以，函数f (x)的定义域为¿，
2|−x| 2|x|
因为f (−x)= =− =−f (x)，即函数f (x)为奇函数，排除BD选项，
e−x−ex ex−e−x
2|x|
当x>0时，ex>e−x，则f (x)= >0，排除C选项.
ex−e−x
故选：A.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，
5 1 1
c，d分别是下列四个数： ，√3， ， 中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
4 3 25 1 1 5 1 1
A． ，√3， ， B．√3， ， ，
4 3 2 4 3 2
1 1 5 1 1 5
C． ， ，√3， ， D． ， ， ，√3，
2 3 4 3 2 4
【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
5 1 1
【解答过程】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而√3> > > .
4 2 3
故选：C．
【题型5 指对幂函数的单调性问题】
【例5】（2022上·北京朝阳·高三统考期中）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．y=log x B．y=2−x C．y=√x+1 D．y=x3
2
【解题思路】根据函数解析式直接判断单调性.
【解答过程】A选项：函数y=log x的定义域为(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，A选项错误；
2
B选项：函数y=2−x=
(1) x
的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；
2
C选项：函数y=√x+1的定义域为[−1,+∞)，且在[−1,+∞)上单调递增，C选项错误；
D选项：函数y=x3的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；
故选：B.
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若幂函数f(x)=(2m2−3m−1)xm在(0,+∞)上单调递减，则
m=（ ）
1 1
A．2 B． C．− D．-2
2 2
【解题思路】由幂函数的定义和性质求解即可.1
【解答过程】由幂函数的定义可知，2m2−3m−1=1，即2m2−3m−2=0，解得m=2或m=−
.
2
当m=2时，f(x)=x2，在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
1 1 1
当m=−
2
时， f(x)=x − 2，在(0,+∞)上单调递减，符合题意，故m=−
2
.
故选：C.
【变式5-2】（2023·广东韶关·统考一模）函数f (x)=log (x2−4)在(−∞,a)上单调递减，则实数a取值范
2
围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[2,+∞) C．(−∞,0] D．[0,+∞)
【解题思路】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.
【解答过程】f (x)的定义域是(−∞,−2)∪(2,+∞)，
令y=log t，其在定义域上单调递增，
2
t=x2−4，在(−∞,−2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知，a∈(−∞,−2].
故选：A.
【变式5-3】（2023·北京东城·统考二模）设函数f(x)=¿，若f(x)为增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(0,4] B．[2,4]
C．[2,+∞) D．[4,+∞)
【解题思路】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a>0且a2≥2a，结合y=x2与y=2x的函数图
象及增长趋势求出参数的取值范围.
【解答过程】因为f(x)=¿，当x≤a时f(x)=2x函数单调递增，
又y=x2在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
要使函数f(x)为增函数，则a>0且a2≥2a，
又函数y=x2与y=2x在(0,+∞)上有两个交点(2,4)和(4,16)，
且y=2x的增长趋势比y=x2快得多，
y=x2与y=2x的函数图象如下所示：所以当x>4时2x>x2，当22x，当0x2，
所以2≤a≤4，即实数a的取值范围是[2,4].
故选：B.
【题型6 指对幂比较大小】
(1) log 3 0.3
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6log 2 3.4，b=6log 4 3.6，c= ，则（ ）
6
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
10
【解答过程】因为log 3.4>log 2=1=log 4>log 3.6，log 0.3−1=log >log 3=1，
2 2 4 4 3 3 3 3
3
3 10
又因为log 3.4>log 2√2= =log 32=log 3√3>log =−log 0.3，
2 2 2 3 3 3 3 3
所以，log 3.4>−log 0.3>log 3.6，
2 3 4
所以，6log 2 3.4>6−log 3 0.3= (1) log 3 0.3 >6log 4 3.6 ，即a>c>b.
6
故选：C.
4
【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设 a=e − 3 ，b=ln3，c=3−1+log 3 2，则（ ）
A．clne=1，c=3−1+log 3 2= 1 ×2= 2 ，
e 2 3 3
所以alog π=b>log 3=1，即a>b>1，
e 3 3
∵a=lnπ=ln(√π) 2 , c=√πln2=ln2√π，
下面比较(√π) 2 与2√π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=√π∈(0,2)，故(√π) 2 <2√π，故lnπ0，解得m>− ，
2
所以，m=1，故f (x)=x3 .
（2）由（1）可知，f (x)=x3，该函数的定义域为R，对任意的x∈R，f (−x)=(−x) 3=−x3=−f (x)，则函数f (x)为R上的奇函数，
因为函数f (x)=x3在[0,+∞)上为增函数，则该函数在(−∞,0]上也为增函数，
所以，函数f (x)在R上为增函数，
3
由f (√2−a)log
1
(x−1)−1
．
2 2
(2)1≤4x−3⋅2x+3≤7．
【解题思路】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分1≤4x−3⋅2x+3和4x−3⋅2x+3≤7两部分进行求解，然后取交集即可.
log (x2−x−2)>log (x−1)−1=log [2(x−1)]
【解答过程】（1） 1 1 1 ，
2 2 2
由对数函数的性质可得：¿，解得x>2，
y=log x
由于 1 为递减函数，所以x2−x−2<2(x−1)，解得00，不等式等价为x−2≥0，此时不等式解集为[2,+∞)；
②当0log a；
1 2 2 2
此时不等式解集为[2,+∞)∪(−∞,log a]；
2
③当a=4时，方程(x−2)(2x−a)=0仅有一根，即x=2，此时不等式解集为R；
④当a>4时，方程(x−2)(2x−a)=0有两根，即x =2,x =log a，且20且
a
a≠1.
(1)若a>1，b=0，求不等式f (x+1)≤f (x+4)的解集；
(2)若∀m∈[1,+∞)，f (2m+1)≥f (2m+2)，求b的取值范围.【解题思路】（1）根据复合函数单调性得到f(x)的单调性，再分类讨论即可；
（2）首先得到2m+1≥2m+2≥4，再转化为单调性问题，最后对a分类讨论即可.
【解答过程】（1）当b=0时，f(x)=log (x2−1).
a
由x2−1>0，解得x>1或x<−1，所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞).
因为f(−x)=log (x2−1)=f(x)，所以f(x)为偶函数.
a
因为函数y=x2−1在(−∞,−1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
当x+1>1，即x>0时，此时函数单调递增，且x+4>x+1，原不等式成立.
当x+1<−1,x+4>1，即−3x+1恒成立，即当x+4<−1时，不等式无解，
[ 5 )
综上，原不等式的解集是 − ,−2 ∪(0,+∞).
2
（2）因为m≥1，且2m+1−2m−2=2m−2≥21−2=0，所以2m+1≥2m+2≥4，
又因为f (2m+1)≥f (2m+2)，所以f(x)在[4,+∞)上单调递增.
[ b )
当01时，要使f(x)在[4,+∞)上单调递增，
则t(x)=x2+bx−1在[4,+∞)上单调递增，且t(x)>0在[4,+∞)上恒成立，
15
所以¿，解得b>−
.
4
( 15 )
综上，b的取值范围是 − ,+∞ .
4
【题型8 反函数及其应用】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）设函数y=f (x)存在反函数y=f−1(x)，且函数
y=x2−f (x)的图象过点(2,3)，则函数y=√x−f−1(x)的图象一定过点（ ）
A．(1,−1) B．(3,2) C．(1,0) D．(2,1)【解题思路】根据函数y=x2−f (x)的图象过点(2,3)，得到f (2)=1，即y=f (x)的图象过点(2,1)，然后再
根据原函数和反函数图象上的点的对称性求解.
【解答过程】解：因为函数y=x2−f (x)的图象过点(2,3)，
所以22−f (2)=3，解得f (2)=1，即y=f (x)的图象过点(2,1)，
所以y=f−1(x)的图象过点(1,2)，y=−f−1(x)的图象过点(1,−2)，
所以y=√x−f−1(x)的图象过点(1,−1)，
故选：A.
【变式8-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数y=f (x)的图象与y=log (x+a)的图象关于直线
2
y=x对称，且满足f (1)+f (2)=2，则a=（ ）
A．4 B．2 C．1 D．−1
【解题思路】根据图象的对称性得点(f (1),1)，(f (2),2)在函数y=log (x+a)的图象上，列方程组求解即
2
可得解.
【解答过程】函数y=f (x)的图象与y=log (x+a)的图象关于直线y=x对称，
2
所以点(f (1),1)，(f (2),2)在函数y=log (x+a)的图象上，
2
所以¿，所以¿，所以f(1)+f(2)+2a=6，
又f (1)+f (2)=2，所以2+2a=6，所以a=2.
故选：B.
(1) x
【变式8-2】（2022上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）已知函数f (x)= ，函数y=g(x)的图象与
2
y=f (x)的图象关于直线y=x对称，则函数y=g(−x2+2x)的单调递减区间为（ ）
A．(0,1) B．(1,+∞) C．(−∞,1) D．(1,2)
g(x)=log x
【解题思路】先由反函数的性质得到 1 ，再由对数函数的定义域求得00，得0 ℎ[log (2a+1)]对任意x≥log 3恒成立，求实数a的取值范围．
2 4 4
【解题思路】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算进行求解即可；
（2）根据复合函数的定义，结合函数单调性的性质、对数与指数恒等式、对数的运算性质进行求解即可.
【解答过程】（1）因为函数f(x)=log (4x+1)−mx是偶函数，
4
所以f(x)−f (−x)=0⇒log (4x+1)−mx−log (4−x+1)+mx=0，
4 4
4x+1 4x(4x+1)
⇒log =2mx⇒log =2mx⇒x=2mx，
4 4−x+1 4 1+4x
1
对于任何实数x都成立，所以有2m=1⇒m= ；
2
1
（2）由（1）可知：ℎ(x)=f(x)+ x=log (4x+1)，
2 4
4x−1
g(x)= =2x−2−x ，
2x
g[ℎ(x)]> ℎ[log (2a+1)]⇒2log 4 (4x+1)−2−log 4 (4x+1)>log [4log 4 (2a+1)+1]
4 4
1 1
−
⇒(4x+1)2−(4x+1) 2>log (2a+2),
4
1 1
当x≥log 4 3时，显然函数 y=(4x+1)2−(4x+1) − 2是单调递增函数，
1 1 1 1 1 1
− − − 3
所以有(4x+1)2−(4x+1) 2≥(4log 4 3+1)2−(4log 4 3+1) 2=(3+1)2−(3+1) 2= ，
2
所以要想g[ℎ(x)]> ℎ[log (2a+1)]对任意x≥log 3恒成立，
4 4
1
所以有2a+1>0⇒a>− ，
23
因此只需log (2a+2)< =log 23 ⇒0<2a+2<8⇒−1− ，所以3>a>− ，
2 2
( 1 )
即实数a的取值范围为 − ,3 .
2
a−x
【变式9-1】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数f (x)=log ，
1 2+bx
9
g(x)=m⋅4x−2x+2+3.
(1)若y=lg[g(x)]的值域为R，求满足条件的整数m的值；
1
(2)若非常数函数f (x)是定义域为(−2,2)的奇函数，且∀x ∈[1,2)，∃x ∈[−1,1]，f (x )−g(x )>− ，
1 2 1 2 2
求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数y=lg[g(x)]的值域为R，可得函数g(x)的值域包含(0,+∞)，再分m=0，
m>0和m<0三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数f (x)的解析式，再根据∀x ∈[1,2)，∃x ∈[−1,1]，
1 2
1 1
f (x )−g(x )>− ，则只要f (x) + >g(x) 即可，求出函数f (x)的最小值，再从m分情况讨论，结合
1 2 2 min 2 min
二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.
【解答过程】（1）因为函数y=lg[g(x)]的值域为R，
所以函数g(x)的值域包含(0,+∞)，
g(x)=m⋅4x−2x+2+3=m⋅(2x) 2 −4⋅2x+3，
当m=0时，g(x)=−2x+2+3，其值域为(−∞,3)，不满足条件，
当m≠0时，令t=2x,t∈(0,+∞)，
2
则函数y=mt2−4t+3的对称轴为t= ，
m
( 2) 2 2 4
当m>0时，y =m⋅ −4⋅ +3=3− ，
min m m m
[ 4 )
即g(x)的值域为 3− ,+∞ ，
m4
所以¿，解得0− ，
1 2 1 2 2
1
得∀x ∈[1,2)，∃x ∈[−1,1]，f (x )+ >g(x )，
1 2 1 2 2
1
只要f (x) + >g(x) 即可，
min 2 min
2−x 4−(2+x) 4 ( 1]
当x∈[1,2)时， = = −1∈ 0, ，
2+x 2+x 2+x 3
1 1
所以函数f (x) =log = ，
min 1 3 2
9
1
则f (x) + =1，
min 2
g(x)=m⋅4x−2x+2+3=m⋅(2x) 2 −4⋅2x+3，
[1 ]
令n=2x，因为x∈[−1,1]，所以n∈ ,2 ，
2
[1 ]
函数y=m⋅n2−4n+3,n∈ ,2 ，
2
[1 ]
当m=0时，y=−4n+3,n∈ ,2 ，
2
则n=2时，y =−5<1恒成立，符合题意；
min[1 ] 2
当m≠0时，函数y=m⋅n2−4n+3,n∈ ,2 的对称轴为n= ，
2 m
当m<0时，则n=2时，y =4m−5<0恒成立，符合题意；
min
2 1
当0< ≤ ，即m>4时，
m 2
1 1
则n= 时，y = m+1，
2 min 4
所以¿，不等式组无解；
2
当 ≥2，即00，得到单调性.
1 2 1 2 1 2
[5 )
（3）根据单调性确定x∈(0,1]时f (x)的值域A= ,+∞ ，设t=log x,t∈[1,3]，换元得到二次函数，
3 2
计算g(x)最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【解答过程】（1）由已知函数需满足4x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为R，
4x+1
函数f (x)= 为奇函数，所以f (−x)=−f (x)，
4x+a4−x+1 4x+1
即 =− 在R上恒成立，即(a+1)(4x+1)=0，a=−1（舍），
4−x+a 4x+a
当a<0时，x≠log (−a)，函数的定义域为(−∞,log (−a))∪(log (−a),+∞)，
4 4 4
4x+1
又函数f (x)= 为奇函数，所以log (−a)=0,a=−1，
4x+a 4
4x+1
此时f (x)= ，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
4x−1
4−x+1 4x+1
f (−x)= = =−f (x)，函数为奇函数，满足，
4−x−1 −4x+1
综上所述：a=−1；
（2）f (x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，证明如下：
4x+1 2
f (x)= =1+ ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
4x−1 4x−1
设∀x ,x ∈(0,+∞)，且x 0,4x 2−1>0,4x 2−4x 1>0，
1 2 1 2
所以f (x )>f (x )，所以f (x)在(0,+∞)上单调递减，
1 2
同理可证，所以f (x)在(−∞,0)上单调递减；
（3）函数f (x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，
且当x∈(−∞,0)时，f (x)<0，当x∈(0,+∞)时，f (x)>0，
5 [5 )
x ∈(0,1]时，f (x)≥f (1)= ，所以当x∈(0,1]时f (x)的值域A= ,+∞ ，
2 3 3
x x
又g(x)=log ⋅log +m=(log x−1)(log x−2)+m,x∈[2,8]，
22 24 2 2
设t=log x,t∈[1,3]，则y=(t−1)(t−2)+m=t2−3t+2+m，
2
3 1
当t= 时，取最小值为− +m，当x=3时，取最大值为2+m，
2 4[ 1 ]
即g(x)在x∈[2,8]上的值域B= − +m,2+m ，
4
又对任意的x ∈[2,8]，总存在x ∈(0,1]，使得g(x )=f (x )成立，
1 2 1 2
1 5 23 [23 )
即B⊆A，所以− +m≥ ，解得m≥ ，即m∈ ,+∞ .
4 3 12 12
【变式9-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数f (x)=log (ax2−x+a2−3)，g(x)=xα+x−α
3
(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.
( 3)
(2)a=2时，F(x)=f (x)−log 3在x∈ 1, 是否存在零点？给出结论并证明.
4 2
5
(3)若g(2)= ，f(g(x))存在两个零点，求a的取值范围.
2
【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(x)的最小值，直接写出答案即可；
（2）判断F(x)的单调性，结合零点存在性定理判断；
（3）由题意，求出α的值，将f(g(x))存在两个个零点转化为f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上
存在一个零点或两个零点为−2和2，结合二次函数分情况讨论即可.
【解答过程】（1）因为x>0，所以xα>0，
1 √ 1
所以g(x)=xα+x−α=xα+ ≥2 xα× =2，
xα xα
1
当且仅当xα= ，即α=0时，等号成立，
xα
所以当x>0时，g(x)=xα+x−α的最小值为2；
( 3)
（2）a=2时，F(x)=f (x)−log 3在x∈ 1, 上存在零点，证明如下：
4 2
当a=2时，f (x)=log (2x2−x+1)，
3
令t=2x2−x+1=2 ( x− 1) 2 + 7 >0，
4 8
( 3)
所以函数t在 1, 上单调递增，又因为y=log t在(0,+∞)上单调递增，
2 3
( 3)
所以F(x)=log (2x2−x+1)−log 3在区间 1, 上单调递增，
3 4 2
所以F(1)=log 2−log 3，而
3 4ln2 (ln2+ln4) 2 (ln2+ln4) 2 (3ln2) 2
log
3
2
=
ln3
=
ln2ln4
<
2
=
2
=
2
=
(3ln2) 2
=
(ln8) 2
<1，
log 3 ln3 (ln3) 2 (ln3) 2 (ln3) 2 (ln3) 2 2ln3 ln9
4
ln4
所以F(1)=log 2−log 3<0，
3 4
(3)
又F =log 4−log 3，log 4>1，log 3<1，
2 3 4 3 4
(3)
则F =log 4−log 3>0，
2 3 4
(3)
所以F(1)F <0，
2
( 3)
F(x)=log (2x2−x+1)−log 3在区间 1, 上单调递增，
3 4 2
( 3)
所以F(x)在x∈ 1, 上存在零点.
2
1 5
（3）由g(2)=2α+ = ，解得α=±1，
2α 2
1
则g(x)=x+ ∈（−∞，−2]∪[2,+∞）.
x
f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上存在一个零点或两个零点为−2和
2，
令G(x)=ax2−x+a2−4，
则G(x)=ax2−x+a2−4在x∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上存在一个零点或两个零点为−2和2，
（i）零点为−2和2，代入解得a∈∅，
1
（ii）当a>0，对称轴x= >0，
2a
则只需¿，
解得a∈(√6−2,√10−2)，
（iii）a=0，G(x)=−x−4，满足题意，
1
（iv）a<0，对称轴x= <0，
2a
则只需¿，
解得a∈(−2−√10,−2−√6)，综上所述，a∈(−2−√10,−2−√6)∪(√6−2,√10−2)∪{0}.
xex
1．（2023·全国·统考高考真题）已知f(x)= 是偶函数，则a=（ ）
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.
xex xex (−x)e−x x[ex−e(a−1)x]
【解答过程】因为f (x)= 为偶函数，则f (x)−f (−x)= − = =0，
eax−1 eax−1 e−ax−1 eax−1
又因为x不恒为0，可得ex−e(a−1)x=0，即ex=e(a−1)x，
则x=(a−1)x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[−2,0)
C．(0,2] D．[2,+∞)
【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，
a 2 a2 a
则有函数y=x(x−a)=(x− ) − 在区间(0,1)上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，
2 4 2
所以a的取值范围是[2,+∞).
故选：D.
3．（2022·天津·统考高考真题）化简(2log 3+log 3)(log 2+log 2)的值为（ ）
4 8 3 9
A．1 B．2 C．4 D．6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
1 1 1
【解答过程】原式=(2× log 3+ log 3)(log 2+ log 2)
2 2 3 2 3 2 3
4 3
= log 3× log 2=2，
3 2 2 3
故选：B.
4．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5c=0.60.5.
所以b>a>c.
故选：D.
5．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解答过程】对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f (x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
1
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y= 在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)= 在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
2x
1
对于C，因为y= 在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
x
1
所以f (x)=− 在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
x
|1 | 1
对于D，因为f
(1)
=32
−1
=32=√3，f (1)=3|1−1|=30=1,f (2)=3|2−1|=3，
2
显然f (x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误.
故选：C.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=e−(x−1)2．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解答过程】令g(x)=−(x−1) 2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为 √6 −1− ( 1− √3) = √6+√3 − 4 ，而(√6+√3) 2 −42=9+6√2−16=6√2−7>0，
2 2 2 2
√6 ( √3) √6+√3 4 √6 √3
所以 −1− 1− = − >0，即 −1>1−
2 2 2 2 2 2
√6 √3
由二次函数性质知g( )g( )，
2 2 2 2
√2 √6 √3
综上，g( )c>a.
故选：A.
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知2a=5,log 3=b，则4a−3b=（ ）
8
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
【解题思路】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
1 4a (2a) 2 52 25
【解答过程】因为2a=5，b=log 3= log 3，即23b=3，所以4a−3b= = = = ．
8 3 2 43b (23b) 2 32 9
故选：C.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 10>1，再利用基本不等式，换底
9
公式可得m>lg11，log 9>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
8
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0.
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=log 10∈(1,1.5)．
9
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f′ (x)=mxm−1−1，
1
令f′ (x)=0，解得 x =m1−m ，由m=log 9 10∈(1,1.5) 知x 0 ∈(0,1) .
0
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9log 9 10−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
p
L =20×lg ，其中常数p (p >0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
p p 0 0
0
与声源的距离 声压级
声源
/m /dB
燃油汽车 10 60∼90
混合动力汽
10 50∼60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则（ ）．
1 2 3
A．p ≥p B．p >10p
1 2 2 3
C．p =100p D．p ≤100p
3 0 1 2
【解题思路】根据题意可知L ∈[60,90],L ∈[50,60],L =40，结合对数运算逐项分析判断.
p p p
1 2 3
【解答过程】由题意可知：L ∈[60,90],L ∈[50,60],L =40，
p p p
1 2 3
p p p
对于选项A：可得L −L =20×lg 1−20×lg 2=20×lg 1 ，
p 1 p 2 p p p
0 0 2p p
因为L ≥L ，则L −L =20×lg 1≥0，即lg 1≥0，
p 1 p 2 p 1 p 2 p p
2 2
p
所以 1≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确；
p 1 2 1 2
2
p p p
对于选项B：可得L −L =20×lg 2−20×lg 3=20×lg 2 ，
p 2 p 3 p p p
0 0 3
p p 1
因为L −L =L −40≥10，则20×lg 2≥10，即lg 2≥ ，
p 2 p 3 p 2 p p 2
3 3
p
所以 2≥√10且p ,p >0，可得p ≥√10p ，
p 2 3 2 3
3
当且仅当L =50时，等号成立，故B错误；
p
2
p p
对于选项C：因为L =20×lg 3=40，即lg 3=2，
p 3 p p
0 0
p
可得 3=100，即p =100p ，故C正确；
p 3 0
0
p
对于选项D：由选项A可知：L −L =20×lg 1 ，
p 1 p 2 p
2
p
且L −L ≤90−50=40，则20×lg 1≤40，
p 1 p 2 p
2
p p
即lg 1≤2，可得 1≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确；
p p 1 2 1 2
2 2
故选：ACD.
10．（2023·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= 1 ．
2 2
1
【解题思路】根据给定条件，把x= 代入，利用指数、对数运算计算作答.
2【解答过程】函数f(x)=4x+log x，
2
1
1 1
所以f( )=42+log =2−1=1.
2 22
故答案为：1.
