文档内容
八年级数学·下 新课标[北师]
第六章 平行四边形
1.了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外
角和公式.
2.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对
角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边
分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.了解两条平行线之间距离的定义,能度量两条平行线之间的距离.
5.探索并证明三角形中位线定理.
6.探索平行四边形的中心对称性质.
1.经历平行四边形的性质定理和判定定理的探究过程.
2.经历三角形中位线定理的探究证明过程.
3.经历多边形的内角和定理的探究过程和外角和定理的证明过程.
1.在探究平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定
理以及它们的应用中,体会一些数学思想方法,如分类讨论思想、构造思想、转化思想等.
2.在整个教学活动中,丰富学生从事数学活动的经验,进一步提高合情推理能力,增强简单的逻辑推理意
识,培养学生克服困难的信心、与人交流的合作精神和养成从实践到理论再到实践的科学态度.
首先通过图形的拼、剪引入平行四边形,逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及
平行四边形的判定方法,然后在直观的、现实的情境和一些探索性活动中研究三角形中位线定理,最后,通过
一个十分有趣的“多边形广场”的连续情境,比较自然地呈现多边形内角和、外角和的探索过程.本章特别
强调图形性质的探索过程,而不是简单地得到平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多
边形的内角和定理和外角和定理.
结合以上分析的教材编写思路,在教学中首先要创设使用教材中问题的情境,把教材中不动的问题情境
转化为学生互动的问题情境,在教师的引导下,经过学生充分的思考、讨论,并结合大量特例,由学生自己归
纳、总结发现.此外,还要根据实际情况,对不同的学生进行有针对性的指导,使不同的学生都有发展,真正把
课堂还给学生,使学生真正地变为课堂学习的主人,教师只是学生学习的引导者和组织者.
【重点】
1.平行四边形的性质定理.
2.平行四边形的判定定理.3.三角形中位线定理.
4.多边形的内角和定理.
5.多边形的外角和定理.
【难点】
1.三角形中位线定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理的综
合应用.
3.在证明和解决有关问题的探究中添加适当的辅助线,使问题得以解决.
1.立足学生的生活经验和已有的数学活动经验,创设恰当的问题情境,展现图形性质的探索过程.
本章教材在引导学生探索有关结论时,设计了一些问题情境.教学中,教师可以利用教材中呈现的素材.
如果条件允许,教师也可以根据实际情况创设更现实、更有趣的问题情境.
2.让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程,加深对合情推理和演绎推理的认识.
在本章教学中,不论是平行四边形的性质定理和判定定理,还是三角形中位线定理、多边形的内角和定
理与外角和定理,都建议让学生先进行自主探索,通过探索发现结论,然后进行证明.要让学生体会证明活动
是探索活动的自然延续和必要发展,感受合情推理与演绎推理是相互依赖、相互补充的辩证关系.
3.重视对证明思路的启发,鼓励尝试多种证明方法.
在本章有关证明的教学中,教师应为学生的积极思考创设条件,鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路
和证明方法;提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,提高推理论证水平.
同时教师在教学时也应注意教学策略的多样化,以满足学生多样化的学习需求.
1 平行四边形的性质 2课时
2 平行四边形的判定 3课时
3 三角形的中位线 1课时
4 多边形的内角和与外角和 2课时
回顾与思考 1课时
1 平行四边形的性质
探索和证明平行四边形的性质.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.提高学生参加数学活动的积极性,注重理论和实际相结合.
【重点】 平行四边形的性质的探究与应用.
【难点】 平行四边形的性质的探究.
第 课时
1.理解并能说出平行四边形的定义.
2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.
2.探索和证明平行四边形的性质.
【难点】 平行四边形的性质的探究.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器.
[过渡语] 生活中我们随处可见一些几何图形,之前我们已经深入研究了关于“三角形”的性质和判
定,今天我们将对特殊的四边形——平行四边形进行研究.导入一:
同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?
学生根据自己的生活经验,可能回答:平行四边形、长方形、四边形……
【教师点评】 太阳光属于平行光,长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形,平行四边形是我们
常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形,因为它有一种对称美.
引出本节课研究内容:板书课题——平行四边形的性质.
[设计意图] 通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关
概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.
导入二:
【问题】 同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,
将它们相等的一组对边重合,得到一个四边形.
(1)你拼出了怎样的四边形?与同桌交流一下;
(2)给出小明拼出的四边形,它们的对边有怎样的位置关系?说说你的理由,请用简洁的语言刻画这个图
形的特征.
【学生活动】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线
段叫做它的对角线.
【教师活动】 平行四边形定义中的两个条件:①四边形;②两组对边分别平行,即AD∥BC且AB∥DC;
平行四边形的表示为“▱”.
注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指
有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让
学生认识清楚)
[设计意图] 通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.
导入三:
平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四
边形的形状.
平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质?又如何判断一个四边形是平行四边形呢?这就
是我们这节课要学习的内容.
[设计意图] 通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂,自然过渡到对平行四边形的性质的学习.
一、平行四边形的性质
[过渡语] 请同学们将你准备的纸片对折,剪下两张叠放的三角形纸片,把它们相等的一组对边重合,想
办法拼出一个四边形.
思路一
实践探索:
(1)通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.
(2)可以通过推理来证明这个结论.
(平行四边形对边相等的证明)如图(1)所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证AB=CD,BC=DA.证明:如图(2)所示,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC∥DA(平行四边形的定义).
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=DC,BC=DA.
学生证明:平行四边形的对角相等.
[设计意图] 学生通过说理,由直观感受上升到理性分析,在操作感知的基础上提升了对平行四边形的
性质的理解.
【做一做】 (1)平行四边形是中心对称图形吗?如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗?(2)你还
发现平行四边形具有哪些性质?
生1:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
生2:平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.
[设计意图] 这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同,是从整体的角度研究平行四边形中心对
称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的
性质.
思路二
[过渡语] 了解平行四边形的定义之后,我们下面对它的性质进行探究.
操作要求:
O是▱ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上,描出▱ABCD及其对角线AC,再用
大头针钉在点O处,将透明纸上的▱ABCD旋转180°.你有什么发现?
学生独立探索得到▱ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图
形,两条对角线的交点是它的对称中心.
思考:从验证▱ABCD是中心对称图形的过程中,你发现平行四边形还具有哪些性质?
发现:平行四边形的对边相等、对角相等.
[设计意图] 通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学
生通过操作更好地理解平行四边形的性质.
二、议一议
如果已知平行四边形的一个内角度数,能确定其他三个内角的度数吗?
【学生活动】 学生小组内思考、议论.
【教师点评】 可以确定其他三个内角的度数.
[设计意图] 由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等,所以已知平行
四边形的一个内角的度数,可以确定其他三个内角的度数.
三、例题讲解
[过渡语] 同学们已经会利用平行四边形的性质解决简单的问题了,你能解决下面这道题吗?试一试(多
媒体课件给出).(教材例1)已知:如图所示,在▱ABCD中, E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.
求证BE=DF.
〔解析〕 本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等),
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
(补充例题)如图所示,在▱ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.
〔解析〕 要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有
∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到
所需要的结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,AD=BC,AB=CD.
∵AE=CF,∴BE=DF.
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE.
[设计意图] 通过例题及补充例题,使学生进一步理解平行四边形的性质,并能进行简单的合情推理.
[知识拓展] 1.平行四边形是特殊的四边形,因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.
2.在学习三角形时,我们通常从边、角两方面考虑性质与判定,由于四边形有对角线,故在考虑平行四边
形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手,对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带,通过
学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
3.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.
4.平行四边形的对边相等.
5.平行四边形的对角相等.
1.在▱ABCD中,若∠B=60°,则∠A= ,∠C= ,∠D= .
答案:120° 120° 60°
2.在▱ABCD中,若∠A比∠B大20°,则∠C= .
解析:由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.
3.在▱ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD= ,CD= .解析:AD=BC=5,CD=AB=3.
答案:5 3
4.(2015·梅州中考)如图所示,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,求▱ABCD的周长.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴AE+DE=AD=BC=6,
∴AE+2=6,∴AE=4,
∴AB=CD=4,
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20.
5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.
证明:∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,
∴BF=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
{
DE=BF,
在△ADE和△CBF中, ∠ADE=∠CBF,
AD=CB.
∴△ADE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
第1课时
一、平行四边形的性质
二、议一议
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第137页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第137页习题6.1的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】1.(2015·衢州中考)如图所示,在▱ABCD中,已知AD=12 cm,AB=8 cm,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE的长
等于 ( )
A.8 cm B.6 cm
C.4 cm D.2 cm
2.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD与BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD的周长为
( )
A.5 B.7 C.10 D.14
3.在平行四边形ABCD中,
(1)若∠A-∠B=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别为 ;
(2)若平行四边形ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB= ,BC= .
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的三角形有哪几对呢?
【能力提升】
5.如图所示,在▱ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为 ( )
A.110° B.30° C.50° D.70°
6.在▱ABCD中,若∠A+∠C=200°,则∠B的度数是( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有平行四边形的个数为 (
)
A.6 B.7 C.8 D.9
8.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 ( )
5
A. 4 B.3 C. D.2
2【拓展探究】
9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求∠EDF的度数;
(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.
【答案与解析】
1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分
∠BAD,∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB,∴AB=BE.∵AD=12 cm,AB=8 cm,∴BC=12 cm,BE=8 cm.∴CE=BC-CE=4
cm.故选C.)
2.D
3.(1)105° 75° 105° 75° (2)8 16
4.解:可以找到4对全等三角形,它们是:△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
5.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC =110°,再由∠ADC+∠FDC=180°,得出∠FDC=
70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)
6.C(解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°.又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.)
7.D(解析:图中的平行四边形有:
▱AEOG,▱BHOE,▱CHOF,▱OFDG,▱ABHG,▱CHGD,▱AEFD,▱BEFC,▱ABCD.)
8.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分
∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB,∴AD=2CD,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB
=DE=3.故选B.)
9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C= 60°,∠C+∠B=180°.∵∠C= 60°,∴∠B=180°-
∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和
Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF= 30°,∴ AD=2AE=8,CD=2CF=14, ∴平行四边形ABCD的周长为
2×(8+14)=44.
本节教材中直观感知的活动较多,能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此,从理性角度分析
平行四边形的性质特点是非常重要的.
在“议一议,做一做”环节中,要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.
增加实际生活的例子,激发学生的学习兴趣,提高学习的效率.随堂练习(教材第137页)
1.解:能.设一个内角的度数为x°,则其他三个内角的度数分别为:180°-x°,x°,180°-x°.
2.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=56°,∠BCD=180°-∠B=124°. (2)∵四边形ABCD是平行
四边形,∴AB=DC=25,BC=AD=30.
习题6.1(教材第137页)
1.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=48°,∠B=180°-∠A=132°,AD=BC=3 cm.
2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°,∴∠ABC=125°.∴∠DAB=180°-∠ADC=55°,∴∠CAB=∠DAB-
∠CAD=55°-21°=34°.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
1 1
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF= ∠ADC.同理,∠ABE=
2 2
∠ABC,∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA,∴∠CDF=∠AFD,∴∠AFD=∠ABE,∴DF∥EB.∵DE∥FB,∴四边形DEBF是平行
四边形,∴BF=DE.
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点
之一,为学好全章打下基础.
学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的,课堂上可引导学生回
忆有关知识.
平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里不
仅要复习巩固,而且要加深理解.
为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形的定义前,要把平行四边形的对边、对
角让学生认清楚.
讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组
对边分别平行”时才是平行四边形;反之,平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.
要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.
教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然
后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.
教学中可以通过大量的生活实例引入新课,使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律,
达到用问题创设数学情境,提高学生的学习兴趣.
然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到
平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的引导下,初步
达到演绎数学论证过程的能力.
最后通过不同层次的典型例题、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.
第 课时1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.
2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.
3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.
经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.
2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.
【难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上节课所学内容.
导入一:
复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质.
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
③边:平行四边形的对边相等.
(3)那么平行四边形的对角线有什么特点呢?
[设计意图] 复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习
具有连贯性.
导入二:
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动, 到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于
年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,
都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?
本节课,我们将继续学习平行四边形的有关性质,你将会明白老人的分法是否合理.
[设计意图] 把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.一、性质总结
思路一
【探究】 请学生在纸上画两个全等的▱ABCD和▱EFGH,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分
别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起,在点O处钉一个图钉,将▱ABCD绕点O沿顺时针方向旋转
180°,观察它还能和▱EFGH重合吗?你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你
还能发现平行四边形的什么性质?
结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
[设计意图] 利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,
容易理解.
思路二
[过渡语] 在上节课我们研究了平行四边形的边、角的特殊关系,这节课我们研究其对角线有怎样的
特殊关系.
【学生活动】 学生小组内思考、交流.得出:平行四边形的对角线互相平分.
【师生活动】 请尝试证明这一结论.
(平行四边形的对角线互相平分的证明)已知:如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
追问:你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.
(提示:还可以证明△BOC≌△DOA)
[设计意图] 通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格
的说理证明,深化对知识的理解.
[教法说明] 因为有上节课的基础,学生对于定理的证明已具备一定的基础,但是在证明定理之后应该
给学生强调:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线
互相平分.
二、例题讲解
[过渡语] 看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了,下面我们就一起来探究一下它的应用吧!(补充例题)已知:如图(a)所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点
E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
〔解析〕 由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形的对应边相等).
∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
【延伸思考】 若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)所示的位置,那么补充例题的结论是否
仍成立?若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图(c)和图(d)所示,补充例题的结
论是否仍成立?说明你的理由.
(教材例2)已知:如图所示,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于
点E,F.
求证OE=OF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分).
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴ ∠ODE=∠OBF.
∵∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
三、做一做
如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.
〔解析〕 本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题,教学时还可以让学生求其他边
长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=6,OB=OD=3,
∴AC=12.
又∠ADB=90°,∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:
OA2=OD2+AD2,
∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.
∴AD=3❑√3.
[知识拓展] 在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一
组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图(1)中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线?
(2)由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律?
解:(1)如图(2)所示.(答案不唯一)
(2)规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.
平行四边形的性质:
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
1.判断对错:
(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( )
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( )
(4)平行四边形是轴对称图形. ( )
解析:(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由三角形
全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质和定义可知平
行四边形的两组对边分别平行且相等. (4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
答案:(1)✕ (2)√ (3)√ (4)✕
2.(2015·宁波中考)如图所示,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使
△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为( )
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判
定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,由等量减等量差相等得BE=DF,再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加
AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB,AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,求其他各边以
及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.
又OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm,
∴AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm.
∵在△AOB中,32+42=52,
即AO2+BO2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,
∴AD=5 cm,BC=5 cm.
答:这个平行四边形的其他各边长都是5 cm,两条对角线的长分别为6 cm和8 cm.
第2课时
一、性质总结
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
二、例题讲解
三、做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第139页随堂练习.
【选做题】
教材第139页习题6.2的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平行四边形中,周长等于48,
(1)已知一边长为12,求其他各边的长;
(2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长.
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8 cm,BC=10 cm,求平行四边形ABCD的面积.
3.如图所示,已知平行四边形ABOC中,A(2,1),B(4,-3),求点C的坐标.【能力提升】
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,在以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE
的长最小是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为( )
A.40),由折叠可知:AG=GC=8-x,在Rt△OAG中,
OG2+OA2=AG2,即x2+(4❑√3)2 =(8-x)2,解得x=1,∴OG=1.
7.证明:(1)∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,即
BE=DF.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
(2)∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD.∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.
本节课在引入的环节上,采用复习引入的方式,复习了平行四边形的定义和性质,唤起学生对已有知识的
回忆,让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系,为平行四边形的性质和判定的综合运用做了
铺垫.
本课时介绍了两种判定定理,留给学生练习的时间不充分,可能有部分学生掌握不好.
数学的学习要重视学习方法的指导,通过由浅入深的练习和灵活的变式,引导学生善于抓住图形的基本
特征和题目的内在联系,达到触类旁通的效果.
随堂练习(教材第142页)
1.解:四边形ABCD是平行四边形,理由如下:AD与BC平行且相等.
2.解:AB∥CD,AC∥BD,CD∥EF,CE∥DF,AB∥EF,理由如下:根据两组对边分别相等可判定四边形ABDC和四
边形CDFE都是平行四边形,故AB∥CD,AC∥BD,CD∥EF,CE∥DF,所以AB∥EF.
习题6.3(教材第142页)
1.解:四边形EABD与四边形EBCD都是平行四边形.理由如下:∵ED∥AB,且ED=AB,∴四边形EABD是平行
四边形.∵ED∥BC,ED=BC,∴四边形EBCD是平行四边形.
2.证明:在▱ABCD中,AB∥CD,即DF∥BE,又DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形.
3.证明:在△ABC和△CDA中,∠1=∠2,∠B=∠D,AC=AC,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行
四边形.
4.解:小明画图的过程是一个平移过程,平移前后对应边平行且相等,即ABAB,因此四边形ABBA 是平行
1 1 1 1
四边形.
难点的突破方法:
平行四边形的判别方法是本节课的核心内容,同时它又是后面进一步研究长方形、菱形、正方形判别
的基础,更是发展学生合情推理及说理的良好素材.本节课的教学重点为平行四边形的判别方法.在本节课
中,以探索活动为载体,并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展,从而将直观操作与简单推理有机融合,
达到突出重点、分散难点的目的.(1)平行四边形的判定方法1,3都是平行四边形性质的逆命题,它们的证明都可利用定义或前一个方法
来证明.
(2)平行四边形有四种判定方法,与性质类似,可从边、对角线两方面进行记忆.
要注意:①本教材没有把用角来作为判定的方法,教学中可以根据学生的情况作为补充;②本节课只介
绍判定方法1,2.
(3)教学中,我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境,开展有效的数学活动,如通过欣赏图片及
识别图片中的平行四边形,使学生建立对平行四边形的直观认识,并复习平行四边形的定义,建立新旧知识间
的相互联系.然后利用学生手中的学具,通过观察、测量、猜想、验证,探索构成平行四边形的条件.
在学生拼图的活动中,教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨,让学生在问题解决
中,实现对平行四边形各种判别方法的掌握,并发展了学生说理及简单推理的能力.
(4)从本节开始,就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题,凡是可以用平行四边形知识
证明的问题,不要再回到用三角形全等证明.应该对学生提出这个要求.
第 课时
1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.
2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.
1.经历平行四边形判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.
2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论
证的几何表达能力.
通过平行四边形判别条件的探索,培养学生合情推理的意识,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,
激发学生的学习热情.
【重点】 平行四边形判定方法的探究、运用.
【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 每人准备两根木条(最好是长度不等).导入一:
1.平行四边形的定义是什么?
2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些?
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
[设计意图] 教师提出问题1,2,由学生独立思考,并口答得出定义的内容,总结出判定四边形是平行四边
形的几个条件.对比平行四边形的性质,猜测平行四边形的其他判断方法.
导入二:
【操作思考】
画两条相交直线a,b,设交点为O.在直线a上截取OA=OC,在直线b上截取OB=OD,连接AB,BC,CD,DA.
你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗?
[设计意图] 通过自己动手操作,学生能够容易得出结论并且深刻领会判断方法.
[过渡语] 除了已经掌握的平行四边形的判定方法,还有其他判断一个四边形是平行四边形的方法吗?
一、平行四边形的判定定理
【活动】
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形?
【思考1】 你能说明你得到的四边形是平行四边形吗?
已知:如图所示,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
〔解析〕 目前我们证明一个四边形是平行四边形有三个基本思路:定义、两组对边分别相等和一组
对边平行且相等.根据本题的条件,我们能够通过三角形的全等,证明出线段AD和BC,AB和CD分别相等;也
能证明出AD与BC平行,AB与CD平行.
证明: ∵OA=OC,OB=OD,且∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD,
∴AB=CD.
同理可得:BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
活动提示:教师应重点关注学生实验操作的准确性;学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、
发现;学生使用几何语言的规范性和严谨性.
【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗?
平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[设计意图] 通过探究活动得出平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[过渡语] 我们一起利用平行四边形的判定定理来解决实际问题吧!
二、例题讲解
(教材例2)已知:如图(1)所示,E,F是▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BFDE是平行四边形.〔解析〕 本例综合应用了涉及对角线的性质定理和判定定理.初看起来在四边形BFDE内既找不到
等量关系,也找不到平行关系,这就需要我们利用题中给出的条件,构造出可以为证明服务的相等或平行的条
件.通过观察,线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线,连接BD后还可以间接利用到四边形
ABCD的另一条对角线.
证明:如图(2)所示,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC, OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
变式练习:对于上述例题,若E,F继续移动至OA,OC的延长线上,仍使AE=CF(如图所示),则结论还成立
吗? 请说明理由.
解:结论成立.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA=OC, OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、想一想
如图所示,有一块平行四边形玻璃镜片,不小心打掉了一块,但是有两条边是完好的.同学们想想看,有没
有办法把原来的平行四边形重新画出来?
(让学生思考讨论,再各自画图,画好后互相交流画法,教师巡回检查,对个别学生稍加点拨,最后请学生回
答画图的方法)
学生想到的画法有:
(1)分别过点A,C作BC,BA的平行线,两平行线相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平
行四边形.
(2)分别以点A,C为圆心,以BC,BA的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为
原来的平行四边形.
还有一种方法学生不易想到,即利用平行四边形对角线的特性,引导学生连接AC,取AC的中点O,再连
接BO,并延长BO到D,使DO=BO,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
[设计意图] 通过练习进行强化和巩固,加深学生对定理的理解.
[知识拓展] 判定平行四边形时常用的反例.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.(✕)
反例:如图(1)所示,AD∥BC,AB=CD,这是一个两腰相等的梯形而不是平行四边形.(2)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.(✕)
1
反例:如图(2)所示, 等腰三角形ABC中,点D是BC上的点,且CD< BC,将△ADC剪下,拼成如图(3)所示
2
的图形,则四边形ABDC虽满足“一组对边相等且一组对角相等”,但显然不是平行四边形.
(3)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.(✕)
反例:如图(4)所示,三角形ABC中,AB=AC,在AC上取点E,在AB延长线上取点D,使得BD=EC,那么四边
形BDCE即为符合“一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的反例.
证明:如图(4)所示,过E作EF∥BD交BC于点F,连接DF,则∠EFC=∠ABC,由AB=AC,得
∠ABC=∠EFC=∠ACB,∴EF=EC,∴四边形BDFE是平行四边形,∴DM=EM.
(4)一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.(✕)
反例:如图(5)所示,四边形ABCD中,OA=OC,且AC⊥BD,则∠BAD=∠BCD,且BD平分AC,但四边形ABCD
不是平行四边形.
判别一个四边形是平行四边形的方法有:
角度 判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
边
一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.判断下列说法是否正确.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形. ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形. ( )
(4)一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形. ( )
答案:(1)✕ (2)√ (3)√ (4)✕2.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:
①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(
)
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
解析:①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;①③组合可证
明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD
为平行四边形;①④组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形.故选B.
3.如图所示,AD是△ABC的边BC上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的形状.
解析:根据要求画图,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABEC的形状.
解:(1)如图所示.
(2)四边形ABEC为平行四边形.
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点
E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∵AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,
∴△FDO≌△EBO,∴OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形.
第2课时
一、平行四边形的判定定理
二、例题讲解
三、想一想
一、教材作业
【必做题】
教材第144页随堂练习.
【选做题】
教材第145页习题6.4的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】1.两组对边分别 的四边形是平行四边形,对角线 的四边形是平行四边形,一组对边平行且
的四边形是平行四边形.
2.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,若AC=12 cm,BD=10 cm,那么,当AO= cm,OD=
cm时,四边形ABCD为平行四边形.
3.如图所示,四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AB∥CD,AO=CO,求证:四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示,平行四边形ABCD中,M,N在对角线AC上,AM和CN满足怎样的关系,四边形BMDN为平行四
边形?证明你的猜想.
【能力提升】
5.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,则下列条件中,使四边形
DEBF不一定是平行四边形的是 ( )
A.OE=OF B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF D.∠ABE=∠CDF
6.如图所示,AF与BE互相平分,EC与DF互相平分,求证:四边形ABCD是平行四边形.
7.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的
大小关系和位置关系,并加以证明.
【拓展探究】
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(1,1),则第四个顶点C的坐标是多少?
【答案与解析】
1.相等(或平行) 互相平分 相等(解析:根据平行四边形的判定定理填空.)
2.6 5(解析:对角线互相平分的四边形是平行四边形.)
3.证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,又∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO.∴OB=OD,∴四边形ABCD为平行
四边形.4.解:猜想AM=CN时,四边形BMDN为平行四边形.证明:连接BD交AC于点O,则
OB=OD,OA=OC.∵AM=CN,∴OM=ON,∴四边形BMDN为平行四边形.
5.B(解析:本题考查平行四边形的概念、性质及判定,根据四边形ABCD为平行四边形,可知O是BD的中点,
若OE=OF,则四边形DEBF是平行四边形.若∠ADE=∠CBF,由四边形ABCD是平行四边形,可知
∠ADB=∠CBD,所以∠BDE=∠DBF,从而可知△DEO≌△BFO,所以OE=OF,所以四边形DEBF是平行四边形.同
理由∠ABE=∠CDF可得出四边形DEBF是平行四边形.故选B.)
6.证明:易知四边形ABFE和四边形DEFC都是平行四边形,∴ABEF,EFCD,∴ABCD,∴四边形ABCD是平
行四边形.
7.解析:根据已知条件易证得△ADO≌△CEO,进而证得四边形ADCE是平行四边形,即可得出结论.
解:猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系分别是CD=AE,CD∥AE.证明如下:
{∠DAO=∠ECO,
∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,在△ADO和△CEO中, OA=OC, ∴△ADO≌△CEO(ASA),∴AD=CE,∴
∠AOD=∠EOC,
四边形ADCE是平行四边形,∴CD∥AE且CD=AE.
8.解:当BCOA时,C和B的纵坐标相等,若选择AB为对角线,则C(3,1);若选择OB为对角线,则C(-1,1).当
1 2
ABOC时,选择OA为对角线,则C(1,-1).故第四个顶点C的坐标是:(3,1)或(-1,1)或(1,-1).
3
本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法,通过对判定方法的进一步理解,典型例
题的分析,精选的随堂练习,学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活中的问
题.
综合应用平行四边形的性质和判定来解决问题的能力训练不够.
设计较为合适的难度和数量的题目来适应学生的不同需要.通过对例题的变换加深学生对定理的理解.
随堂练习(教材第144页)
1
解:四边形BFDE是平行四边形.理由如下:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相平分,即OA=OC= AC,OD=OB=
2
1 1 1
BD,∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE= OA= OC=OF,即四边形BFDE的两条对角线EF,BD互相平分,∴
2 2 2
四边形BFDE是平行四边形.
习题6.4(教材第145页)
1.证明:在▱ABCD中,
AB=CD,AB∥CD,∴∠BAM=∠DCN,∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴∠AMB=∠DNC=90°,∴△AMB≌△CND(AAS).∴BM=DN,
又∵∠BMN=∠DNM=90°,∴BM∥DN,即BM和DN平行且相等,所以四边形BMDN是平行四边形.
2.解:(1)当BE=DF时,四边形AECF是平行四边形.理由如下:在▱ABCD中,
OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形. (2)当∠AEB=∠CFD时,四边形AECF是
平行四边形.理由如下:在▱ABCD中,OA=OC,∵∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四
边形.
1 1
3.解:(1)四边形EFGH是平行四边形.证明如下:在▱ABCD中,AC与BD互相平分,AO=CO,∵AE= AO,CG=
2 2
CO,∴EO=GO,同理可得FO=HO,即四边形EFGH的对角线EG,FH互相平分,∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是平行四边形.同(1)可证得EO=GO,FO=OH,∴四边形EFGH是平行四边形. (3)成立.
难点的突破方法:
本节课是平行四边形判定的第二节课,上一节课已经学习了判定方法1和判定方法2,再结合平行四边
形的定义,同学们已经掌握了3种平行四边形的判定方法.本节课在上节课的基础上,学习平行四边形的判定
方法3,使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明,并且通过本节课的学习,继续培养学生分析问题、寻
找最佳解题途径的能力.
本节课的知识点不难,但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易,在以后的教学中还应加强一
题多解和寻找最佳解题方法的训练.
(1)平行四边形的判定方法3可以用平行四边形的定义或平行四边形的判定方法1或2来证明,可以看
做是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题.教学中可引导学生用不同的方法进行证明,以活跃学生的
思维.
(2)学过本节后,应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法,这些判定的方法是:
从边看:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
(3)让学生了解平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.
例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线
平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.
(4)平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识,这些知识是本章的重点内容,要使学生熟
练地掌握这些知识.
如何增加条件使四边形成为平行四边形.
如图所示,四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,增加若干组条件,使得四边形ABCD是平行
四边形,请你写出4种以上的条件组合(当然希望每一个条件组合中条件个数应尽量少一些).
通过尝试,我们发现:增加两个条件,能够保证其成为平行四边形的组合有多种.
现分别从四边形的边、角、对角线以及三者的不同组合这几个角度予以列举:
(1)边:①两组对边分别平行:AB∥CD且AD∥BC(平行四边形的定义);
②一组对边平行且相等:AB∥CD且AB=CD,或者AD∥BC且AD=BC;
③两组对边分别相等:AB=CD且AD=BC.
(2)角:两组对角分别相等:∠DAB=∠BCD且∠ADC=∠ABC.
(3)对角线:对角线互相平分:AO=OC且BO=OD.
(4)边与角的组合:一组对边平行且一组对角相等.比如,AB∥CD且∠DAB=∠BCD.之所以能构成平行四边
形是因为由AB∥CD推出∠BAC=∠ACD,从而∠DAC=∠ACB,所以AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.(5)边与对角线的组合:一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线.比如,AD∥BC且BD平分AC(即
OA=OC),从这两个条件出发我们可以证明△ADO≌△CBO(AAS),于是AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边
形.
(6)角与对角线的组合:一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线.比如,
∠ABC=∠ADC且对角线BD平分AC(即AO=CO),如图所示,此时BO必定等于DO,这是因为:若DO>BO,在
DO上取一点E,使EO=BO,则此时∠AEC>∠ADC;若DOBC,BC=6 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由
A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形?
5.如图所示,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点
F,DF=2.(1)求证:D是EC的中点;
(2)求FC的长.
【能力提升】
6.如图所示,平行四边形ABCD的周长为36,过D作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4❑√3,DF=5❑√3,求平行
四边形ABCD的面积.
7.如图(1)所示,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB=90°,M为AB边中点.操作:以
PA,PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.
(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;
(2)请你利用图(2),图(3)选择不同位置的点P按上述方法操作;
(3)经历(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图(2)或
图(3)加以说明;(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图(4)操作,并写出与线段DE有关的结论(直接
写答案).
【拓展探究】
8.如图所示,▱ABCD中,AF平分∠BAD交BC延长线于F,DE⊥AF交AB于O,交CB延长线于E.求证:BE=CF.
9.如图所示,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A,B,C的坐标分别是A(-3,❑√2
),B(-2,3❑√2),C(2,3❑√2),点D在第一象限.
(1)求D点的坐标;
(2)将平行四边形ABCD先向右平移❑√2个单位长度,再向下平移❑√2个单位长度,所得的四边形ABCD 四
1 1 1 1
个顶点的坐标是多少?(3)求平行四边形ABCD与四边形ABCD 重叠部分的面积.
1 1 1 1
【答案与解析】
1.10 m 8 m 10 m(解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD=BC.又因为AB=8 m,所以CD=8
1 1
m.因为AB+BC+CD+DA=36 m,所以AD=BC= ×(36-8×2)= ×20=10(m).)
2 2
2.C
3.9 5(解析:由▱ABCD的周长是28 cm,得AB+BC=14 cm,由△OAB的周长比△OBC的周长大4 cm可得AB-
BC=4 cm,联立方程组求解即可.)
4.解:设经过x秒后,AP=BQ,则AP=x,BQ=BC-CQ=6-2x,所以x=6-2x,所以x=2.所以2秒后四边形ABQP是平行
四边形.
5.(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,又∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AB=DE,∴CD=DE,即D是EC的中点. (2)解:∵EF⊥BF,∴△EFC是直角三角形,又∵D是EC的中点,
∴DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∵∠ABC=60°,∴∠ECF=∠ABC=60°,∴△CDF是等边三角形,
∴FC=DF=2.
6.解:设AB=x,则BC=18-x,由AB·DE=BC·DF,得4❑√3x=5❑√3(18-x),解得x=10,所以平行四边形ABCD的面积
❑√3 ❑√3
S=10×4 =40 .
7.解:(1)DE∥BC,DE=BC,DE⊥AC. (2)如图(2)(3)所示,答案不唯一. (3)如图(2)所示,连接BE,PB,AE,
∵PM=ME,AM=MB,∴四边形PAEB是平行四边形.∴PA∥BE,PA=BE, ∵四边形PADC是平行四边形,
∴PA∥DC,PA=DC.∴BE∥DC,BE=DC,∴四边形DEBC是平行四边形.
∴DE∥BC,DE=BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴DE⊥AC.
(4)如图(4)所示,DE∥BC,DE=BC.
8.证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAF=∠F,又AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,
又AF平分∠BAD,DE⊥AF,∴∠AOD=∠ADO,又∠BOE=∠AOD=∠EDC,∠ADO=∠E,∴∠EDC=∠E,∴CE=CD,又
AB=CD,∴CE=BF,∴BE=CF.
9.解:(1)由B,C的坐标可知,AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等,即点D
的坐标为(1,❑√2). (2)依题意得A,B,C,D 的坐标分别为A(-3+❑√2,0),B(-2+❑√2,2❑√2),C(2+❑√2,2❑√2),D(1+
1 1 1 1 1
❑√2,0).(3)如图所示,平行四边形ABCD与四边形ABCD 重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积,由题意可得
1 1 1 1
GD=AD-AG=4-❑√2,平行四边形DEFG的高为2❑√2-❑√2=❑√2,∴重叠部分的面积为(4-❑√2)·❑√2=4❑√2-2.
本节课的设计通过对生活中实际情境的探究,引出了平行线之间的距离的定义,通过对平行四边形性质
和判定方法的进一步理解,典型例题的分析,精选的随堂练习,学生一定能够掌握平行四边形的性质和判定方
法及应用它们解决实际生活中的问题.
学生可能对平行线之间的距离处处相等不好理解,怀疑它的正确性.
利用画图和实例相结合的方法加以讲解和说明.
随堂练习(教材第147页)
1
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=180°-∠ABC=180°-70°=110°.∵BE平分∠ABC,所以∠EBC=
2
∠ABC=35°.∵DF∥BE,∴∠DFC=∠EBC=35°,∴∠CDF=180°-110°-35°=35°.
习题6.5(教材第148页)
1.证明:连接AC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠B=∠D,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平
行四边形.
2.证明:在▱ABCD中,DC∥AB,DC=AB,∵AE=CF,∴DF=EB,∴四边形DEBF是平行四边形.
∴ME∥FN,DE=BF,∵M,N分别为DE和BF的中点,∴ME=FN,∴四边形ENFM是平行四边形.
3.证明:在▱ABCD中,ABCD,∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE,又∵AB=CD,∴BF=DE,∴四边
形BFDE是平行四边形,∴FG∥HE,又∵GE∥FH,∴四边形EGFH是平行四边形,∴EG=FH.
4.解:根据一组对边平行且相等可判定一个四边形是平行四边形,进而确定对边的平行关系.
5.解:6个.如图所示.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD交于点O,过点O任作直线分别交AD,BC于E,F.
基本结论:
(1)图中的全等三角形有 对.
(2)图中相等的线段有 对.
(3)与四边形ABFE周长相等的四边形是四边形 .
(4)过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分,即S =
四边形ABFE
.
〔答案〕 (1)6 (2)7 (3)CDEF (4)S
四边形CDEF
如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC为平行四边形,A(5,0),C(1,4),过点P(0,-2)的直线分
别交OA,BC于M,N,且将平行四边形的面积分成相等的两部分,求点M,N的坐标.
解:如图所示,设AC,OB交于点E,则直线PN过点E,易求B(6,4),E(3,2),
作EF⊥OA于F,则△OPM≌△FEM,
3 3
∴OM=MF= ,∴M( ,0),
2 2
(9 )
又易证BN=OM,∴N
,4
.
2
3 三角形的中位线1.理解并能够说出三角形的中位线的定义.
2.理解并能够说出三角形中位线的性质定理,能够证明这个定理,且能够应用这个定理解决有关的问题.
经历探索三角形中位线性质定理的证明过程,体会转化的思想方法,进一步发展学生操作、观察、归纳、
推理的能力.
通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣;通过对三角形
中位线的研究,体验数学活动充满探索性和创造性.
【重点】 三角形中位线的性质定理的理解和证明,并能应用它解决有关的问题.
【难点】 三角形中位线的性质定理的证明(辅助线的添加方法)及熟练应用.
【教师准备】 演示课件.
【学生准备】 复习旋转的意义和性质.
导入一:
如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后
步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说说其中的道理吗?
[设计意图] 通过教材中这个现实的生活情境,引入三角形中位线的定义和性质.
导入二:
【情境创设】 怎样将一张三角形的硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?
1.剪一张三角形纸片,记为△ABC;分别令AB,AC的中点为D,E,连接DE;沿DE将△ABC剪成两部分,并将
△ADE绕点E按顺时针方向旋转180度到△CFE的位置,得四边形BCFD.2.判别四边形BCFD是否为平行四边形,并说明理由.
[设计意图] 引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系,从而发现三角形中位线定理的证明思路.
此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫,又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线
性质的研究转化为对平行四边形性质的研究.
一、三角形中位线的定义和性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
[过渡语] 知道了三角形中位线的定义,那么它具有什么性质呢?
方法一:度量.
(1)画图:画△ABC及△ABC的中位线DE.(D,E分别在AB,AC上)
(2)度量:用量角器测角度:∠ADE= ,∠B= ;用直尺测长度:DE= ,BC= .
(3)结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE BC.
(4)猜想:三角形的中位线与第三边的关系.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法二:旋转拼图.
如图(1)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF⊥BC,把△BDF绕点D顺时针旋转
180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC,把△CEG绕点E逆时针旋转180°得到△AEM,形成长方形HFGM.从
而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
如图(2)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF∥AC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到
△ADG,形成平行四边形AGFC.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法三:几何证明.
已知:如图(1)所示,DE是△ABC的中位线.
1
求证:DE∥BC,DE= BC.
2
证明:如图(2)所示,延长DE到F,使EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中,
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD,
∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
1
∴DE∥BC,DE= BC.
2
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
[设计意图] 通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探
究过程,积累数学活动的经验.
二、议一议
顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点?
学生容易发现:所得四边形是平行四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四
边形.
证明的方法实际上并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线,利用三角形中位线定理证明新四边
形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之
间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造“三角形的中
位线”的基本图形.
[知识拓展] 三角形的中位线是证明线段、角相等的常用方法,也是证明线段平行的常用方法,在以后
的学习中,如果知道中点时,经常用中位线定理来解答.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形.
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE= 60°,则∠C的度数为 ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
解析:在△ADE中,利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中
点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.故选C.
2.已知△ABC的周长为50 cm,D,E,F分别为△ABC中AB,BC,AC边的中点,且DE=8 cm.EF=10 cm,则DF
的长为 cm.
解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16 cm.AB=2EF=20 cm,所以BC=50-16-20=14 (cm),根据三角
1
形中位线定理可得:DF= BC=7 cm.故填7.
23.如图所示,已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上的点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于
F,G,连接AC交BD于O,连接OF,求证:
(1)AF=EF;
(2)DE=4OF.
证明:(1)如图所示,连接BE,
易知CEAB,
∴四边形ABEC为平行四边形.
∴AF=EF.
(2)由(1)知BF=FC,
∵OA=OC,
∴OF为△ABC的中位线,
1
∴OF= AB,
2
∴DE=2AB=4OF.
3 三角形的中位线
一、三角形中位线的定义和性质
二、议一议
一、教材作业
【必做题】
教材第152页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第152页习题6.6的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,且AB=BF,添加一
个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是 ( )
A.AD=BC
B.CD=BF
C.∠A=∠C
D.∠F=∠CDE
2.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点,所得的三角形的周长可能是下列数据中
的 ( )
A.6 B.8 C.10 D.123.(2014·娄底中考)如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则
△DEO的周长是 .
4.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,
△OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.
【能力提升】
5.已知1个三角形的周长为a,它的三条中位线组成第2个三角形,其周长为 ;第2个三角形的三条
中位线又组成第3个三角形,其周长为 ;依次类推,第2014个三角形的周长为 .
6.如图所示,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形
EFGH的周长为 .
7.一个三角形的三边长分别是6 cm,8 cm,12 cm,它的三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最
小是 cm.
【拓展探究】
8.如图所示,在▱ABCD中,EF∥AB交BC于点F,交AD于点E,连接AF,BE交于点M,连接CE,DF交于点N,连
1
接MN.求证:MN∥AD,MN= AD.
2
9.如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中
点,连接EF.求证:EF∥BC.
【答案与解析】1.D(解析:由∠F=∠CDE,∠FEB=∠DEC,BE=EC,可证得△BEF≌△CED,∴DE=EF,又AB=BF,∴AD∥BE,又由
∠F=∠CDE可知AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.)
2.B(解析:设原三角形的三边分别是a,b,c,令a=4,b=6,依据三角形三边关系,得2AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,
与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.
解:判断△AGD是直角三角形.证明如下:
如图(2)所示,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE,
∵F是AD的中点,
1
∴HF∥AB,HF= AB,
2
∴∠1=∠3,
1
同理HE∥CD,HE= CD,∴∠2=∠EFC,
2
∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2,
∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF为等边三角形,
∴AF=GF, ∴GF= FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°,
∴∠AGD=180°-60°-30°=90°,
即△AGD是直角三角形.
[解题策略] 本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是参考题目给出的思路,作出辅助线.连
接BD,取BD的中点H,连接HF,HE,则HF是△ABD的中位线,HE是△BDC的中位线,从而判断HE= HF,从而
得出∠1=∠2,判断△AGF为等边三角形,求出∠FGD=∠FDG=30°后即可得出结论.
4 多边形的内角和与外角和
1.掌握多边形内角和定理,进一步了解转化的数学思想.
2.掌握多边形的外角和都等于360°.
3.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关问题.
经历质疑、猜想、归纳等活动,发展学生的合情推理能力,积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作,
学会交流自己的思想和方法.让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索
和创造.
【重点】 多边形内角和、外角和定理的探索和应用.
【难点】 多边形内角和公式的推导;转化的数学思想方法的渗透.
第 课时
1.理解并能够说出多边形的内角和定理,且能够证明它.
2.能够应用多边形的内角和定理解决有关的问题.
经历多边形的内角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.
体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感.
【重点】 多边形内角和定理的探索和应用它解决有关的问题.
【难点】 在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.
【教师准备】 演示课件.
【学生准备】 量角器.
[过渡语] 数学学习中离不开对图形的研究,前面我们研究了三角形及平行四边形,那么还有边数更多
的图形吗?
导入一:
1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆
一下,三角形的内角和是多少度?
2.四边形的内角和呢?四边形的内角和是怎么得到的?
3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流.[设计意图] 通过问题暗示学生探求多边形内角和的基本方法和基本思路.
导入二:
1.三角形是如何定义的?
2.仿照三角形的定义,你能学着给四边形、五边形,…,n边形下定义吗?
[设计意图] 对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.
[过渡语] 我们已经知道了三角形的内角和是180°,那么四边形的内角和是多少度呢,你知道吗?五边形
呢?
一、多边形的内角和
思路一
1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?
①用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.
②拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.
[设计意图] 学生分组,利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和,为四边形内角和的探索奠定基础.
2.四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的?
①度量;
②拼角;
③将四边形转化成三角形求内角和.
[设计意图] 学生先通过度量、拼角两种方法,猜想得出四边形的内角和是360°,然后引导学生利用分
割的方法,将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和,进一步渗透类比、转化的数学思想.
3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好?请讲述你的理由.
度量法:不精确;
拼角法:操作不方便;
当多边形边数n较大时,度量法、拼角法都不可取.
第三种方法:精确、省事且有理论根据.
[设计意图] 通过几种方法的展示,比较几种方法的优劣,为五边形内角和的探索提供最简捷的方法.
4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢?
学生动手实践,小组讨论、交流,寻找解答方法,并共同进行归纳总结.
估计学生可能有以下几种方法:
方法1:如图(1)所示,连接AD,AC,五边形的内角和为:3×180°=540°.
方法2:如图(2)所示,连接AC,则五边形的内角和为:360°+180°=540°.
方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:4×180°-180°=540°.方法4:如图(4)所示,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:5×180°-
360°=540°.
方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2×360°-180°=540°.
方法6:如图(6)所示,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:4×180°-
180°=540°.
小结:纵观以上各种解题思路,其共同点是通过图形分割,把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问
题来解决.
[设计意图] 在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流,寻求多种不同的分割方法来得出五边形
的内角和.这既符合新课程教学理念,又符合学生的认知规律和年龄特征,同时渗透转化思想.
5.小组合作,完成下面的表格.
从一个顶点引出 分割成的三多边形的
n边形 图形
的对角线条数 角形个数 内角和
三角形
0 1 180°
(n=3)
四边形
1 2 360°
(n=4)
五边形
2 3 540°
(n=5)
六边形
3 4 720°
(n=6)
… … … … …
(n-
n边形 n-3 n-2 2)·
180°
(课件出示讨论结果)
6.从表格中你发现了什么规律?
从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.从而得出:n边形的内角和等
于(n-2)·180°.
[设计意图] 在数学学习中,培养学生善于总结规律是培养数学能力的一项重要内容,这样不仅使学生
把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系,而且进一步理解了多边形的内角和公式中的(n-2)的来历,更
有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力.
思路二
【活动1】 如何把四边形的内角和转化为三角形的内角和?你是怎样实现的?你能找到几种方法?
学生思考,并分组交流讨论,教师深入小组参与活动,指导、倾听学生交流.
方法1:如图(1)所示,2×180°=360°;
方法2:如图(2)所示,3×180°-180°=360°;方法3:如图(3)所示,4×180°-360°=360°;
方法4:如图(4)所示,3×180°-180°=360°.
[设计意图] 从简单的四边形入手,让学生亲自操作寻求结论,引起学习兴趣,鼓励学生找到多种方法,让
学生体会多种分割形式,有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形,也让学生体验数学活动充满
探索和解决问题方法的多样性.通过小组讨论,让学生各抒己见,培养学生有条理地思考与表达的能力,鼓励
学生学会倾听、分析与思考他人的见解,形成合作探究的精神.
【活动2】 请你选择其中一种方法探索五边形、六边形、七边形……的内角和,并完成下表:
多边形 内角和 计算规律
三角形 180° 1×180°
四边形 360° 2×180°
五边形 540° 3×180°
六边形 720° 4×180°
七边形 900° 5×180°
… … …
n边形 (n-2)×180° (n-2)×180°
归纳、得出多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°.
[设计意图] 通过对四边形内角和的思考研究,逐步拓展到五边形、六边形、七边形……的内角和的探
索,从而通过归纳总结得到多边形的内角和公式,并且对多边形的相关知识加以拓展.通过逐步增加图形复
杂性的设计,再一次经历转化的过程,加深对转化的思想方法的理解,并体会由简单到复杂、由特殊到一般的
思想方法.
[知识拓展] (1)多边形每增加一条边,内角和增加180°;
(2)多边形的内角和一定是180°的倍数;
(3)多边形的边数越多,内角和越大.
二、正多边形
(1)想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点?
正多边形的定义:在平面内,每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形.
[设计意图] 学生分组动手实践,通过度量和叠合,感知正多边形的特征(每个角都相等,每条边都相等),
从而使得正多边形的定义的得出水到渠成.
(2)议一议:
①一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?
②一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?
[设计意图] 通过辨析,进一步理解正多边形的定义.
(3)练一练:
①正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?
②正n边形的内角是多少度?
③一个正多边形的一个内角是150°,求它的边数.
(3-2)×180°
[生] ①正三角形的内角为 =60°.
3(4-2)×180°
正四边形(正方形)的内角为 =90°.
4
(5-2)×180°
正五边形的内角为 =108°.
5
(6-2)×180°
正六边形的内角为 =120°.
6
(8-2)×180°
正八边形的内角为 =135°.
8
(n-2)×180°
②正n边形的内角是 .
n
(n-2)×180°
③ =150°,解得n=12,所以这个多边形的边数为12.
n
[设计意图] 本组练习的设计,不仅巩固了多边形内角和公式的应用,还进一步理解了正多边形的定义.
(4)议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴
交流.
剪的位置不同,剩下的多边形的形状也不同,多边形的内角和也不同,需分类讨论.
①纸片剩下5个角时,得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
②纸片剩下4个角时,得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°.
③纸片剩下3个角时,得到的三角形的内角和为180°.
[设计意图] 引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法,增强空间
观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验.
[过渡语] 这就是我们本课要学习的重要内容,请同学们理解并熟记.下面我们一起练一练吧!
三、例题讲解
(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系?
〔解析〕 本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4-2)×180°=360°,
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°
=180°.
这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
[设计意图] 处理例题时要让学生充分参与分析,鼓励学生主动地表达和交流,在交流中发展合乎逻辑
的思考和有条理的表达能力.
[知识拓展] 多边形内角和定理的补充证法:
多边形内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°.
研究多边形内角和定理的多种证法,便于培养学生的创造性思维以及独立探索精神.该定理在初中教材
上有两种证明方法,笔者还有几种证法,现介绍给大家,以飨读者.证法一:在多边形外取一点P,与多边形各顶点相连接,这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P
点,使得其中仅有两个三角形在多边形外部,如图(1)所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和
(n·180°)减去△PAA,△PAA 两个三角形内角之和(360°),结果是(n-2)·180°.
4 5 4 3
证法二:如果没有两条边相互平行,则过A,A,A,…,A 分别作AA 的平行线,如图(2)所示.则可得到(n-3)对
3 4 5 n 1 2
同旁内角,如图中∠A 与∠1,∠A 与∠2,∠3与∠4等;还有两对内错角,如图所示的∠6与∠5,∠7与∠8.因此,n边形
1 2
的内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角,即(n-2)·180°.
如果有两条边相互平行,不妨设A A ∥AA,以AA∥AA 为例画图,则过除A,A,A,A 外的各顶点分别
m m+1 2 3 6 7 2 3 2 3 6 7
作AA 的平行线,如图(3)所示.则图中共有(n-2)对同旁内角,如∠A 与∠1,∠2与∠A,∠5与∠6等.也可得到n边
2 3 2 3
形的内角和为(n-2)·180°.
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
(n-2)×180°
正n边形的内角是 .
n
四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:(n-2)·180°=720°,解得n=6.故选C.
2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )
A.增加180° B.增加360°
C.减少360° D.不变
解析:(n-2+1)·180°-(n-2)·180°=180°.故选A.
3.一个多边形的内角和为1440°,则它是 边形.
解析:(n-2)·180°=1440°,解得n=10.故填十.
4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5,求这五个内角中的最大角和最小角.
解析:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°,再根据五边形的内角和为(5-2)×180°=540°列方
程求解.
解:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴13x+11x+9x+7x+5x=540.
解得x=12.∴最大角为13x°=156°,最小角为5x°=60°.
第1课时
一、多边形的内角和
二、正多边形
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第154页随堂练习.
【选做题】
教材第155页习题6.7的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若一个多边形的边数为8,则这个多边形的内角和是 ( )
A.900° B.540° C.1080° D.360°
2.多边形每一个内角都等于150°,则该多边形的边数是 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【能力提升】
3.求下列图形中x的值.
4.求如图所示中x的值.
【拓展探究】
5.m边形与n边形内角和的差为720°,则m与n的差为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
6.已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍,而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙
多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是7∶3,那么甲是 边形,乙是 边形.
【答案与解析】
1.C(解析:(8-2)·180°=1080°.)
(n-2)·180°
2.C(解析: =150°,解得n=12.)
n
3.解:左图x=65,右图x=120.
4.解:x=(360-140-90)÷2=65.
5.C(解析:720°÷180°=4.)6.十 六(解析:设甲多边形的边数为x,乙多边形的边数为y.依题意有:(x-3)∶(y-3)=7∶3,即3x-7y+12=0.又∵甲多
边形的内角和是乙多边形内角和的2倍,∴(x-2)·180°=2(y-2)·180°,即x-2y+2=0.由前面两个方程组成方程组,
解得x=10,y=6.∴甲是十边形,乙是六边形.)
这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上,教师充分激发学生的学习
兴趣和积极性,向学生提供了从事数学活动的机会,构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台;教师较好
地引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法,增强空间观念及数学思考
能力的培养,并获得数学活动经验.
这节课留给学生探究思考与交流的时间不足,展示交流的机会不够充分,有的同学没有表现的机会.
关注各个层面的学生的需要,提供更多的机会让每个学生都能得到发挥.本课时的知识类比性和迁移性
较强,注重设置一些开放性和规律探索性的习题.
随堂练习(教材第154页)
(n-2)·180°
解:小彬的计算不正确.由 =145°不能得到n的整数值,所以不正确.
n
习题6.7(教材第155页)
1.解:七边形.内角和为(7-2)×180°=900°.
2.解:设边数为x,(x-2)×180°=1080°,解得x=8,所以它是八边形.
(n-2)·180°
3.解:六边形.由图形可知正多边形每个内角都是120°,设边数为n,则有 =120°,解得n=6.
n
4.解:答案不唯一.如:取四边形的纸片,分别撕下每个内角,将它们的顶点拼在一起,四个内角不重叠,即可得到
一个周角.
用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成
一个正方形,如图(1)所示;用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图(2)所示,若围成一圈后中间形成
一个正n边形,则n的值为 .(6-2)×180°
〔解析〕 正六边形每个内角的度数为 =120°,图(2)中两个正六边形在同一顶点
6
处的两个角的和为240°,这表明中间正多边形的内角度数为360°-240°=120°,所以这个正多边形也是正六边
形.故填6.
一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为 (
)
A.5 B.5或6
C.5或7 D.5或6或7
错解:A
错因分析:忽略了分类讨论.
正解:D
720°
思路分析:截去一个角后,形成的多边形的边数为n= +2=6,画图可知原多边形的边数可能是5
180°
或6或7.
第 课时
1.理解并能够说出多边形的外角和定理,且能够证明它.
2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题.
经历多边形的外角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.
在解题中感受生活中数学的妙处,体验数学的探索性和创造性.
【重点】 多边形外角和定理的探索和应用它解决有关的问题.
【难点】 在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.
【教师准备】 演示课件.
【学生准备】 量角器.导入一:
[过渡语] 上一节我们研究了多边形的内角和,我们重点研究了多边形的内角和定理及它的应用,多边
形内角和定理是怎么说的?
1.上一节我们又是怎样研究得到的这个定理?对于正多边形,我们还可以求出它的每一个内角,怎么来求?
学生甲:n边形的内角和等于(n-2)·180°.
学生乙:是通过转化为三角形,再求这些三角形的内角和的和而得到的.
(n-2)×180°
学生丙:正n边形的每一个内角的度数是 .
n
[设计意图] 多边形的外角和是在多边形内角和基础上推导出来的,所以复习整理多边形内角和知识
是很必要的.
导入二:
[过渡语] 上节课我们探究了多边形的内角和公式,请完成以下题目.
(多媒体演示)如图所示,清晨,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时,跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角.
(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角一共有几个?它们的和是多少?
(3)如图所示,你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗?你是怎样得到的?
实际上以上问题中的∠1,∠2,∠3,∠4,∠5是这个五边形的外角,它们的和就是这个五边形的外角和,这也是
我们今天所要研究的——多边形的外角和.
[设计意图] 利用生活情境,设计问题,激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间.
[过渡语] 利用所学的知识你能完成下面的问题吗?
一、多边形的外角和
思路一
对于上述的问题,如果学生能给出一些合理的解释和解答(例如利用内角和),可以按照学生的思路走下
去.然后再给出“小刚的做法”或以“小刚的做法”为提示,鼓励学生思考.如果学生对于这个问题无法突
破,教师可以给出“小刚的做法”,或引导学生按“小刚的做法”这样的思路去思考,以便解决这个问题.
小明是这样思考的:如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线
OA',OB',OC',OD',OE',得到∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,其中,∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.这样,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
小刚是这样思考的:如图所示,跑步方向改变的角分别是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.
∵∠1+∠EAB=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCD=180°,
∠4+∠CDE=180°,
∠5+∠DEA=180°,
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.
问题引申:
1.如果广场的形状是六边形,那么还有类似的结论吗?
2.如果广场的形状是八边形呢?
总结得出:多边形的外角和都等于360°.
[设计意图] 通过问题的解决和延伸,引发学生自主思考,由特殊到一般,培养学生解决问题的逻辑思维
能力,也为多边形外角和的得出做好铺垫.
思路二
1.给出定义.
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多
边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
2.探究多边形的外角和.
探究多边形的外角和,提出一般性的问题:一个任意的n边形,它的外角和是多少?
鼓励学生用多种方法解决这个问题,可以参考解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题.
方法1:类似探究多边形的内角和的方法,由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …
图形 …
外角和 …
方法2:由n边形的内角和等于(n-2)·180°出发,探究问题.
结论:多边形的外角和都等于360°.
追问:
(1)还有什么方法可以推导出多边形外角和定理?
(2)利用多边形外角和的结论,能否推导出多边形内角和的结论?
[过渡语] 如何利用多边形的外角和知识解决实际问题呢?
二、例题讲解(教材例2)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形?
〔解析〕 这是多边形外角和定理的简单应用.
解:设这个多边形是n边形,则它的内角和为(n-2)·180°,外角和为360°.
根据题意,得(n-2)·180°=3×360°.
解得n=8.
所以这个多边形是八边形.
[知识拓展] 由三角形内角和推广到多边形内角和并且用于解决问题十分重要,n边形内角和等于(n-2)
个平角,即(n-2)·180°,边数增加,内角和也增加,边数减少,内角和也减少,边数每增加(减少)1,内角和就增加(减
少)180°.n边形外角和等于360°,与边数无关,它有鲜明的直观意义,设想一辆汽
车在多边形的边界上绕圈子(如图所示),每经过一个顶点,前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是
这个顶点处的外角,绕了一圈,回到原处,方向与当初出发时一致了,角度的改变量之和当然是360°.
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多
边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形的外角和都等于360°.
1.一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,则这个多边形的边数为 ( )
A.12B.13 C.14 D.15
解析:(n-2)·180°+360°=2520°,解得n=14.故选C.
2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:由外角和为360°可得最多有3个钝角.故选C.
3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是 ( )
A.六边形 B.五边形
C.四边形 D.三角形
1
解析:(n-2)·180°=360°× ,解得n=3.故选D.
2
1
4.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角都等于它的相邻内角的 ,求这个多边形的边数及内角
4
和.
解:设这个多边形的边数为n.
(n-2)·180° 360°
则 = ×4,解得n=10.
n n
内角和:(n-2)·180°=1440°.
即这个多边形的边数为10,内角和为1440°.
第2课时
一、多边形的外角和
二、例题讲解一、教材作业
【必做题】
教材第156页随堂练习.
【选做题】
教材第157页习题6.8的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是 ( )
A.十 B.九 C.八 D.六
2.各内角都相等的多边形,它的一个内角与一个外角的比是3∶2,则它是 ( )
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
3.正n边形的一个外角的度数为60°,则n的值为 .
4.如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
【能力提升】
5.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形是( )
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
6.一个多边形的每个外角都是45°,求这个多边形的边数.
7.一个正多边形的一个内角是135°,求这个多边形的边数.
8.一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大
36°,求这个正多边形的边数.
【拓展探究】
9.在五边形的五个内角中,最多能有几个钝角?最多能有几个锐角?
10.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【答案与解析】
1.B(解析:多边形的外角和为360°,则360°÷40°=9,可知此多边形的边数为九.)
2.B(解析:设它的一个内角与一个外角分别为3x和2x,则3x+2x=180°,所以x=36°,所以360°÷72°=5.)
3.6(解析:360°÷60°=6.)
4.300°(解析:∠A=120°,则与∠A相邻的外角为60°,由外角和定理,得∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°.)
5.C(解析:(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.)
6.解:360°÷45°=8,即这个多边形的边数为8.
(n-2)·180°
7.解: =135°,解得n=8.即这个多边形的边数为8.
n
8.解:设外角为x°,则内角为x°+36°,x+36+x=180,所以x=72,360°÷72°=5.即这个正多边形的边数为5.9.解:五边形的五个内角都可以是钝角,但最多能有3个锐角,否则和内角和定理矛盾.
10.解:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2×180°=360°.
本节课的设计突出对多边形的外角和定理的探究与推导过程,探究过程既有类比前一节课的方法,又有
承接多边形内角和的新方法;既是新知识的学习过程,又是旧知识的拓展过程.相信这样的设计一定能够达
到教学目标的三个维度的要求.
由于本节课的内容比较单一,学生掌握不错,但是课堂的题目偏少,缺少必要的综合题.
可以考虑增加一些课堂中的习题量,以帮助学生巩固新知识.
随堂练习(教材第156页)
解:由题意得(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.若每个内角都相等,则它们都等于720°÷6=120°.
习题6.8(教材第157页)
1.提示:四边形,它的每个外角都为90°.
2.解:存在,为正十二边形.理由如下:如果存在这样的多边形,设它的一个内角的度数为x,则相邻外角的度数
1 1 1
为 x,x+ x=180°,解得x=150°,符合题意, x=30°,360°÷30°=12,这个多边形是正十二边形.
5 5 5
3.解:内角和相差180°,外角和相等.
4.解:(1)略. (2)在缩小的过程中,四边形对应的各个外角的大小没有发生变化. (3)最终图形可以看成是由
同一点出发的四条射线.显然此时四个外角的和为360°,而在变化的过程中,四边形的各个外角大小不变,因
此可以说明四边形的外角和等于360°. (4)类似地,同样可以说明一般多边形的外角和.
5.解:设四边形的四个内角的度数分别为α°,β°,γ°,δ°,则α+β+γ+δ=360,α,β,γ,δ的值最多可以有三个大于90,否则,
若α,β,γ,δ都大于90,则α+β+γ+δ>360,与四边形内角和矛盾;同理,最多也只能有三个小于90.答:最多能有三个
钝角;最多能有三个锐角.
复习题(教材第158页)
2
1.解:设BC=x,由题意得 ×2(x+6)=x,解得x=8,所以BC=8.
7
2.解:∵∠A=30°,∠B=150°,∴AD∥CB.同理,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB=2.
3.解:共9个,分别为:▱ABCD,▱AEOG,▱DFOG,▱BEOH,▱FCHO,▱AEFD,▱BEFC,▱AGHB,▱DGHC.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABE=∠CDF,AB=CD.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.∴△ABE≌△CDF(AAS),∴∠BAE=∠DCF.
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴ADBC.∵CE=BC,∴ADCE,∴四边形ACED是平行四边形.
6.解:AB=CD.理由如下:∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD.1
7.解:如图所示,作AE⊥BC,垂足为点E.在Rt△AEB中,∠B=30°,∴AE= AB=2(cm).∴▱ABCD的面积
2
=2×9=18(cm2).
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABP=∠CDQ,AB=CD.又
∵BP=DQ,∴△ABP≌△CDQ(SAS),∴AP=CQ,∠APB=∠CQD,∴∠APQ=∠CQP,∴APCQ.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠AEB=∠CBE,∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE.同理,CD=DF.∵AB=CD,∴AE=DF,∴AF=DE.
1 1 1
11.提示:周长为 a+ b+ c.
4 4 4
12.解:
边数 3 4 5 6 …
多边形的内角和 180° 360° 540° 720° …
正多边形内角的度
60° 90° 108° 120° …
数
13.解:这个多边形是九边形.
14.解:图中的白色缝隙所形成的图形的轮廓是正方形.
15.证明:如图所示,连接AC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形,
∴点O为AC,EF中点,∵四边形ABCD是平行四边形,∴点O为AC,BD中点,∴EF经过点O.
16.证明:∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,又
∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEA=∠BFC=90°,∵DE=BF,∴△AED≌CFB(AAS),∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是
平行四边形.
1
17.解:相等.证明如下:∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC且DE= BC,又∵FG∥AB,∴四边形BDEF为平行四边
2
形,∴DE=BF,∴DE=BF=FC.
18.解:平行四边形共6个,分别为:▱ABOF,▱AOEF,▱ABCO,▱BCDO,▱EDCO,▱FEDO.(如,▱ABOF)证明如下:
∵△ABO和△OFA是等边三角形,∴∠BOA=∠FAO=60°,∠BAO=∠FOA=60°,∴AF∥BO,∴AB∥FO.∴四边形ABOF
是平行四边形.
19.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥FC.∵AC∥EF,∴四边形AEFC是平行四边形,∴AC=EF.同理,
AC=GH,∴EF=GH.
20.解:①②③⑤可以组成平行四边形,理由如下:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
9
21.提示:(1)AD=6 cm. (2)重叠部分的面积为 ❑√3 cm2.
4
22.提示:连接AC,BD,分别过点A,B,C,D作对角线BD,AC的平行线,所作四条线围成的四边形即为满足条件
的平行四边形.
总复习(教材第166页)180°-∠B 180°-20°
1.解:∵在△ABA 中,∠B=20°,AB=AB,∴∠BAA= = =80°,∵AA=AC,∠BAA是
1 1 1 2 2 1 2 1 1
∠BA A 80° ∠DA A
1 3 2
△AAC的外角,∴∠CAA= = =40°;同理可得,∠DAA=20°,∴∠A= =10°.
1 2 2 1 2 2 3 2 4 2
2.解:由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,可得∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,由BC=4,得AB=8,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=
1
❑√82-42=4❑√3,所以S = ×4❑√3×4=8❑√3.
△ABC 2
3.证明:由已知条件可得∠BEO=∠CDO=90°,OE=OD,∵∠EOB=∠DOC,∴△OEB≌△ODC(ASA),∴OB=OC.
4.解:∵DE是△ABC的AB边的垂直平分线,∴BE=AE,∵∠B=30°,∴∠B=∠BAE=30°,∵AE平分
∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE=60°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=90°.
3
5.提示:(1)x<5. (2)x<-6. (3)x>0. (4)x>3. (5)x>1. (6)x≥- . (7)x≥-2. (8)x≥-100.数轴表示略.
2
5
6.提示:(1)无解. (2)x>4. (3)-1乙旅行社收费300元,即乙更优惠.所以,当团体人数大于8人时,甲旅行社收费更优惠;当团体人数等于8人时,两家旅行社
的收费一样;当团体人数小于8人时,乙旅行社收费更优惠.
29.解:100(a+t-8)=270-3a,整理得100t=1070-103a.当a=10时,100t=1070-103×10=40,解得t=0.4.所以政府补贴
至少应为0.4元/kg.
30.解:(1)设租用x辆45座的客车,依题意,得45x=60(x-1)-30,解得x=6.所以该校参加春游的人数为270人.
{ 45 y+60(y+1)≥270, 24
(2)设租用y辆45座的客车,依题意,得 解不等式组,得2≤y< .∵y为
250 y+300(y+1)<6×250, 11
正整数,∴y=2.所以该校租用2辆45座的客车,3辆60座的客车.则2×250+3×300=1400(元).所以按这种方案
需要租金1400元.
31.解:(1)得到“A”字形图. (2)所得到的图形是由(1)中图形以原点为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到
的. (3)所得到的图形由(1)中图形以原点为旋转中心,按顺时针方向旋转90°得到的.
32.(1)图略. (2)新“鱼”各“顶点”坐标:(-3,2),(-8,-2),(-6,2),(-8,1),(-8,3),(-6,2),(-7,4),(-3,2).
33.解:所得图形与原图形关于原点对称.
C 800
35.解:当d=0.22 mm,C=80 cm时,y= = ≈579.所以该地发生地震的大致年代为
2πd 2×3.14×0.22
1403年.
960 960m 24m 24m
36.解:960÷
m
+40 =
960+40m
=
24+m
(天).所以实际
24+m
天完成了任务.
m m md md
37.解:由题意,得 - = (吨).所以每天应节约用煤 吨.
a a+d a(a+d) a(a+d)
m m 65 65
38.解:设C检工作量为m,原计划x天完成C检.由题意,得(1+30%) = ,解得x= .经检验,x= 是所
x x-5 3 3
列方程的解.所以原计划约22天完成C检.
39.解:(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),整理,得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-3a2-3b2-3c2=0,即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,则(a-
b)2+(a-c)2+(b-c)2=0.所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c.所以这个三角形是等边三角形.
1 1
40.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∵AM= AB,CN= CD,∴AM=CN,又∵AM∥CN,∴四边形
2 2
AMCN是平行四边形. (2)(3)两题中四边形AMCN是平行四边形,证明方法同(1).
41.解:(1)假命题.其逆命题:相邻两个角都相等的四边形是平行四边形,逆命题是真命题. (2)假命题.其逆命
题:平行四边形的一组对边平行,另一组对边相等,逆命题是真命题.
42.证明:由折叠可知AF=FC,∠AFE=∠CFE.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠AEF=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF.∵AF=FC,∴AE=FC.又∵AE∥FC,∴四边形AFCE是平行四
边形.43.解:小明的考虑不全面.因为无法确定线段AB和BE,线段DC和CF在同一条直线上.证明:如图所示,连接
AE,DF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴ADBC.∵四边形BEFC是平行四边形,∴BCEF,∴ADEF,∴四边形
AEFD是平行四边形.
本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华,并且在探索学习过程中又与三角形相联系,从三
角形的内角和到多边形的内角和环环相扣,前面的知识为后边的知识做了铺垫,联系性比较强,特别是教材中
设计了现实情境“想一想” “议一议”等内容,体现了课改的精神.在编写意图上,编者强调使学生经历探
索、猜想、归纳等过程,回归多边形的几何特征,而不是硬背公式,发展了学生的合情推理能力.
在上一节的学习中,学生已经掌握了多边形的内角和公式,对如何探究内角和的问题有了一定的认识,加
之八年级学生的好奇心、求知欲强,互相评价、互相提问的积极性高,因此对于学习本节内容的知识条件已
经成熟,学生也具备了参加探索活动的热情,所以考虑把这节课设计成一节探索活动课.
如图所示,小明在操场上从A点出发,沿直线前进10米后向左转40°,再沿直线前进10米后,又
向左转40°……照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了 米.
〔解析〕 由题意知,如果小明能走回A点,那么他走过的路线即可构成一个边长为10米,每个外角都
是40°的正多边形,这时360°与这个正多边形的外角的商一定是一个整数,因为360°÷40°=9,所以他走过的路
线可以构成一个边长为10的正九边形即可回到A点,他回到A点所走的路程为10×9=90(米).故填90.
1.能够熟练掌握平行四边形的性质和判定定理,并能够应用数学符号语言表述证明过程.
2.掌握三角形中位线的定义和性质,明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计
算.
3.掌握多边形内角和、外角和定理,进一步了解转化的数学思想.
4.会熟练应用所学定理进行证明.体会证明中所运用的归纳、类比、转化等数学思想,通过复习课对证
明的必要性有进一步的认识.
5.学会对证明方法的总结.1.通过知识的综合分析,深刻领会本单元探索活动进行的依据,整合构建新的知识体系.
2.进一步规范证明过程的严谨性和逻辑性.
通过讨论交流,进一步发展学生的合作交流意识.
【重点】
1.平行四边形的判定.
2.平行四边形、三角形中位线、多边形内角和和外角和的性质定理.
【难点】
1.三角形的中位线的性质定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质和判定,三角形中位线的性质定理,多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.
3.在证明和解决有关问题中添加适当的辅助线,以帮助对问题的解决.
定义:两组对边分别平行的四边形
{ { 两组对边分别平行
两组对边分别相等
性质
两组对角分别相等
两条对角线互相平分
两组对边分别平行的四边形
{
两组对边分别相等的四边形
判定方法 一组对边平行且相等的四边形
平行四边形
对角线互相平分的四边形
两组对角分别相等的四边形
定义:连接三角形两边中点的线段
{
三角形
定理:三角形的中位线平行于第三边,
的中位线
且等于第三边的一半
多边形的内角{内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°
和与外角和 外角和定理:多边形的外角和都等于360°
专题一 平行四边形的性质和判定定理
1.平行四边形的性质:(1)平行四边形的对边平行且相等.(2)平行四边形的对角相等.(3)平行四边形的对
角线互相平分.
2.平行四边形的判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平
行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(5)两
组对角分别相等的四边形是平行四边形.【专题分析】
平行四边形的性质和判定是考查的重点,解题时要分清性质还是判定,有时一个题目中两者都用到,要会
熟练运用性质和判定进行相关的证明和计算.在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择
题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合
起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.
如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E,F在AC上,且BE∥DF.
求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,
∴BO=DO,
∵BE∥DF,
∴∠BEO=∠DFO.
又∵∠BOE=∠DOF,
∴△BEO≌△DFO.
∴BE=DF.
[规律方法] 本题先利用平行四边形的性质,得出对角线互相平分,再利用三角形全等证明线段相等.
【针对训练1】 如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD
的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
〔解析〕 根据题中给出的平行四边形的条件,并充分利用图形中隐含的“平行”和“相等”关系证
明.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∵AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,
∴△FDO≌△EBO,
∴OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形.
专题二 三角形的中位线
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
【专题分析】
三角形的中位线定理是几何中一个重要的定理,不但给出了三角形中线段的位置关系,而且给出了线段
的数量关系,为平面几何中证明线段平行和相等提供了新的思路.在中考中三角形的中位线是一个重要考点,
在三角形、四边形、函数等知识的综合考查中经常关联此知识点.如图所示,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在
CD上从C向D移动,而点R不动时,下列结论成立的是 ( )
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
〔解析〕 由三角形中位线定理可知线段EF的长等于AR长的一半,又由于AR的长不变,所以线段
EF的长不变.故选C.
[规律方法] 了解三角形中位线的定义,熟练掌握三角形中位线的性质定理,并能运用三角形中位线的
性质进行解题.
【针对训练2】 如图所示,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G,F,H
分别是BE,BC,CE的中点.请证明四边形EGFH是平行四边形.
1
〔解析〕 根据三角形中位线定理得GF∥EC,GF= EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是
2
平行四边形,所以四边形EGFH是平行四边形.
证明:∵G,F分别是BE,BC的中点,
1
∴GF∥EC,且GF= EC.
2
1
又∵H是EC的中点,∴EH= EC,
2
∴GF∥EH且GF=EH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
专题三 多边形的内角和与外角和
n边形的内角和等于(n-2)·180°;多边形的外角和都等于360°.
【专题分析】
多边形的内角和、外角和定理主要是多边形边数和内角度数之间的互化:由多边形的边数得内角和的
度数,由多边形的内角和的度数得边数.在中考题中多以规律探索、方程求值等方式进行考查.
若一个多边形的内角和为1800°,求该多边形的边数.
解:设这个多边形的边数为n,
根据题意,得(n-2)×180°=1800°.
解得n=12.
所以该多边形为十二边形.【针对训练3】 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求该多边形的边数.
解:设该多边形的边数为n,这个外角度数为x°,
则(n-2)×180+x=1350,
90-x
所以n=9+ .
180
90-x
因为n为整数,所以 必为整数.
180
即90-x必为180的倍数.
又因为00.52a时,解不等式,得x<0.15a.此时,y>y.
1 2
说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%,则普通电表合算.
当0.35x+0.55(a-x)<0.52a时,解不等式,得x>0.15a.此时,y0.15,
所以用分时电表是合算的.
(当然,仅仅根据两个月的数据来判断是远远不够的,需收集多个月的数据来判断,这里由于时间较短,无
法收集齐全)
[设计意图] 利用所学的一次函数和一元一次不等式的知识解决实际问题,给学生一个实际应用所学
知识的机会.
【进一步研究】 根据分时电表的特点,除了日常必须按时进行的一些用电外,如果能将可调用电时间
x
控制在21:00~8:00(谷时),使 的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费.对此,进行归纳和分析:
a
部分家庭电费明细表/月
用电
时间 谷时 峰时 时间
电器 功率 量 差额
(时 电费 电费 是否
名称 (W) (kW (元)
/天) (元) (元) 可调
·h)
洗衣
294 1.5 13.23 4.63 7.28 2.65 是
机
电
40 5.0 6.00 2.10 3.30 1.20 否
灯
电水
1800 0.5 27.00 9.45 14.85 5.40 是
壶
电饭
500 0.5 7.50 2.63 4.13 1.50 否
煲
电冰
140 10.0 42.00 14.70 23.10 8.40 否
箱
电视
80 6.0 14.40 5.04 7.92 2.88 否
机
门
3 24.0 2.16 0.76 1.19 0.43 否
灯
合
2857 47.5 112.29 39.21 61.77 22.46
计
注:1 kW·h=1000 W×1 h
月用电总量(kW·h)=功率×使用时间×30÷1000
根据上表,我们认为洗衣、烧水等时间可调,功率较大的电器放在谷时工作,这样就可以充分发挥分时电
x
表的优势,使 的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费,如果家家户户都能这样做的话,必定可以节省一
a
笔不小的开支.
[设计意图] 通过前一环节的学习,学生发现了此类问题的探究方法,通过类比可较快得出本题的规律
所在.由于探究过程所需的相关知识并不复杂,所以大部分学生都能经历观察、比较、猜想、推理、交流、
反思的数学活动过程,有利于发展学生数学地思考.而且通过与同伴合作、克服困难,能提升学生的自信心,
进一步提升学生学习的热情.课程标准指出我们的数学课程应当使“不同的人在数学得到不同的发展”,鼓
励学有余力的学生将问题进一步延伸与拓展,获得高层次能力的发展,努力使他们的创新思维及问题意识得
以提升.
1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程.
2.关注学生自主参与,培养合作能力和反思意识.
3.关注学生模型思想的建立,即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不
等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义.
4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题.对于问题研究的深度,可以让不同层次的学生选择不同
的问题情境,也可以不同程度的融合数学知识,让不同的学生得到不同的发展.
5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力,研究成果的逻辑性、实
用性以及报告的精练、准确程度.(补充例题)如图所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人
的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据:
指距d(cm) 20 21 22 23
身高h(cm) 160 169 178 187
(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)
(2)某人身高为196 cm,一般情况下他的指距应是多少?
解:(1)设h与d之间的函数关系式为:h=kd+b.
把d=20,h=160;d=21,h=169分别代入,得
{20k+b=160,
21k+b=169.
解得k=9,b=-20,
即h=9d-20.
(2)当h=196时,196=9d-20,
解得d=24(cm).
即某人的身高为196 cm,一般情况下他的指距为24 cm.
1.体会到数学就在自己的身边.
2.分时电表的特点和计费规律.
【备选问题】
问题1 某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取月用水量分段收费的办法.某户居民应交水费y(单位:
元)与用水量x(单位:吨)的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x<15和x≥15时,y与x的函数解析式;
(2)某用户该月用水21吨,则应交水费多少元?
问题2 我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书,有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂的优惠
条件是:按每份定价1.5元的八折收费,另收900元制版费;乙厂的优惠条件是:每份定价1.5元的价格不变,而
制版费900元六折优惠.且甲、乙两厂都规定:一次印刷数至少是500份.
(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书,那么应选
择哪个厂?需要多少费用?
【备选研究主题】
主题1 探索出租车如何计价
1.日间出租车计价与里程数之间的函数关系;
2.夜间出租车计价与里程数之间的函数关系;
3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等.
主题2 探索商场促销现象
节假日商场经常打出打折的牌子,在各种以打折名义进行的促销活动中,如何选择最实惠的商品是大多
数人常常面临的问题.
调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式,列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析,用你得
到的结论,指导周围的人理性消费.
主题3 关于教育支出的调查
1.计算一下自己从现在起到参加工作,总共需要多少教育资金.
2.考虑你如何支付这些费用,帮家长写一个储蓄计划.
3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量.
4.将你的调查与同学交流一下,让大家看看你的调查是否可行?如果可能请他们提供改进的建议.
综合与实践 平面图形的镶嵌
通过探索平面图形的镶嵌,知道哪些图形可以密铺.
经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程,进一步发展学生推理、交流的意识和一定的审美情趣.
通过本节的学习,进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用.
【重点】 多边形镶嵌的条件.
【难点】 运用正三角形、正方形和正六边形进行简单的密铺.
【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 观察生活中平面图形的镶嵌事例.
1.活动内容:
观察工人师傅铺地砖的情境;
情景1:
情景2:
2.观察小结:
(1)什么叫平面图形的密铺?
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就
是平面图形的镶嵌,又叫做平面图形的密铺.
(2)生活中平面图形的密铺随处可见.
[设计意图] 通过观察平面图形密铺的实例,进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用.
1.一种多边形的镶嵌
(1)如果只用一种正多边形镶嵌整个平面,那么这样的正多边形可能有哪些?先想一想,再实际拼一拼、
画一画;
说明:在第一环节的课堂展示中,学生可能已经注意到正三角形、正方形和正六边形都可以镶嵌整个平
面,这时,教师可以追问:是否所有的正多边形都可以镶嵌整个平面?你认为还有哪些正多边形可以镶嵌整个
平面?
(2)在一般的多边形中,有哪些可以镶嵌整个平面?先想一想,再实际拼一拼、画一画.
[设计意图] 一般多边形的镶嵌问题对学生来说是有难度的,因此这里可以要求学生利用已经准各好
的多边形纸片实际动手操作,认识到任意的三角形和四边形都能够进行平面镶嵌,对于学有余力的学生还可以鼓励他们进一步得到:用6k(k为正整数)个相同的任意三角形可以镶嵌平面,用4k个相同的任意四边形也
能镶嵌平面.
以下是学生可能会得到的一些镶嵌图案:
教师应当让学生有足够的交流、分享时间,并鼓励他们以自己的方式说明理由,反思自己的镶嵌过程,发
现其中的规律,并依据具体情况,及时给予学生鼓励性评价.另外,由于课上时间有限,对于只用同一种多边形
进行平面镶嵌的各种情形可能无法穷尽,也没有这个必要,感兴趣的学生可以课下继续研究.
2.两种多边形的镶嵌
(1)用图(1)中的若干正三角形和若干正六边形能镶嵌整个平面吗?如果能,请你试一试.如果用图(2)中的
若干正三角形和若干正六边形呢?
(2)用其他两种正多边形能镶嵌整个平面吗?可能有哪些不同的情况呢?分小组选择你们准备的正多边
形纸片中的任意两种进行镶嵌,看你能发现什么,并将你们发现的结论填入下表中.
正多边形1 正多边形2 是否能镶嵌 镶嵌图案
正方形 正六边形
正三角形 正方形
… … … …
(3)经历了以上活动(1)和(2),你发现了什么?对于两种及两种以上多边形的镶嵌,需要满足什么条件?
[设计意图] 通过活动(1)(2),学生进一步感受能否进行镶嵌,取决于拼在一起的几个多边形的内角度数
和边长的关系.通过以上活动,并与前面一种图形的镶嵌进行对比,意在引导学生不仅要关注图形能够镶嵌,
而且要关注镶嵌图案的形成过程,发现能否镶嵌的规律,体会镶嵌与多边形的内、外角及图形的平移、旋转
等知识之间的关系,与前面讨论用一种多边形的镶嵌的问题类似,用两种或两种以上的多边形进行镶嵌的情
况很多,课上时间有限,仅讨论正多边形的情形,对学有余力的学生可以让他们课下继续研究和交流.3.拓展应用
(1)用若干如图所示的两种图形,能镶嵌整个平面吗?请你试一试.
(2)用图中的两种图形分别能镶嵌整个平面吗?将它们与平行四边形的镶嵌图案比较,你发现了什么?与
同伴交流.
(3)设计一个自己喜欢的图形,构造美丽的镶嵌图案.
[设计意图] 在前面的探索的基础上,学生可以设计各种图形的密铺,这也是对学生应用能力的一次提
升.
[知识拓展] 地板砖的学问.
现在,随着生活水平的提高,对家庭居室进行装修成了许多人热衷的话题.装修房屋不仅仅是花多少钱
的问题,更重要的是良好的设计和构思,这就需要有较高的艺术欣赏能力和较好的数学基础.就拿地板砖来
说吧,多数人是用正方形砖块来拼接,也有人喜欢用六边形地板砖(如下图所示).
为什么不用其他形状呢?比如受人喜爱的五边形,如果拼接起来不是别具一格吗?经过数学计算,这是不
行的.因为根据需要,凡是能作地板砖的多边形,必须是几块砖拼在一起时,其顶角之和为360°.为此,我们把几
个正多边形的内角排列出来(见表).
正多边形顶角度数
正多边形边数 3 4 5 6 8 9 10 …
顶角度数 60° 90° 108°120°135°140°144° …
如果只许用一种形状的砖,那么只有正三角形、正方形、正六边形可取.因为:
60°×6=360°,
90°×4=360°,
120°×3=360°.
(如下图所示)而用360°除以其他正多边形顶角度数都不是整数,说明它们不能拼成平面,因而不适合作地板砖.三角
形虽然可以做地板砖,但不十分美观.其实正六边形中已蕴含了三角形的图案,而且更加美观、方便,所以就
没有人用三角形了.
某工厂切下大量四边形木板,形状完全一样,但却不规则(如图(1)所示).工人们就利用它们来铺地板(图
(2)).不规则四边形能用来铺地板的道理是:“任意四边形(指凸四边形)内角之和都等于360°.”因此,不管切
下的四边形怎样歪七扭八,只要形状完全相同,4块相拼就能凑成360°,而且总能找到等长的边相接,使砖与砖
之间不留缝隙.你看,数学知识在实际生产和生活中多么有用啊!
(2)
地板砖图案欣赏:
1.体会到数学就在自己的身边.
2.利用所学的镶嵌知识研究几何图形的密铺.平面图形的镶嵌内容综合性较强,教学设计层层递进:通过探索一个基本图形、两个基本图形是否能够
镶嵌的一系列问题,使学生反复经历归纳、猜想的合情推理过程,并结合多边形内角和等性质获得验证,这无
疑将提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
拓展应用的内容对于提高学生的图案设计能力有较大的帮助,但对学生的总体要求可能偏高,对一些学
习较困难的学生挑战性比较大.
教师在教学时,可以根据学生数学认知水平进行相应调整,平面图形的镶嵌本质上是用一种或几种平面
图形拼出一个360°角,教学设计准确把握了平面图形镶嵌的数学本质,也关注到学生思维发展的顺序,逐渐
使学生积累活动经验,在活动中提升认知水平.
