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第 07 讲 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参数问题
目录
【考点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】..................................................................................................1
【考点二 整式与分式混合运算易错】....................................................................................................................3
【考点三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】..................................................................................5
【考点四 解分式方程不验根】................................................................................................................................9
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................12
【考点六 分式方程无解与增根混淆不清】..........................................................................................................17
【考点七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】.......................................19
【考点八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】......................................................................................22
【考点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式 的值为0，则x的值是 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ， ，
∴ 或 ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意；
综上所述， ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若分式 的值为零，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值是0的条件，根据 且 即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为零，∴ 且 ．
解得： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如果分式 的值为0，那么x的值为 ．
【答案】1
【知识点】绝对值的几何意义、分式值为零的条件
【分析】分式的值为零：分子为零且分母不为零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不
为0．这两个条件缺一不可．
【详解】解：依题意得 且 ，
则 且 ．
解得 ．
故答案为：1．
4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）对于分式 当 时，分式有意义；当 时，
分式无意义；当 时，分式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件、利用平方根解方程、分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为 的条件，完全平方公式，利用开平方解方程，熟练掌
握分式有意义的条件，分式的值为 的条件，以及完全平方公式是解题的关键．利用分式有意义的条件是
分式的分母不等于零，分式的值为 的条件是分式的分子为零且分母不为零，结合完全平方公式和开平方
解方程求解即可．
【详解】解：由分式 有意义，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 时分式有意义， 时分式无意义；
由分式 的值为 ，
∴ ，且 ，
即 ，且 ，
解得： ，
故答案为： ； ； ．5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若分式 的值为 ，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、绝对值方程
【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握“分式的值为零，必须同时具备两个条件，即分
子为零，分母不为零”是解题关键．
根据题意，由分式的值为零的条件即可求出 的值．
【详解】解：根据题意，得： ，
，
解得： 或 ，
，
且 ，
．
故答案为： ．
【考点二 整式与分式混合运算易错】
6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键；根据分式的加减法则进行计算即
可求解．
【详解】解：原式
．
7．（2025·陕西西安·模拟预测）化简 ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
．
8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，
即可得到结果．
【详解】解：
．
9．（2025·陕西榆林·二模）化简： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】题目主要考查分式的混合运算，先将括号内进行通分，加减计算，然后计算除法运算即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：原式
．
10．（2025·江苏南京·一模）计算： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【考点三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值： ，其中从 、 、
中选一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再根
据分式有意义的条件确定 的值，最后把 的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运
算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴原式 ．
12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简 ，然后从 中选择一个适当
的整数作为x的值代入求值．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后化简得 ，由分母不为0得当
时，则 ，即可作答．
【详解】解：
，
∵ ，
∵ ，
∴当 时，则 ．
13．（24-25八年级上·山东济宁·期中）先化简： ，再从 ， ， ， 中选择
一个适合的数 代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即
可化简，再根据分式有意义的条件得出 ， ，最后代入合适的值计算即可得解．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴当 时，原式 ．
14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简： ，再 ， ， ， 中选一个
你喜欢的 值代入求值．
【答案】 ； ．
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值；先根据分式混合运算法则把原式进行化简，再选取合适的值代
入求解．
【详解】解：
；
∵ ，当 时,原式 ．
15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）先化简： ，并从 ， ， 中选一个
合适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ； ．
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式有意义的条件，可得： ， ，再根据分
式的运算法则把分式化简，可得：原式 ，然后再把使分式有意义的 的值代入化简后的分式中计
算求值即可．
【详解】解： 有意义，
， ，
， ，
当 时，原式 ．
【考点四 解分式方程不验根】
16．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）解分式方程：
(1)(2)
【答案】(1)无解
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】（1）解： ，
方程的两边同乘 ，得 ，
解得 ，检验：把 代入 ，
则， 是原方程的增根，
∴原方程无解．
（2）解： ，
方程的两边同乘 ，得 ，解得 ．
检验：把 代入 ．
∴ 是原方程的解．
17．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题
的易错点．
（1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答；
（2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答．
【详解】（1）解： ，，
，
，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程的解为： ；
（2）解： ，
，
，
检验，当 时， ，
所以该分式方程无解．
18．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解；
（2）解：去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是增根，分式方程无解．
19．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）解方程．(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将 代入
∴原方程的解为 ；
（2）
去分母得，
解得
检验：将 代入
∴原方程无解
20．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ；
(2)方程无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
（1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案；
（2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案．
【详解】（1）解：
去分母得到，解得
经检验， 是分式方程的解；
（2）
去分母得到，
解得 ，
当 时， ，
∴ 是增根，分式方程无解．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
21．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式 的值为整数，求整数x的值．
【答案】 或 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得 是整数，则可得到 是2的因数，即
或 ，据此求解即可．
【详解】解；∵分式 的值为整数，
∴ 是整数，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 ．
22．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题：
在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将
分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式．
例如：将分式 拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加．
(1)请将 拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式．
(2)如果分式 的值是整数，求所有符合条件的整数x的值．
【答案】(1)
(2)x的值为2或4或16或【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式；
（1）按照题干的拆分方法进行即可；
（2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
∵ 的值为整数，
∴ 是13的所有整数因数，
即 ，
∴ 或 或 或 ；
即x的值为2或4或16或 ．
23．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式 的值为整数的整数x的值有多少个？
请先阅读解题过程，回答有关问题．
因为 ，
又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除 ，当 时，因为 ，所以分母为零，分式无
意义．
所以 可取的值为 ， ，1，2，相应的x的值为 ，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个．
(1)本题的解题思路是 ；
(2)运用这种解题思路，求出使分式 的值为整数的整数x的值．
【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题
(2) 、 、 、0、2、3、4、7
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简
为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题．
（1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意
义．
（2）仿照样本题思路，解答即可．
【详解】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题；
故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题．（2） ，
要使分式 的值为整数，
①当 时， ，
②当 时， ，
③当 时， ，
④当 时， ，
⑤当 时， ，
⑥当 时， ，
⑦当 时， ，
⑧当 时， ，
∴使分式 的值为整数的整数x的值 、 、 、0、2、3、4、7．
24．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
数”，而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母
的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数
时，我们称之为“真分式”．
如 这样的分式就是假分式： 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带
分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如 ．
解决下列问题：
(1)分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)若分式 的值为整数，x为整数，求分式的值．
【答案】(1)真
(2)
(3) ．
【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：分式 是真分式，
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解： ；
∵分式 的值为整数，x为整数．
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴整数的值是 ．
25．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题．
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：因为分母是 ，可设 ，
则 ．
对于任意 的值上述等式都成立， 解得
．这样，分式 就拆分成了整式 与分式 的和的形式．
(1)若将分式 拆分成 （ 为整数），则 ______， ______．
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
(3)已知分式 的值为负整数，直接写出满足条件的整数 的值．
【答案】(1)3；4
(2)
(3)3或
【知识点】分式的求值、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的化简求值；
（1）根据 求解即可；
（2）参考材料中的过程求解即可；
（3）参考材料中的过程得到 ，再根据分式 的值为负整数，得到
是整数，推出 或 ，最后分情况讨论求值即可．
【详解】（1）∵ ，
∴若将分式 拆分成 （ 为整数），则 ， ，
故答案为：3；4．
（2）解：因为分母是 ，可设 ，
则 ．
对于任意 的值上述等式都成立，
，
解得 ，
．
（3）解：因为分母是 ，可设 ，则 ．
对于任意 的值上述等式都成立，
，
解得 ，
．
∵分式 的值为负整数，
∴ 是整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ，不合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，不合题意；
当 时， ， ，符合题意；
综上所述，分式 的值为负整数，满足条件的整数 的值为3或 ．
【考点六 分式方程无解与增根混淆不清】
26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若关于 的方程 无解，则k的值为 ．
【答案】0或1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解分的两种情况“①整式方程本身无解；②分式方程
产生增根”成为解题的关键．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】解：原方程 可化为： ，
当 ，即 时，方程 无解，原分式方程无解．
当 ，即 时，分式方程有增根 或 ，当 时，代入 可得 ，解得： ；
当 时，代入 可得 ，该方程无解．
故答案为：0或1．
27．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的方程 有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键．
由题意可知关于x的方程 的增根为 ，再将分式方程化成整式方程，然后将 代入求
出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有增根，
∴ 是该分式方程的增根，
将分式方程 化为整式方程为 ，
将 代入可得： ，即 ．
故答案为1．
28．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程无解问题．由分式方程无解得到增根 ，代入整式方程计算即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
当 即 时，该整式方程无解，此时 ，
故答案为： ．
29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果 是关于 的方程 的增根，那么 的值为
．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把 代入计算即可求出a的值．
【详解】解： ，
去分母得： ，
把 代入得： ，
故答案为： ．
30．（24-25七年级上·上海·假期作业）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】 或 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程．根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，
由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定 的值，掌握解分式方程的方法
是解题的关键．
【详解】解： ，
，
等式两边同时乘以 得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵分式方程无解，即 或 或 ，
即 或 或 ，
∴ ，解得， ，
，解得， ，
综上所述， 的值为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【考点七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
31．（2025·四川广安·二模）若关于 的方程 的解是非负数，则 的取值范围为______．
【答案】 且【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数
式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：原方程去分母，得 ，得： 且 ，
∵关于 的方程 的解是非负数，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
故答案是： 且 ．
32．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程 的解是个正数，那么m的取值范围是
．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，
可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零．
【详解】解：由原方程去分母，得 ，
解得 ，
关于x的方程 的解是正数，
，
解得 ，
又 ，
，
， ，
故m的取值范围为 且 ，
故答案为： 且 ．
33．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围
是 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程 的解为
，再根据题意列出不等式知 且 ，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关
键．【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由题意可知 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
34．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 有整数解，则整数m的值
为 ．
【答案】3，4，0
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值．
【详解】解：方程两边乘以 ，得： ，
整理得： ；
由于方程有解，则 ，即 ，
∴ ；
由于方程有整数解，则 ，
解得： 或 或 或 ，
当 时， ，此时方程无解；
综上，整数m的值为3，4，0．
35．（2025·重庆·一模）若整数a使得关于x的不等式组 有正整数解，且关于y的分式方程
有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集、解分式方程，首先求出一元一次不等式组的解集，根据不
等式组有正整数解可以确定 ，再解分式方程可得 ，根据分式方程有正整数解确定整数 的
值，注意因为 是分式方程的增根，所以要把使 的 值舍去．【详解】解： ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
不等式组 有正整数解，
，
，
解关于 的分式方程 ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为 得： ，
关于 的分式方程 有正整数解，
，且 为偶数，
，
或 或 ，
当 时， 是分式方程的增根，
(舍去)，
．
故答案为： ．
【考点八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】
36．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“雅中式”，这个常数称
为 关于 的“雅中值”．如分式 ， ，则 是的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为 ．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出
关于 的“雅中值”．
(2)已知分式 ， ， 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”是 ， 为整数，
且 的值也为整数，求 所代表的代数式及所有符合条件的 的值．
【答案】(1) 是 的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为
(2) ， 的值为
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】（ ）根据定义解答即可求解；
（ ）由定义可得 ，即得 ，进而可得 ，根据 为整数，且 的
值也为整数可得 可能是 ， ， 据此解答即可求解；
本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为 ；
（2）解：∵ 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”是 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，且 的值也为整数，
∴ 是 的因数，
∴ 可能是 ， ，
∴ 的值为 ．
37．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境
如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如 ，
，则 和 都是“优美分式”．
初步验证
（1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
（2）将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
探究应用
（3）当 时，求 的最小值．
【答案】（1）①③④；（2） ；（3） 的最小值为 ．
【知识点】分式化简求值、约分
【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键．
（1）根据“优美分式”的定义进行变形解答；
（2）将 变形为 ，进而求解即可；
（3）首先将 变形为 ，然后求出 ，进而求解即可．
【详解】（1）① ，故①是“优美分式”；
② 不是分式，故②不是“优美分式”；
③ ，故③是“优美分式”；
④ ，故④是“优美分式”；
综上所述，属于“优美分式”的是①③④；
（2）；
（3）
∵
∴
∴
∵ 在分母上，
∴当 取得最大值时， 有最小值
∴当 时，
∴ 的最小值为 ．
38．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“和谐式”，这个常数称
为 关于 的“和谐值”．
例：分式 ， ， ，则 是 的“和谐式”， 关于 的
“和谐值”为2．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出
关于 的“和谐值”．
(2)已知分式 ， ， 是 的“和谐式”， 关于 的“和谐值”是1， 为整数，且
的值也为整数，
①求 所表示的代数式．②求所有符合条件的 的值．
(3)已知分式 ， ， 是 的“和谐式”，则 关于 的“和谐值”是______．（直接写
出答案即可）．
【答案】(1) 不是 的“和谐式”，理由见解析
(2)① ；②2，4，0，6
(3)
【知识点】同分母分式加减法、分式化简求值、构造二元一次方程组求解、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组，
（1）计算 ，再根据“和谐值”的定义可得答案；
（2）①由定义可得 ，即有 ，整理可得： 的表达式；
②化简 ，根据 为整数，且“和谐式” 的值也为整数，得到： 是3的因数，从而可得答案；
（3）首先表示出 ，然后根据题意设 ，得到
，求出 ，进而求解即可．
【详解】（1） ， ，
，
不是 的“和谐式”；
（2）① 是 的“和谐式”，且 关于 的“和谐值”是1，
，
， ，
，
，
，
② ，
为整数，且 的值也为整数，
是 的因数，可能是： ， ，
的值为：2、4、0、6， 且都满足 ；
（3）
∵ 是 的“和谐式”，
∴设
∴
∴
解得
∴ ．
∴ 关于 的“和谐值”是 ．
39．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则
称M与N互为“和整分式”，常数 称为“和整数值”．例如， ， ，
，则M与N互为“和整分式”，“和整数值” ．
(1)已知分式 ， ，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数
值”k；若不是，请说明理由；
(2)已知分式 ， ，C与D互为“和整分式”，且“和整数值” ．
①求P所代表的代数式；
②若分式D的值为正整数，求正整数x的值．
【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值” .
(2)① ，②1
【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键．
（1）先计算 ，再根据结果即可得解；
（2）①求出 ，结合题意得出 ，计算即可得解；②先求出 ，再结合
题意计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
，
∴A与B互为“和整分式”，和“整数值” ；
（2）解： ， ，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值” ，
∴ ，即 ，
∴ ；
②∵ ，
若分式D的值为正整数，
∴ 或 ，
解得 或 （舍去），
∴正整数x的值为1．
40．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数 使得关于x的分式方程 的解是
成立，那么我们就把实数 组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”．例如： ， 使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是
关于x的分式方程 的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“关联数对”，若是，请在括号内打“ ” 若不是，
打“ ”．① （ ）；② （ ）．
(2)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，求 的值．
(3)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，且关于x的方程
有整数解，求整数 的值．
【答案】(1)①×；②√；
(2) ；
(3) 或
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、新定义下的实数运算
【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义计算即可；
【详解】（1）解：当 ， 时，
分式方程为：分式方程 ，方程无解，故①的答案是×，
当 ， 时，
分式方程为：分式方程 ，方程的解为： ，
∵ ，
故②的答案是√；
（2）解：∵数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ；（3）解：∵数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
化简得： ，
解得： ，
∵关于x的方程 有整数解，
∴ 或 ，
解得： 或 或1或 ，
∵ ，
∴ 或
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数
对”的定义是解题的关键．
