文档内容
第 02 讲 分式的基本性质
课程标准 学习目标
①分式的基本性质 1. 掌握分式的基本性质。
②利用分式的基本性质约分 2. 掌握分式的约分的概念。
知识点01 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整
式，分式的值不变逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故原变形错误；
B．当b不为0时， ，故原变形错误；
C． ，故原变形正确；
D． ，故原变形错误；
故选：C．
2．（24-25八年级上·四川南充·期末）若把分式 中的 和 都扩大 倍，那么该分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不
变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进
行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可．
【详解】解：分式 中， 和 都扩大 倍，则分式的值为： ，
即该分式的值缩小为原来的故选：C．
知识点02 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）约分： ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式
的约分．把分子分母都约去公因式 即可．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·上海·期末）化简： ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．3．（24-25七年级上·上海·期中）化简： ，
【答案】 /
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．根据分式的基本性质解答
即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ， ．
知识点03 最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【即学即练3】
1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，据此逐项判断即可求解，掌握
最简分式的定义是解题的关键．
【详解】 、 ，不是最简分式，不合题意；
、 ，不是最简分式，不合题意；
、 是最简分式，符合题意；
、 ，不是最简分式，不合题意；
故选： ．
2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（ ）
A．代数式 是分式 B．分式 中 都扩大3倍，分式的值不变C．分式 是最简分式 D．分式 的值为0，则 的值为
【答案】C
【知识点】分式值为零的条件、分式的判断、最简分式、利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，最简分式，分式的值为零的条件逐项分析即可．
【详解】解：A．代数式 是整式，故不正确；
B．分式 中 都扩大3倍得 ，分式的值改变，故不正确；
C．分式 是最简分式，正确；
D．分式 的值为0，则 且 ．则 的值为 ，故不正确．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的识别，分式的基本性质，最简分式，分式的值为零的条件，熟练掌握各知识点
是解答本题的关键．
3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式 ， ， ， 中，最简分式有
个
【答案】2
【知识点】最简分式
【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此
判断即可解答．
【详解】解： ，故不是最简分式；
，故不是最简分式；
， 不能继续化简，是最简分式．
∴最简分式有2个．
故答案为：2．题型01 判断分式变形是否正确
例题：（24-25八年级上·天津和平·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】杠题主要考查分式的运算，分别根据分式的运算法则进行判断即可．
【详解】解：A． ，故选项A计算错误，不符合题意；
B． ，故选项B计算错误，不符合题意；
C． ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．
根据分式的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、当 时， ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；故选：C．
2．（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可判断．
【详解】解：A、 不一定成立，故选项不符合题意；
B、 正确，故选项符合题意；
C、 不一定成立，故选项不符合题意；
D、 不成立，故选项不符合题意；
故选：B．
题型02 求使分式变形成立的条件
例题：（23-24八年级下·河北邯郸·期末）若 ，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． 且 D． 或
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件、求使分式变形成立的条件
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：当 时， 分子与分母同时除以 ，分式的值不变，即 ，
，
又分式的分母不能为0，
，
x应满足的条件是 且 ，
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0．
【变式训练】1．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若 成立，则 的取值范围是
．
【答案】
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式
的值不变，即可得出 ，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：当 时，即 时，
，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如果 成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得到答
案．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
题型03 利用分式的基本性质判断分式值的变化
例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的
值（ ）
A．扩为原来的大3倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．
缩小为原来的
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化【分析】本题考查了分式的基本性质，根据 和 都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案．
【详解】解：∵ 和 都扩大为原来的3倍，
∴ ，
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值
（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：分式 中的x，y都扩大为原来的2倍，变为
，
所以分式的值扩大为原来的2倍，
故选：A．
2．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值
（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．缩小为原来的
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与
原式比较，最终得出结论．依题意，分别用 和 去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即
可．
【详解】解：如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，
则 ，
即分式的值缩小为原来的 ，
故选：B．题型04 将分式的分子分母的最高次项化为正数
例题：（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式 的值，使分式的分子、分母中x的最
高次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘 得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的
分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次项的
系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数【解析】略
题型05 将分式的分子分母各项系数化为整数
例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整
数，
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，
分式的值不变，据此把分式 的分子分母同时乘以10即可得到答案．
【详解】解：把分式 的分子分母同时乘以10得 ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式 的分子和分母各项的系数都化
为整数得 ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以 ，再化简即可，
解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于 的数，分式的值不变．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式 的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成
整数，结果为 ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
题型06 约分
例题：（24-25八年级上·广东广州·期末）化简分式 的结果为 ．
【答案】【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．先对分子和分母因式分解，然后根据分
式的性质化简即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·周测）约分：（1） ；
（2） ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分：
（1）利用分式的基本性质，进行约分即可．
（2）利用分式的基本性质，进行约分即可．
【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）约分：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【知识点】约分【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母提公因式，再约分即可；
（2）先将分子分母因式分解，再约分即可；
（3）先将分子因式分解，再约分即可；
（4）先将分子分母因式分解，再约分即可；
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，
故答案为： ；
（4） ，
故答案为： ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分；
（1）直接约分即可求解；
（2）先把分子分母因式分解，再约分；
（3）先把分子分母因式分解，再约分．【详解】解：（1）
故答案为： ．
（2）
故答案为： ．
（3）
故答案为： ．
题型07 最简分式
1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）下列分式中，为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】约分、最简分式
【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的概
念判断即可．
【详解】解：A、 是最简分式，符合题意；
B、 ，不是最简分式，不符合题意；
C、 ，不是最简分式，不符合题意；
D、 ，不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）下列 个分式中：① ；② ；③ ；④ ，最
简分式有 个．
【答案】
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据
此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．【详解】解：① 是最简分式，符合题意；
② ，不是最简分式，不合题意；
③ ，不是最简分式，不合题意；
④ 是最简分式，符合题意；
∴最简分式有 个，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式 中，最简分
式的个数是 个．
【答案】1
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的定义；
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可．
【详解】解： ， ， ， ，均不是
最简分式；
是最简分式，最简分式的个数是1，
故答案为：1．
4．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)不是最简分式，化简见解析
(2)不是最简分式，化简见解析
【知识点】最简分式、约分
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解.
【详解】（1）解： ；
则 不是最简分式；（2）解： ．
则 不是最简分式．
【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分
母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约
分．
一、单选题
1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式 成立的m的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可．
【详解】解：使得等式 成立的 的取值范围为 ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式中，从左向右的变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据 判断A；再根据 可判断B；然后根据 ，再约分可判断
C；最后根据 判断D．
【详解】解：因为 ，所以A正确；因为 ，所以B正确；
因为 ，所以C正确；
因为 ，不能化简，所以D不正确．
故选：D．
3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式 中的 ， 的值都扩大为原来的 倍，则分式的值（
）
A．扩大为原来的 倍 B．扩大为原来的 倍 C．缩小为原来的 D．
不变
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质计算即可．
【详解】解：把分式 中的 ， 的值都扩大为原来的 倍可得 ，
即该分式的值不变，
故选：D．
4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，
则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）
一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式 的分子、分母同时乘5，判断
出所得结果为多少即可．
【详解】解： ，
故选：A．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列约分正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的约分，先对分子分母的多项式因式分解，再根据分式的基本性质进行约分，据此
依次计算即可．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． 分母不是乘积形式，不能约分，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，分母不能因式分解，已经是最简分式故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列分式： ．其中不是最简分式
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的定义；最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此
判断即可．
【详解】最简分式有： ， ，不是最简分式的有： ，
即有3个不是最简分式
故选：B
二、填空题
7．（2025七年级下·全国·专题练习）化简：
（1） ；
（2） ．
【答案】 /【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分；
（1）直接约分即可求解；
（2）先把分子分母因式分解，再约分，即可求解．
【详解】解：（1）
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形： ，括号内应填入数
字 ，变形的依据是 ．
【答案】 分式的基本性质
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴括号内应填入数字 ，变形的依据是分式的基本性质．
故答案为： ，分式的基本性质．
9．（2024八年级下·全国·专题练习）（1） ，括号内应填入 ；
（2） ，括号内应填入 ．
【答案】 /
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题考查分式的性质．
（1）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答；
（2）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答．
【详解】解：（1）
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ．10．（2025七年级下·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：（1） ；（2）
．括号内应填 ； ．
【答案】
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值
不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质计算即可得．
【详解】解： （分子分母同除以 ）， ，
故答案为： ； ．
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使 的分子与分母中各项系数都为整数，
化简的结果为 ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握其性质．
根据分式的基本性质把分子分母都乘以2即可；
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个．
① ；② ；③ ；④ ；
【答案】
【知识点】最简分式
【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，
掌握最简分式的概念是解题的关键．
【详解】解：① ，③ 的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意；
② 的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；④ 的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
综上，最简分式有 个，
故答案为： ．
三、解答题
13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整
数：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的
整式，分式的值不变；
（1）分子分母都乘以60即可；
（2）分子分母同时乘以12即可；
【详解】（1）根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘60，
得 ．
（2）解：根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘12，
得 ．
14．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】最简分式、约分、因式分解的应用
【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法．
（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
15．（2025七年级下·全国·专题练习）约分：
（ ） ；
（ ） ；
（ ） ；
（ ） ．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）
【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式
【分析】（ ）先分子分母提公因式，再约分即可；
（ ）先分子分母因式分解，再约分即可；
（ ）先分子因式分解，再约分即可；
（ ）先分子分母因式分解，再约分即可；
本题考查了分式的约分，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：（ ）原式 ；
（ ）原式 ；（ ）原式 ；
（ ）原式 ．
16．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）甲、乙两位同学各给出一个算式：
甲： ；乙： ．
(1)______同学给出的算式是正确的；
(2)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为 的条件．
【答案】(1)甲
(2) ；结果为 的条件为 且
【知识点】分式值为零的条件、约分、分式有意义的条件
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值为 的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的基本性质
是解题的关键．
（1）分别利用分式的基本性质化简，即可判定；
（2）由（1）可得正确过程，利用当结果为 时，分子为 ，且分式有意义，即可求解．
【详解】（1）解：甲： ，正确；
乙： ，故乙错误；
故答案为：甲；
（2）解：乙： ，
由当结果为 时，分子为 ，且分式有意义，
则 且 ，
则 且 ．
17．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式
为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式
是“巧分式”， 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；
① ；② ；③ ．(2)若分式 的“巧整式”为 ，请判断 是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)是，见解析
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据给出的“巧分式”的定义可得 ；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解： ， 是整式，
①是“巧分式”；
， 不是整式，
②不是“巧分式”；
， 是整式，
③是“巧分式”；
（2）解： 分式 的“巧整式”为 ．
，
；
，
又 是整式，
是“巧分式”．
18．（22-23八年级上·北京平谷·期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式 与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当 时，随着 的增大， 的值随之减小，若 无限增大，则 无限接近于0；当时，随着 的增大， 的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如
果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一
个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当 时，随着 的增大， 的值 (增大或减小)；当 时，随着 的增大， 的值 （增大或
减小）；
(2)当 时，随着 的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当 时，直接写出代数式 值的取值范围是 ．
【答案】(1)减小，减小
(2)当 时， 无限接近于2
(3)
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、按要求构造分式、最简分式
【分析】（1）根据 的变化情况，判断 、 值得变化情况即可；
（2）根据材料由 即可求解；
（3）由 ，配合 即可求解．
【详解】（1）解：∵当 时，随着 的增大， 的值随之减小，
∴随着 的增大， 的值随之减小；
∵当 时，随着 的增大， 的值也随之减小，
∴随着 的增大， 的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当 时， 的值无限接近于0，∴当 时， 无限接近于2；
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
