文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：分式的混合运算和新定义型问题
目录
【考点一 分式的混合运算问题】............................................................................................................................1
【考点二 分式的混合运算先化简求值问题】........................................................................................................7
【考点三 分式的混合运算错解复原问题】..........................................................................................................11
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】..........................................................................................................16
【考点五 分式的混合运算新定义型问题】..........................................................................................................22
【考点六 分式的混合运算假分数问题】..............................................................................................................29
【考点七 分式的混合运算“倒数法”求值问题】..............................................................................................33
【考点一 分式的混合运算问题】
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先通分，再计算减法即可；
（2）先计算除法，再计算减法即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键．
（1）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先进行幂的、积的乘方运算，再进行分式的乘除混合运算；
（2）利用分式的乘法运算法则计算即可；
（3）先将除法化为乘法，再由乘法分配律计算；
（4）先通分，化为同分母分式加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)1；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，正确的计算，是解题的关键：
（1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可；
（2）直接利用除法法则进行计算即可；
（3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可；
（4）先进行除法运算，再进行减法运算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式
；
（4）原式．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式加减乘除混合运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式因式分解，再利用乘法分配律去括号约分，最后进行同分
母加法后，合并同类项再约分即可．
（2）先利用乘法分配律去括号，再提公因式后约分，最后合并同类项即可．
（3）先把除法写成乘法计算，再提公因式后约分即可．
（4）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式和完全平方公式因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【考点二 分式的混合运算先化简求值问题】
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键，同分母的分式相
加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式
运算的结果要化为最简分式或者整式．
先根据完全平方公式化简，再算括号里面的，将除法转化为乘法，然后相乘，最后将 代入求值．【详解】解：
，
当 时，原式 ．
7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式加减乘除混合运算、已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的性质，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，然
后将 的值代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
，当 时，原式 ．
8．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简： ，然后从 ，0，2中选取一个合
适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
， ，
，
当 时，
原式
9．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简： ，然后从1， ，2025中选
择一个合适的数代入求值．
【答案】 ，
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的混合运算及求值，熟练掌握异分母分式的加减法运算是解题的关键．先把
括号内的式子通分，再把除法化为乘法，从而把原式化简，从数值中选取一个合适的数代入即可．
【详解】解：，
，
当 时，原式 ．
10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、分母有理化、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内约分作差，
再将除法化为乘法约分计算，然后将 、 的值代入计算即可．
【详解】解： ，
，
当 时，原式 ．
11．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）先化简，再求值： ，请从 ， ，1，2
四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由）．【答案】 ， ，理由见解析
【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
根据分式的运算法则将原式化简，然后根据分式有意义的条件选择一个数代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ， ，2时，原分式无意义，所以 只能取1；
此时原式 ．
【考点三 分式的混合运算错解复原问题】
12．（2025·甘肃临夏·一模）下面是小夏同学进行分式化简的过程：
化简： ．
解：原式 ………………第
一步
………………第二步
．………………第三步
(1)小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
【答案】(1)二；
(2) ．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减混合运算．（ ）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（ ）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小夏同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
（2）解：
．
13．（2025·广东深圳·二模）在化简 的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部
分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
(1)小深解法的依据是______，小圳解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的基本性质，乘法分配律，平方差公式；
（1）根据分式的基本性质，乘法分配律进行解答即可；
（2）根据乘法分配律，平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：小深解法的依据是：分式的基本性质；
小圳解法的依据是：乘法分配律；
故答案为：②，③；
（2）解：小深：原式；
小圳：原式
．
14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的
问题．
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
问题解答：
(1)从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
【答案】(1)一
(2) ，正确的化简过程见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据分式的加减乘除运算可进行求解【详解】（1）解：由题意得：从第一步开始出现错误；
故答案为一；
（2）解：
．
15．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进
行“接力游戏”．
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学： ．
规则如下：四位同学分别完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同
学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据上表的“接力游戏”回答问题：
(1)在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，该分式的化简结果______（ 填“正确”或“错误”），若化简结果错误，从
______同学开始出现错误，并写出该分式化简的正确解答过程．
【答案】(1)C
(2)错误，丙，见解析
【知识点】约分、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）观察可知，丁同学是依据分式的基本性质进行变形；（2）丙同学的计算时，第二个分式的分母应该是完全平方公式分解因式，而不是平方差公式分解因式，
据此可得结论；再根据分式的相关计算法则写出正确过程即可．
【详解】（1）解：由题意得，丁同学是依据分式的基本性质进行变形的，
故选；C；
（2）解：观察解题过程可知，该分式的化简结果错误，从丙同学开始出现错误的，原因是第二个分式的
分母应该是完全平方公式分解因式，而不是平方差公式分解因式，
正确过程如下：
原式
．
16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行
“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同
学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”完成两个任务：
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学： ．
(1)【任务一】
①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质C．分式的基本性质
D．乘法分配律
②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误．
(2)【任务二】
①该“接力游戏”正确的化简结果是______；
②从2， ，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值．
【答案】(1)①C；②乙
(2)① ；②4
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的混合运算．
（1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可；
②根据去括号的法则解答即可；
（2）①利用分式的运算法则进行分析即可；
②取 解答即可．
【详解】（1）解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的，
故选：C；
②从乙同学开始出现错误，
故答案为：乙；
（2）解：任务二：原式
，
故答案为： ；
② 不能取2和 ，
故取 ，
原式 ．
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】
17．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示
出来．
（1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为： ；
（2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律：
，
证明：∵左边 右边，
∴等式成立．
18．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
用上述等式反映的规律，解答下列问题．
(1)请直接写出第5个等式：________．
(2)猜想第 个等式（用含 的代数式表示），并证明其正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，
写出相应的猜想并加以证明．
（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第 个等式，并加以证明．
【详解】（1）解：由题意可得，
第5个等式是 ，
故答案为： ；
（2）解： ，
证明：右边 ，
等号左边等于等号右边的式子，
．
19．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
根据以上规律解答下面问题：(1)直接写出第4个等式：__________；
(2)猜想出第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)第 个等式是 ，见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题干几个等式，即可找到规律求解；
（2）对等式左边进行分式的混合运算，化简求证即可．
【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为 ，
故答案为： ；
（2）解：第 个等式是 ，理由如下：
证明：
，
∴ ．
20．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】
观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
【规律发现】
（1）第5个等式是 ；
（2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)；
【规律论证】（3）请证明猜想的第 n个等式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练
掌握分式的减法法则，从而完成求解．
（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案．
（3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是：
故答案为： ．
（2）猜想第 n个等式是 ．
故答案为： ．
（3）证明：等式左边
左边=右边，
∴等式成立．
21．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）观察下列等式： ， ， ，将以
上三个等式两边分
别相加得 ．
(1)猜想并写出： _______．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
① _______；② _______．
(3)探究并计算： ．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算；
（1）观察已知等式再归纳即可解答；
（2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；
②结合①的过程进行计算即可得结果；
（3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴归纳可得：
；
故答案为： ；
（2）解：①
；
②
；（3）解：
．
【考点五 分式的混合运算新定义型问题】
22．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即 ，则称
分式B是分式A的“关联分式”．
例如： 与
， ，
是 的“关联分式”．
(1)已知分式 ，则 __________ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)求分式 的“关联分式”；
(3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础．
（1）根据关联分式的定义判断；
（2）仿照和谐小组成员的方法，设 的关联分式是N，则 ，求出N即可；（3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ 是 的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）解：设 的关联分式是N，则：
，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）解：由（1）（2）知： 的关联分式为： ．
故答案为： ．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的
形式，则称这个分式为“和谐分式”．
(1)给出下列分式： ； ； ； ．其中属于“和谐分式”的是_______（填序
① ② ③ ④
号）；
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)化简 ．若该式的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运
算法则是解题的关键．（1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；
（2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可；
（3）先根据分式的混合运算法则先化简得 ，再根据该式的值为整数，得到 或 ，
最后根据分式有意义的条件得到 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：① ，属于“和谐分式”；
② ，不属于“和谐分式”；
③ ，属于“和谐分式”；
④ ，属于“和谐分式”；
∴属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
．
（3）解：
．
∵该式的值为整数，
∴ 或 ，
解得 或 或1或 ．
又∵ ，∴ ，
∴ ．
24．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为
“n阶分式”，例如：
，则分式 与 互为“3阶分式”．
(1)分式 与 互为“________阶分式”；
(2)已知正数x，y满足 ，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
(3)若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求 的值．
【答案】(1)5
(2)详见解析
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此
题的关键．
(1)根据新定义计算即可得解；
(2)将 代入 得，求证计算结果为2即可；
(3)列出等式 ,再根据分式的运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解： ，
分式 与 互为“5阶分式”
故答案为：5；
（2）证明：把 代入 得，
,
与 互为“2阶分式”；（3）解： 分式 与 互为”1阶分式”,
,
,
,即 ,
又 为正数，
，
的值为 ．
25．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，
则称分式 是分式 的“分裂分式”．如 与 ，因为
，所以 是 的“分裂分式”．
(1)填空：分式 ___________分式 的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
(2)分式 是分式 的“分裂分式”．求整数 为何值时，分式 的值是正整数，并写出分式 的值．
(3)若关于 的分式 是关于 的分式 的“分裂分式”，求 的值．
【答案】(1)是
(2) 时， ； 时， ； 时，
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算、构造二元一次方程组求解
【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可；
（2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可；
（3）设关于 的分式 的“分裂分式”为M，求出 ，根据关于 的分式
是关于 的分式 的“分裂分式”，得出 ，求出 即
可．【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，
∴分式 是 分式的“分裂分式”；
故答案为：是；
（2）解：∵分式 是分式A的“分裂分式”，
∴ ，
∴ ，
∴
；
∵整数 使得分式A的值是正整数， ，
∴ 时， ，
时， ，
时， ；
（3）解：设关于 的分式 的“分裂分式”为M，则：
，
∴
，∵关于 的分式 是关于 的分式 的“分裂分式”，
∴ ，
整理得： ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练
掌握分式混合运算法则，准确计算．
26．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 ，则
称分式N是分式M的“关联分式”．如 与 ，因为 ，
，
所以 是 的“关联分式”．
(1)请判断分式 与分式 是否为“关联分式”，并说明理由；
(2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 的“关联分式”为N，则 ，
∴ ，∴ ．
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”；
(3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________；
②用发现的规律解决问题：若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
【答案】(1) 与分式 是“关联分式”，理由见解析
(2)(3)① ；②
【知识点】分式加减乘除混合运算、求不等式组的解集
【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分
式”的定义是解决本题的关键．
（1）根据关联分式的定义进行判断即可；
（2）仿照题目中给到的方法进行求解即可；
（3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可．
【详解】（1）解： 是 的“关联分式”，理由如下：
∵ ， ，
∴ 是 的“关联分式”．
（2）解：设 的“关联分式”为N，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
（3）解：①设 的“关联分式”为N，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
故答案为： ；
②由题意，可得 ，
整理得 ，解得 ．
【考点六 分式的混合运算假分数问题】
27．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的
次数，称这样的分式为真分式，例如：分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如： ．
(1)将假分式 化为一个整数与一个真分式的和；
(2)若x是整数，且假分式 的值为正整数，求x的值；
(3)若假分式 化为一个整式与一个真分式的和的形式为 ，A，B均为关于x的多项式，若
， ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) 或4或6
(3)75
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）仿照例题操作即可得解；
（2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解；
（3）先将式 化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ 为正整数， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又 ，且为整数， 为正整数，
∴ 或2或4，
∴ 或4或6；（3）解：
，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
当 ，即 时，有最小值75，
的最小值为75．
28．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称
之为“假分式”，例如： ， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称
之为“真分式”，例如： ， 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式 是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______+______．(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为
整数．
【答案】(1)①真；②x， ；
(2) ， 或 或 或
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
【详解】（1）①分式 中，分子2可看作 ，最高次数是 ；分母 的最高次数是 ，分子的最
高次数低于分母的最高次数，
∴分式 是真分式；
②
；
故答案为：真；x， ；
（2）解：
，
∵这个分式的值为整数，
∴ 或 或 或 ，
或 或 或 .
29．（24-25八年级上·山东滨州·期末）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： 这样的分式就是假分式；再如： 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可
以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是_______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)把分式 化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
【答案】(1)假
(2) 或
(3)
【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解；
（2）依据题意得 ，结合题意可得 从而求出结果；
（3）根据题意 化简即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
∴分式 是假分式．
故答案为：假；
（2）由题意得： ，
分式 的值为整数，
．
或 ；
（3） ．【考点七 分式的混合运算“倒数法”求值问题】
30．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 ，可知 ，
，即 ①
②，
故 的值为 ．
(1)第②步 运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）
(2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知： ，求 的值；
(3)已知： ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算以及倒数法的应用，读懂题意并能正确应用倒数法解题是关键．
（1）由完全平方公式变化得到结果；
（2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果；
（3）先分别求出 的值，应用倒数法，即可得到结果．
【详解】（1）解： 或 ；
（2）；
（3）
．
31．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知 ，求
的值．
解：由 ，知 ，所以 ，即 ．
，
的值为7的倒数，即 ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知 ，求 的值．
（三）问题解决：
已知： ．求代数式 的值．
【答案】实践探索： ；问题解决：6
【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、分式加减乘除混合运算
【分析】实践探索：把已知等式变形求出 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
问题解决： 得出 ， ， ，求出，得出 ， ， ，再求出结果即可．
【详解】实践探索：解：由 ，知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的值为61的倒数，即 ．
问题解决：由 可知： ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键．
32．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程：
已知 ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即
所以：
所以 的值为
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)拓展：已知 ， ， ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思
路，仿照例题的解题思路解题．
根据 可得 ，根据 求出 的值，可得 ；
仿照例题先求倒数可得： ，根据 可求 的值，可
得 ；仿照例题求倒数可得： ， ， ，可得 ，所以可得
，利用倒数法可得 ．
【详解】（1）解： ，可知 ，
，
，
，
；
（2）解： ，可知 ，
，
，
，
，
；
（3）解： ， ， ，可知 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
，
，．
33．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知 ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．
因此 ，所以 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 ，求 的值．
【答案】
【知识点】倒数、分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出 的
值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论．
【详解】解：由 知
，即
，
．
